哥德尔证明

　　1931年，库尔特·哥德尔发表了一篇革命性的论文，对传统数学和逻辑研究中作为基础的某些根本性假定提出了挑战。时至今日，他对未知领域进行的探索，已被公认为是对现代科学思想的重大贡献。
　　 本书是第一本既面向学者又面向非专业人士，对哥德尔证明的主要思路和广泛含义作了易懂的解释的书。对任何具有逻辑和哲学品味的受过教育的人士来说，它提供了一个深入了解先前无法企及的论题的机会。
　　 在此书的新版中，普利策奖的获奖作者道格拉斯·r·霍夫斯塔特对这一经典著作的原文进行了重新斟酌和更新，澄清了模糊之处，使论述更为清晰，并使行文更具可读性。他同时加进了一篇新的前言，其中披露了他本人和这一开创性著作的特殊的个人联系，这本书对他本人专业生涯的影响，解释了哥德尔证明的基本精神，并且阐明了哥德尔证明是怎样和为什么直到今天仍然具有相关的意义。

新版序言
致谢
一 导论
二 一致性问题
三 一致性的绝对证明
四 形式逻辑的系统编码
五 一个成功的一致性绝对证明的例子
六 映射的概念及其在数学中的应用
七 哥德尔证明
（一）哥德尔编码
（二）元数学的算术化
（三）哥德尔论证的核心
八 结论性的反思
附录
简要书目
索引
译者后记

　　一导论
　　 1931年，一本德国的科学期刊上发表了一篇不算很长的论文，其标题很令人费解，叫做《论（数学原理）及相关系统的不可判定命题》。论文作者是库尔特·哥德尔，当时是维也纳大学的一位年仅25岁的年轻数学家，1938年以后，他成为普林斯顿高等研究院的终身成员。这篇论文是逻辑和数学史上的一座里程碑。1952年哈佛大学在授予哥德尔荣誉学位时，将此项工作称为现代逻辑学最重要的进展。
　　 但是，这篇论文初次发表时，大多数数学家既不明白它的题目也不了解它的内容。在标题中提到的《数学原理》，是怀特海和罗素合写的三卷关于数理逻辑和数学基础的旷世巨著；但是对于在数学的大多数分支中要想成功地从事研究工作的人来说，熟悉这本著作却也并不是必不可少的预先要求。而且，哥德尔论文中处理的那一类问题，除了吸引少数研究者外，绝大多数人都不会感兴趣。其证明的思路在论文发表时又是如此创新，以至于只有那些密切关注着这个高度专业化的领域中技术性文献的人才能无困难地跟上其论证。尽管如此，现在人们已普遍认识到，哥德尔所得出的结论，对哲学而言，是具有革命意义的。本书的目的，就是使非专业的人士能够了解哥德尔成果的要点和其证明的轮廓。
　　 哥德尔这篇著名的论文攻克的是数学基础的一个中心问题。这里先简要地概述一下问题产生的背景对理解论文是会有帮助的。任何曾接触过初等几何的人，无疑都会回想起它是一门演绎的学科。在经验科学中，一条定理只要和观察相一致就会被接受，但几何学与此不同。一个命题，只要它是经由明确的逻辑证明所得出的结论就是成立的，这个观念的形成可回溯到古希腊人，正是他们发明了所谓的“公理方法”，并且利用这种方法以一种系统的方式发展了几何学。
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