编辑推荐
人工智能方向、数据科学与大数据方向、应用数学、金融等方向的高年级本科生和研究生，相关领域的技术人员
内容简介
作译者
龚光鲁，清华大学教授。博士生导师，国内引进随机微分方程的先驱。1959年毕业于北京大学数学力学系，获得过教委科技进步二等奖，曾为中国概率统计学会常务理事。在国内外重要杂志上发表论文四十余篇。著有《随机微分方程引论》《随机过程论》《应用随机过程论》等十多部专著与教材。 钱敏平，北京大学教授，博士生导师，国内随机过程与计算分子生物学结合研究的先驱。1962年毕业于北京大学数学力学系，获得过教委科技进步二等奖，曾为中国概率统计学会常务理事。在国内外重要杂志上发表论文百余篇。
目录
第一章 Ｂｒｏｗｎ 运动的随机积分……………………………………………………………… １
１?? １ 有关Ｂｒｏｗｎ 运动的某些性质…………………………………………………………… １
１?? ２ Ｉｔｏ 积分的可积函数类…………………………………………………………………… ５
１?? ３ 平方可积鞅与局部平方可积鞅………………………………………………………… １２
１?? ４ 对（Ｆｔ ）Ｂｒｏｗｎ 运动的Ｉｔｏ 积分………………………………………………………… １４
１?? ５ Ｉｔｏ 积分的例子………………………………………………………………………… ２１
１?? ６ 关于无穷限情形的注记………………………………………………………………… ２３
１?? ７ Ｉｔｏ 过程与Ｉｔｏ 积分的链法则———Ｉｔｏ 公式…………………………………………… ２５
１?? ８ 指数上鞅与指数鞅……………………………………………………………………… ３３
１?? ９ 随机积分的内蕴时间…………………………………………………………………… ３７
１?? １０ Ｂｒｏｗｎ 运动的平移与Ｇｉｒｓａｎｏｖ 变换………………………………………………… ３９
１?? １１ Ｂｒｏｗｎ 参考族及关于它的局部鞅…………………………………………………… ４５
习题…………………………………………………………………………………………… ４８
第二章 鞅与鞅的随机积分…………………………………………………………………… ５０
２?? １ 严格事前σ 代数及可料时…………………………………………………………… ５１
２?? ２ 截口定理………………………………………………………………………………… ５５
２?? ３ 过程的投影理论与（ＤＬ） 类下鞅的Ｄｏｏｂ－Ｍｅｙｅｒ 分解……………………………… ６５
２?? ４ 局部平方可积鞅的特征与随机积分…………………………………………………… ７７
２?? ５ 局部平方可积鞅的分解………………………………………………………………… ８６
２?? ６ 半鞅及对半鞅的随机积分……………………………………………………………… ８８
１?? １ 有关Ｂｒｏｗｎ 运动的某些性质…………………………………………………………… １
１?? ２ Ｉｔｏ 积分的可积函数类…………………………………………………………………… ５
１?? ３ 平方可积鞅与局部平方可积鞅………………………………………………………… １２
１?? ４ 对（Ｆｔ ）Ｂｒｏｗｎ 运动的Ｉｔｏ 积分………………………………………………………… １４
１?? ５ Ｉｔｏ 积分的例子………………………………………………………………………… ２１
１?? ６ 关于无穷限情形的注记………………………………………………………………… ２３
１?? ７ Ｉｔｏ 过程与Ｉｔｏ 积分的链法则———Ｉｔｏ 公式…………………………………………… ２５
１?? ８ 指数上鞅与指数鞅……………………………………………………………………… ３３
１?? ９ 随机积分的内蕴时间…………………………………………………………………… ３７
１?? １０ Ｂｒｏｗｎ 运动的平移与Ｇｉｒｓａｎｏｖ 变换………………………………………………… ３９
１?? １１ Ｂｒｏｗｎ 参考族及关于它的局部鞅…………………………………………………… ４５
习题…………………………………………………………………………………………… ４８
