前 言
第8 章 向量代数与空间解析几何…………………………… 1
8. 1 空间直角坐标系…………………………… 1
8. 1. 1 空间直角坐标系的建立…………………………… 1
8. 1. 2 点的坐标的确定…………………………… 2
8. 1. 3 空间中两点间的距离…………………………… 2
习题8. 1 …………………………… 3
8. 2 向量及其线性运算…………………………… 4
8. 2. 1 向量的概念…………………………… 4
8. 2. 2 向量的加法…………………………… 4
8. 2. 3 向量的减法…………………………… 5
8. 2. 4 向量与数的乘法…………………………… 5
∗8. 2. 5 线性运算的抽象化…………………………… 7
习题8. 2 …………………………… 8
8. 3 向量的坐标表达式…………………………… 8
8. 3. 1 向径的坐标表达式…………………………… 8
8. 3. 2 一般向量的坐标表达式…………………………… 9
8. 3. 3 向量线性运算的坐标表达形式…………………………… 10
8. 3. 4 向量的模与方向余弦…………………………… 11
8. 3. 5 向量在轴上的投影…………………………… 12
习题8. 3 …………………………… 13
8. 4 向量的乘积…………………………… 13
8. 4. 1 两个向量的数量积…………………………… 13
8. 4. 2 两个向量的向量积…………………………… 15
习题8. 4 …………………………… 18
8. 5 平面及其方程…………………………… 19
8. 5. 1 平面的点法式方程…………………………… 19
8. 5. 2 平面的一般式方程…………………………… 20
8. 5. 3 平面的截距式方程…………………………… 22
8. 5. 4 两平面的夹角及两平面垂直或平行的条件…… 23
8. 5. 5 点到平面的距离…………………………… 24
习题8. 5 …………………………… 25
8. 6 空间直线及其方程…………………………… 25
8. 6. 1 空间直线的一般式方程…………………………… 26
8. 6. 2 空间直线的对称式方程与参数方程…………………………… 27
8. 6. 3 两直线的夹角及两直线的平行或垂直的条件… 28
8. 6. 4 直线与平面的夹角…………………………… 29
习题8. 6 …………………………… 31
8. 7 曲面及其方程…………………………… 32
8. 7. 1 曲面的方程…………………………… 32
8. 7. 2 球面及其方程…………………………… 33
8. 7. 3 旋转曲面及其方程…………………………… 33
8. 7. 4 柱面及其方程…………………………… 35
习题8. 7 …………………………… 37
8. 8 空间曲线及其方程…………………………… 37
8. 8. 1 空间曲线的一般方程…………………………… 37
8. 8. 2 空间曲线的参数方程…………………………… 39
8. 8. 3 空间曲线在坐标平面上的投影…… 40
习题8. 8 …………………………… 41
8. 9 二次曲面…………………………… 42
8. 9. 1 椭球面…………………………… 43
8. 9. 2 椭圆锥面…………………………… 44
8. 9. 3 单叶双曲面…………………………… 44
8. 9. 4 双叶双曲面…………………………… 44
8. 9. 5 椭圆抛物面…………………………… 44
8. 9. 6 双曲抛物面…………………………… 45
习题8. 9 …………………………… 45
8. 10 综合例题选讲…………………………… 45
∗8. 11 空间解析几何与向量代数的MATLAB 实现… 54
∗习题8. 11 …………………………… 59
综合练习8 …………………………… 59
第9 章 多元函数微分学…………………………… 62
9. 1 多元函数的基本概念…………………………… 62
9. 1. 1 区域…………………………… 62
9. 1. 2 二元函数的概念…………………………… 64
9. 1. 3 二元函数的极限…………………………… 65
9. 1. 4 二元函数的连续性…………………………… 66
习题9. 1 …………………………… 68
9. 2 偏导数…………………………… 69
9. 2. 1 偏导数的概念…………………………… 69
9. 2. 2 偏导数的计算…………………………… 70
9. 2. 3 偏导数的几何意义…………………………… 71
9. 2. 4 偏导数的经济意义…………………………… 72
9. 2. 5 高阶偏导数…………………………… 72
习题9. 2 …………………………… 74
9. 3 全微分…………………………… 75
9. 3. 1 全微分的概念…………………………… 75
9. 3. 2 可微分的条件…………………………… 76
9. 3. 3 全微分在近似计算中的应用…………………………… 77
习题9. 3 …………………………… 78
9. 4 复合函数微分法…………………………… 78
9. 4. 1 全导数…………………………… 78
9. 4. 2 多个自变量复合的情形…………………………… 80
9. 4. 3 全微分形式的不变性…………………………… 82
9. 4. 4 复合函数的高阶偏导数…………………………… 83
习题9. 4 …………………………… 83
9. 5 隐函数的微分法…………………………… 84
9. 5. 1 一个方程确定的隐函数…………………………… 84
9. 5. 2 方程组确定的隐函数…………………………… 86
习题9. 5 …………………………… 88
9. 6 方向导数与梯度…………………………… 89
9. 6. 1 方向导数…………………………… 89
9. 6. 2 梯度…………………………… 91
习题9. 6 …………………………… 93
9. 7 多元函数微分学在几何上的应用…………………………… 94
9. 7. 1 空间曲线的切线和法平面…………………………… 94
9. 7. 2 曲面的切平面与法线…………………………… 97
习题9. 7 …………………………… 98
9. 8 多元函数的极值…………………………… 99
