基本信息
内容简介
目录
译者序
关于作者
前言
引言 指数函数
第1章 抽象积分
集论的记号和术语
可测性概念
简单函数
测度的初等性质
[0，∞]中的算术运算
正函数的积分
复函数的积分
零测度集所起的作用
习题
第2章 正博雷尔测度
向量空间
拓扑学预备知识
里斯表示定理
博雷尔测度的正则性
勒贝格测度
关于作者
前言
引言 指数函数
第1章 抽象积分
集论的记号和术语
可测性概念
简单函数
测度的初等性质
[0，∞]中的算术运算
正函数的积分
复函数的积分
零测度集所起的作用
习题
第2章 正博雷尔测度
向量空间
拓扑学预备知识
里斯表示定理
博雷尔测度的正则性
勒贝格测度
前言
这本书包含了研究生第一学年一年的课程，其中分析学的基本技巧和定理是通过着重强调各个分支之间的密切联系来体现的．传统上彼此分离的“实分析”与“复分析”这两门课程就这样统一起来；另外，还包含泛函分析的一些基本思想．
下面就是这种方法的一些例子，它们论证和利用了这些联系．有了里斯表示定理和哈恩—巴拿赫定理，人们就可以去“猜测”泊松积分公式．它们在龙格定理的证明中协调起来了． 它们和关于有界全纯函数零点的布拉施克定理结合起来，就给出了Miintz-Szasz定理的一个证明，而后者与在一个区间上的逼近有关．L2是一个希尔伯特空间这一事实被应用到拉东—尼柯迪姆定理的证明中，并引出了一个关于不定积分的微分的定理，而后者又产生了有界调和函数的径向极限的存在性．Planeherel定理与柯西定理一起给出了Paley和Wiener定理，这一定理又用于关于实线上无限次可微函数的当茹瓦—卡尔曼定理之中．最大模定理则给出了LP—空间上线性变换的信息．
由于这里提供的结果大多是经典的(新颖之处在于它的编排，但某些论证则是新的)，所以我并不打算列举出每个结果的来源．参考资料收集在书末的“注释”中． 它们也不都是原始文献，而往往取自近期的著作，从中可以找到进一步的参考资料．没有列出参考资料的地方决不意味着那些结果是属于我的．
学习本书的必备知识是一本高等微积分教程(包含集论操作、度量空间、一致连续性和一致收敛性)，我早先那本《数学分析原理》的前七章就提供了足够的预备知识．
本书第1版的经验表明，一年级研究生可以在两个学期内学完前15章，再加上其余五章的一两章中的某些内容．后面五章的内容是彼此不相关的． 前15章中，除第9章可以挪后一些外，其余各章都应当按编排的顺序来教学．
第3版与前一版最重要的差别在于关于微分那一章是全新的．关于微分的基本事实现在是从勒贝格点的存在性导出的，而它又是一个所谓“弱型”不等式的容易的推论，欧几里得空间上的测度的极大函数是满足该不等式的．采用这种处理方式，花很少的努力却产生了强大的定理．更为重要的是，这种处理方式使学生们通晓了极大函数，它们在分析学的许多领域中变得越来越有用． 其中的一个是研究泊松积分的边界表现．相关的一个涉及Hp—空间．因此，第11章和第17章的大部分内容都重写了，我希望它能简化处理．
为了改进某些细节，我也作了一些小的改动．例如，第4章部分作了简化；等度连续性租弱收敛性的概念更为详细；共形映射的边界表现是通过关于圆盘上有界全纯函数渐近赋值的林德勒夫定理来研究的．
20多年来，很多学生和同事就这本书的内容提出了许多建议和批评．我衷心感谢所有这些意见，并且试图采纳其中一些．至于现在这一版，感谢RichardRochberg给我提出的一些关键性意见，还要特别感谢RobertBurekel精心地校阅了全部手稿．
下面就是这种方法的一些例子，它们论证和利用了这些联系．有了里斯表示定理和哈恩—巴拿赫定理，人们就可以去“猜测”泊松积分公式．它们在龙格定理的证明中协调起来了． 它们和关于有界全纯函数零点的布拉施克定理结合起来，就给出了Miintz-Szasz定理的一个证明，而后者与在一个区间上的逼近有关．L2是一个希尔伯特空间这一事实被应用到拉东—尼柯迪姆定理的证明中，并引出了一个关于不定积分的微分的定理，而后者又产生了有界调和函数的径向极限的存在性．Planeherel定理与柯西定理一起给出了Paley和Wiener定理，这一定理又用于关于实线上无限次可微函数的当茹瓦—卡尔曼定理之中．最大模定理则给出了LP—空间上线性变换的信息．
由于这里提供的结果大多是经典的(新颖之处在于它的编排，但某些论证则是新的)，所以我并不打算列举出每个结果的来源．参考资料收集在书末的“注释”中． 它们也不都是原始文献，而往往取自近期的著作，从中可以找到进一步的参考资料．没有列出参考资料的地方决不意味着那些结果是属于我的．
学习本书的必备知识是一本高等微积分教程(包含集论操作、度量空间、一致连续性和一致收敛性)，我早先那本《数学分析原理》的前七章就提供了足够的预备知识．
本书第1版的经验表明，一年级研究生可以在两个学期内学完前15章，再加上其余五章的一两章中的某些内容．后面五章的内容是彼此不相关的． 前15章中，除第9章可以挪后一些外，其余各章都应当按编排的顺序来教学．
第3版与前一版最重要的差别在于关于微分那一章是全新的．关于微分的基本事实现在是从勒贝格点的存在性导出的，而它又是一个所谓“弱型”不等式的容易的推论，欧几里得空间上的测度的极大函数是满足该不等式的．采用这种处理方式，花很少的努力却产生了强大的定理．更为重要的是，这种处理方式使学生们通晓了极大函数，它们在分析学的许多领域中变得越来越有用． 其中的一个是研究泊松积分的边界表现．相关的一个涉及Hp—空间．因此，第11章和第17章的大部分内容都重写了，我希望它能简化处理．
为了改进某些细节，我也作了一些小的改动．例如，第4章部分作了简化；等度连续性租弱收敛性的概念更为详细；共形映射的边界表现是通过关于圆盘上有界全纯函数渐近赋值的林德勒夫定理来研究的．
20多年来，很多学生和同事就这本书的内容提出了许多建议和批评．我衷心感谢所有这些意见，并且试图采纳其中一些．至于现在这一版，感谢RichardRochberg给我提出的一些关键性意见，还要特别感谢RobertBurekel精心地校阅了全部手稿．