第二章 鞅与鞅的随机积分…………………………………………………………………… ５０
２?? １ 严格事前σ 代数及可料时…………………………………………………………… ５１
２?? ２ 截口定理………………………………………………………………………………… ５５
２?? ３ 过程的投影理论与（ＤＬ） 类下鞅的Ｄｏｏｂ－Ｍｅｙｅｒ 分解……………………………… ６５
２?? ４ 局部平方可积鞅的特征与随机积分…………………………………………………… ７７
２?? ５ 局部平方可积鞅的分解………………………………………………………………… ８６
２?? ６ 半鞅及对半鞅的随机积分……………………………………………………………… ８８
前言
第３ 版序
本版除改正了一些印刷错误外， 在第四章的最后加进了有关动力体系的随机扰动的大偏
差理论的简单介绍。
再版序
这一版对原书各章内容除做了局部更动外， 主要的变动为： 把Ｂｒｏｗｎ 运动的局部时的内
容改写为连续半鞅的局部时； 讨论了含有δ 函数的Ｉｔｏ 过程； 扩大了第五章， 加进了可测系
数的一维随机微分方程的Ｅｎｇｅｌｂｅｓｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ 理论与Ｚｖｏｎｋｉｎ 方法和轨道唯一性的Ｌｅ Ｇａｌｌ 方
法， 以及Ｓｔｒａｔｏｎｉｃｈ 方程的Ｄｏｓｓ 方法； 对Ｍｃｋｅａｎ－Ｖｌａｓｏｖ 随机微分方程做了简短介绍； 加进
了Ｂｒｏｗｎ 弋巡律及其推导。
此外， 本版还改正了原书的许多疏忽与印刷错误。
特别值得一提的是， 本书对于记号与名词索引作了一个完备易用的表。
序言
近年来， 随机微分方程、扩散过程及随机分析有了迅速发展， 并广泛应用于系统科学、
工程控制、生态学等各个方面。在这个领域中， 先后出现了Ｇｉｈｍａｎ－Ｓｋｏｒｏｈｏｄ， Ｓｔｒｏｏｃｋ－
Ｖａｒａｄｈａｎ， Ｉｋｅｄａ－Ｗａｔａｎａｂｅ 等著名概率学家的专著。它们分别各有侧重地总结了这个领域内
的最重要的新成果， 并且对基本理论做了全面的阐述。这些著作在我国受到了广泛的重视。
但是由于它们篇幅过大， 论题过多， 而且个别地方还不自封， 所以对初学者来说， 并不容易
掌握。编写本书的目的， 是力图选择上述著作中的一部分基本知识、概念和典型的方法， 做
一个较为浅显的阐述， 并辅以笔者学习上述名著的体会， 加入某些一般理论在具体情况下的
实现和应用， 以期便于读者理解掌握， 铺填初学者走向专门研究的道路上的坑隙沟堑， 为有
本版除改正了一些印刷错误外， 在第四章的最后加进了有关动力体系的随机扰动的大偏
差理论的简单介绍。
再版序
这一版对原书各章内容除做了局部更动外， 主要的变动为： 把Ｂｒｏｗｎ 运动的局部时的内
容改写为连续半鞅的局部时； 讨论了含有δ 函数的Ｉｔｏ 过程； 扩大了第五章， 加进了可测系
数的一维随机微分方程的Ｅｎｇｅｌｂｅｓｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ 理论与Ｚｖｏｎｋｉｎ 方法和轨道唯一性的Ｌｅ Ｇａｌｌ 方
法， 以及Ｓｔｒａｔｏｎｉｃｈ 方程的Ｄｏｓｓ 方法； 对Ｍｃｋｅａｎ－Ｖｌａｓｏｖ 随机微分方程做了简短介绍； 加进
了Ｂｒｏｗｎ 弋巡律及其推导。
此外， 本版还改正了原书的许多疏忽与印刷错误。
特别值得一提的是， 本书对于记号与名词索引作了一个完备易用的表。
序言
近年来， 随机微分方程、扩散过程及随机分析有了迅速发展， 并广泛应用于系统科学、
工程控制、生态学等各个方面。在这个领域中， 先后出现了Ｇｉｈｍａｎ－Ｓｋｏｒｏｈｏｄ， Ｓｔｒｏｏｃｋ－
Ｖａｒａｄｈａｎ， Ｉｋｅｄａ－Ｗａｔａｎａｂｅ 等著名概率学家的专著。它们分别各有侧重地总结了这个领域内
的最重要的新成果， 并且对基本理论做了全面的阐述。这些著作在我国受到了广泛的重视。
但是由于它们篇幅过大， 论题过多， 而且个别地方还不自封， 所以对初学者来说， 并不容易
掌握。编写本书的目的， 是力图选择上述著作中的一部分基本知识、概念和典型的方法， 做
一个较为浅显的阐述， 并辅以笔者学习上述名著的体会， 加入某些一般理论在具体情况下的
实现和应用， 以期便于读者理解掌握， 铺填初学者走向专门研究的道路上的坑隙沟堑， 为有