9. 8. 1 二元函数极值的概念…………………………… 99
9. 8. 2 二元函数极值存在的必要条件…… 99
9. 8. 3 二元函数极值存在的充分条件… 100
9. 8. 4 最大值与最小值…………………………… 102
习题9. 8 …………………………… 103
∗9. 9 最小二乘法…………………………… 103
习题9. 9 …………………………… 105
9. 10 约束最优化问题…………………………… 105
9. 10. 1 约束最优化问题的提法…………………………… 105
9. 10. 2 拉格朗日乘数法…………………………… 106
习题9. 10 …………………………… 109
∗9. 11 多元函数微分学的MATLAB实现… 110
∗习题9. 11 …………………………… 113
综合练习9 …………………………… 113
第10 章 重积分…………………………… 115
10. 1 二重积分…………………………… 115
10. 1. 1 二重积分的引入…………………………… 115
10. 1. 2 二重积分的定义…………………………… 116
10. 1. 3 二重积分的性质…………………………… 117
习题10. 1 …………………………… 119
10. 2 二重积分的计算…………………………… 119
10. 2. 1 二重积分在直角坐标系中
的计算…………………………… 119
10. 2. 2 二重积分在极坐标系中的计算… 123
习题10. 2 …………………………… 126
10. 3 三重积分…………………………… 127
10. 3. 1 三重积分的定义及性质…………………………… 127
10. 3. 2 三重积分在直角坐标系中的计算…………………………… 128
10. 3. 3 三重积分在柱面坐标系中的计算…………………………… 131
10. 3. 4 三重积分在球面坐标系中的计算…………………………… 132
习题10. 3 …………………………… 133
10. 4 重积分的应用…………………………… 134
10. 4. 1 二重积分在几何上的应用…………………………… 135
10. 4. 2 二重积分在物理上的应用…………………………… 137
习题10. 4 …………………………… 141
10. 5 典型例题选讲…………………………… 141
∗10. 6 重积分的MATLAB 实现…………………………… 145
10. 6. 1 计算积分的MATLAB 符号法…… 145
10. 6. 2 重积分的数值积分法…………………………… 146
∗习题10. 6 …………………………… 148
综合练习10 …………………………… 149
第11 章 曲线积分与曲面积分…………………………… 151
11. 1 对弧长的曲线积分…………………………… 151
11. 1. 1 对弧长的曲线积分的概念与性质…………………………… 151
11. 1. 2 对弧长的曲线积分的计算…………………………… 153
习题11. 1 …………………………… 155
11. 2 对坐标的曲线积分…………………………… 155
11. 2. 1 对坐标的曲线积分的概念与性质…… 155
11. 2. 2 对坐标的曲线积分的计算法…… 158
∗ 11. 2. 3 两类曲线积分的关系…………………………… 162
习题11. 2 …………………………… 163
11. 3 格林公式及其应用…………………………… 164
11. 3. 1 格林公式…………………………… 164
11. 3. 2 平面上曲线积分与路径无关的条件…… 167
11. 3. 3 二元函数的全微分求积…………………………… 168
习题11. 3 …………………………… 171
11. 4 对面积的曲面积分…………………………… 172
11. 4. 1 对面积的曲面积分的概念…………………………… 172
11. 4. 2 对面积的曲面积分的计算法…… 173
习题11. 4 …………………………… 175
11. 5 对坐标的曲面积分…………………………… 175
11. 5. 1 有向曲面的概念…………………………… 175
11. 5. 2 对坐标的曲面积分的概念…………………………… 176
11. 5. 3 对坐标的曲面积分的计算…………………………… 179
∗ 11. 5. 4 两类曲面积分之间的联系…………………………… 182
习题11. 5 …………………………… 184
11. 6 高斯公式与斯托克斯公式…… 185
11. 6. 1 高斯公式…………………………… 185
11. 6. 2 斯托克斯公式…………………………… 188
∗ 11. 6. 3 空间曲线积分与路径无关的条件…… 191
习题11. 6 …………………………… 192
∗11. 7 场论初步…………………………… 193
11. 7. 1 场的概念…………………………… 193
11. 7. 2 梯度场…………………………… 194
11. 7. 3 散度场…………………………… 194
11. 7. 4 旋度场…………………………… 196
习题11. 7 …………………………… 197
综合练习11 …………………………… 198
第12 章 无穷级数…………………………… 200
12. 1 常数项级数…………………………… 200
12. 1. 1 常数项级数的概念…………………………… 200
12. 1. 2 级数的基本性质…………………………… 203
习题12. 1 …………………………… 205
12. 2 常数项级数敛散性判别…………………………… 205
12. 2. 1 正项级数审敛准则…………………………… 205
12. 2. 2 任意项级数审敛法则…………………………… 210
习题12. 2 …………………………… 213
12. 3 幂级数…………………………… 213
12. 3. 1 函数项级数的概念…………………………… 213
12. 3. 2 幂级数及其敛散性…………………………… 214
12. 3. 3 幂级数收敛半径与收敛区间…… 216
12. 3. 4 幂级数的运算性质…………………………… 217
习题12. 3 …………………………… 219
12. 4 函数
