基本信息
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本书采用国际上*新的体系讲述勒贝格积分基本的内容，主要介绍一维的勒贝格积分理论。对学习实变函数论所需集合论和拓扑学知识用小的篇幅作了系统讲述。尤其对建立勒贝格积分所需的集合论知识用很小的篇幅作了系统而深入的介绍。对学习实变函数论所需拓扑学知识采用现代拓扑学的观点讲述。本书尽量采用拓扑学的方式讲述，使读者能够了解实变函数论中结果成立的拓扑背景，也便于读者继续深入一般测度论的学习。本书还对实变函数论中主要概念和结论的历史背景知识作了适当介绍。
内容简介
作译者
樊太和，博士，浙江理工大学数学科学系教授，从事拓扑学和模糊推理方面的研究工作和数学课程的教学工作31年。发表学术论文数十篇，开设过30余门数学课程，包括实变函数论，拓扑学等。贺平安，博士，浙江理工大学数学科学系教授，从事生命信息论方面研究工作和数学课程教学工作，发表学术论文数十篇。
目录
第 1章集合 ................................... 1
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合运算 ................ 2
1.2基数的概念 ....................... 8
1.3可数集和不可数集 ............13
习题 1......................................20
第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23
2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 ........................................23
2.1.1开集,内部,拓扑 .....23
2.1.2闭集,闭包,导集 .....27
2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ........................................31
2.2.1子空间 ...................31
2.2.2乘积空间 ...............32
2.2.3紧集 ......................33
2.2.4连续映射 ...............35
2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1开集的结构 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合运算 ................ 2
1.2基数的概念 ....................... 8
1.3可数集和不可数集 ............13
习题 1......................................20
第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23
2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 ........................................23
2.1.1开集,内部,拓扑 .....23
2.1.2闭集,闭包,导集 .....27
2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ........................................31
2.2.1子空间 ...................31
2.2.2乘积空间 ...............32
2.2.3紧集 ......................33
2.2.4连续映射 ...............35
2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1开集的结构 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
书摘
第1章 集合
1.1集合
1.1.1集合的概念
集合是数学中最为基本的概念 .在通常讨论问题时 ,一般只采用描述性的定义 .通常我们把具有某种特性的对象全体看成一个集合 ,该集合中的对象称为元素.
关于集合的最基本的一些概念如子集、包含等读者在数学分析甚至高中数学课程中都已见过,不再赘述.
实际上 ,集合有严格的数学定义 ,关于集合的研究是基础数学的一个分支 ——集合论.
通常用大写字母 A, B, X, Y, ···表示集合,用小写字母 a, b, x, y, ···表示集合中的元素 . N, Z, Q, R分别表示全体自然数、全体整数、全体有理数以及全体实数构成的集合 . Z+, R+分别表示全体正整数和全体正实数构成的集合 .注意,按照近年来的习惯,集合 N中包含 0.
设 x为对象 , A为集合 . x ∈ A表示 x为 A中元素 ,或称 x属于 A.而 x .∈ A表示 x不是 A中元素. x ∈ A或 x .∈ A二者必居其一.设 P为某种性质 ,则具有性质 P的元素全体构成的集合 A通常表示如下： A = {x｜x具有性质P },
其中 P可以是任意性质,如 P为方程 x2 . 1 = 0,则 A = {x｜x2 . 1=0}.如果集合 A为有限集且可以明确它的所有元素 ,也可以列举出 A的元素 .例如 ,上面的集合 A = {.1, 1}.有时为了方便 ,也把集合 {x｜x ∈ E, x有性质P }简写为
E(x有性质P ).例如 ,设 f(x)是集合 E上的一个函数 , c是一个实数 ,则集合 {x｜x ∈ E, f(x)《 c}可简写为 E(f(x)《 c).以后,若无特别声明,所有函数均为实值函数.
1.1.2集合运算
1. (任意)无限交和并运算
设 {Aα}α∈Γ为集族,即 Γ为集合,对任意 α ∈ Γ , Aα是集合.集合
Aα = {x｜存在α ∈ Γ使得x ∈ Aα}
α∈Γ
和 n Aα = {x｜对任意α ∈ Γ, x ∈ Aα}
α∈Γ
分别称为集族 {Aα}α∈Γ的并和交.
例 1.1.1设 f, g为定义于集合 E上函数.对任意 c ∈ R,
h(x) = max{f(x),g(x)},x ∈ E.
1.1集合
1.1.1集合的概念
集合是数学中最为基本的概念 .在通常讨论问题时 ,一般只采用描述性的定义 .通常我们把具有某种特性的对象全体看成一个集合 ,该集合中的对象称为元素.
关于集合的最基本的一些概念如子集、包含等读者在数学分析甚至高中数学课程中都已见过,不再赘述.
实际上 ,集合有严格的数学定义 ,关于集合的研究是基础数学的一个分支 ——集合论.
通常用大写字母 A, B, X, Y, ···表示集合,用小写字母 a, b, x, y, ···表示集合中的元素 . N, Z, Q, R分别表示全体自然数、全体整数、全体有理数以及全体实数构成的集合 . Z+, R+分别表示全体正整数和全体正实数构成的集合 .注意,按照近年来的习惯,集合 N中包含 0.
设 x为对象 , A为集合 . x ∈ A表示 x为 A中元素 ,或称 x属于 A.而 x .∈ A表示 x不是 A中元素. x ∈ A或 x .∈ A二者必居其一.设 P为某种性质 ,则具有性质 P的元素全体构成的集合 A通常表示如下： A = {x｜x具有性质P },
其中 P可以是任意性质,如 P为方程 x2 . 1 = 0,则 A = {x｜x2 . 1=0}.如果集合 A为有限集且可以明确它的所有元素 ,也可以列举出 A的元素 .例如 ,上面的集合 A = {.1, 1}.有时为了方便 ,也把集合 {x｜x ∈ E, x有性质P }简写为
E(x有性质P ).例如 ,设 f(x)是集合 E上的一个函数 , c是一个实数 ,则集合 {x｜x ∈ E, f(x)《 c}可简写为 E(f(x)《 c).以后,若无特别声明,所有函数均为实值函数.
1.1.2集合运算
1. (任意)无限交和并运算
设 {Aα}α∈Γ为集族,即 Γ为集合,对任意 α ∈ Γ , Aα是集合.集合
Aα = {x｜存在α ∈ Γ使得x ∈ Aα}
α∈Γ
和 n Aα = {x｜对任意α ∈ Γ, x ∈ Aα}
α∈Γ
分别称为集族 {Aα}α∈Γ的并和交.
例 1.1.1设 f, g为定义于集合 E上函数.对任意 c ∈ R,
h(x) = max{f(x),g(x)},x ∈ E.
