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基本信息
编辑推荐
张景中院士作序
《思考的乐趣》《浴缸里的惊叹》作者Matrix67强力推荐
了解数学悖论与三次数学危机，感知数学的趣味与变迁，知其然知其所以然
内容简介
作译者
韩雪涛
科普作家，另著有《从惊讶到思考－－数学悖论奇景》《好的数学：“下金蛋”的数学问题》等书，参编《十万个为什么（第六版，数学卷）》《改变世界的科学：数学的足迹》《课本上学不到的数学（五年级）》。1999年开始，他在《科学画报》《中华读书报》等刊物发表各类文章40多篇。
《好的数学：“下金蛋”的数学问题》被列入“2010年新闻出版总署向全国青少年推荐百种优秀图书”书目。
科普作家，另著有《从惊讶到思考－－数学悖论奇景》《好的数学：“下金蛋”的数学问题》等书，参编《十万个为什么（第六版，数学卷）》《改变世界的科学：数学的足迹》《课本上学不到的数学（五年级）》。1999年开始，他在《科学画报》《中华读书报》等刊物发表各类文章40多篇。
《好的数学：“下金蛋”的数学问题》被列入“2010年新闻出版总署向全国青少年推荐百种优秀图书”书目。
目录
序（张景中）
前言 v
第一部分
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第1章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 2
古老的定理 2
勾股定理的广泛应用及其地位 8
第2章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 12
智慧之神：毕达哥拉斯 12
毕达哥拉斯学派的数学发现 16
毕达哥拉斯学派的数学思想 24
勾股定理证法赏析 35
第3章 风波乍起：第一次数学危机的出现 45
毕达哥拉斯悖论 45
第一次数学危机 50
第4章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决 58
欧多克索斯的解决方案 58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案 65
第5章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响 70
第一次数学危机对数学思想的影响 70
前言 v
第一部分
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第1章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 2
古老的定理 2
勾股定理的广泛应用及其地位 8
第2章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 12
智慧之神：毕达哥拉斯 12
毕达哥拉斯学派的数学发现 16
毕达哥拉斯学派的数学思想 24
勾股定理证法赏析 35
第3章 风波乍起：第一次数学危机的出现 45
毕达哥拉斯悖论 45
第一次数学危机 50
第4章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决 58
欧多克索斯的解决方案 58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案 65
第5章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响 70
第一次数学危机对数学思想的影响 70
前言
“现在我说的是一句假话。”这句话是真是假？假定它为真，将推出它是假；假定它为假，将推出它是真。
这个以“说谎者悖论”而闻名的命题自公元前4 世纪就开始流传，迄今仍然以其特有的魅力吸引着为数众多的人们。悖论所具有的非凡吸引力由此可见一斑！
“悖论是有趣的！”每一个接触过悖论的人都会对此深有同感。
“悖论是极其重要的！”接受这一观点的人却要少得多。
在这本书中，我们就是要通过介绍在数学发展中产生了巨大影响的三个悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论），使读者明了悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的发展提供了重要而持久的助推力。
然而，什么是悖论？
对这个看似简单的问题，我们却不能给出一个普遍适用的答案。因为，悖论之悖是因人因时而异的。比如，现代读者一般很难在“ 2 是无理数”这一数学命题中看到古怪之处。然而，这一命题正是我们在第一部分中所要介绍的毕达哥拉斯悖论，也正是它在古希腊成为一场巨大数学风波的导火索，从而引发了第一次数学危机，进而引导古希腊数学走向一条迥异于其他古代民族的发展道路。或许，对我们而言，如此平常的命题竟会导致数学危机并产生如此深刻的影响，才是真正的古怪之事！
由此得到的教益是，我们必须将悖论放在特定的背景下进行考察，才能透彻地明白其悖之因。鉴于此，在本书中我们将对毕达哥拉斯等悖论产生前的背景做详尽介绍。在此基础上，再对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做透彻阐述。
于是，读者朋友将会发现，这次数学之旅中对悖论的介绍在全书中占比不多。事实上，悖论在书中起的是穿针引线的作用，我们将围绕着它们更多地介绍“悖论之花”得以绽放的数学土壤和结出的数学之果。通过这种视野更为广阔的阐述，希望读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识，并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。书中还将数学思想融于其中，穿插数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体，既增加读者的兴趣，又有助于增进读者对“数学家是什么样的人”“数学是什么”的了解。
本书在写作过程中参考了大量的数学图书（书后附有主要的参考文献），谨向这些书的作者和译者表示真诚的谢意。
此外，我还要感谢我的父母与妻子，感谢他们对我一贯的支持。特别是我的妻子张红负责绘制了本书中的许多几何图形，为本书的早日完成提供了直接帮助。
张景中院士在百忙中为本书写了精彩序言，在此对张院士表示由衷的谢意。
需要说明的是，这本新版添加了一篇“哥德尔证明”的长文作为附录，并对旧版中存在的个别介绍不清或不当之处做了补充、修改。尽管如此，书中不足或错误仍在所难免，我真诚地期望能得到读者朋友的指正。如果你有什么意见或建议，可以通过电子邮件与我联系：zhhxt@163.com。
序言
序
这本《数学悖论与三次数学危机》，值得一读。
它的特色是：史料脉络清晰，说理透彻明白，文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣，会启发读者进一步的思考，会给读者留下回味，特别是使青少年读者受益。
将数学悖论和三次数学危机联系在一起谈，确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是经过千锤百炼而成的。
在本书中，你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案，但这并不影响你阅读本书，而且你还会从中得到乐趣和智慧。事实上，对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2，在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。
例如，作者在前言开始就提到的有名的“说谎者悖论”，几年前经过我国数学家文兰的严密分析论证，其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常的代数中很普通，在布尔代数里也是要多少就有多少，每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以稀为贵”，若是要多少有多少，就不新鲜了。
一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。当然，研究悖论的逻辑学家或数学哲学家，可能不同意文兰的看法；这说明，同时代的学者对同一个问题是不是悖论，也会有截然不同的看法。进一步可以说，同一个人，今天他认为某个问题是悖论，也许明天就会有不同的看法。
但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫作数学危机，不知道是谁第一个说的。我向作者请教过，作者暂时还没有找到出处。不过，在多数数学家看来，数学没有危机，也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有各的看法。但既然有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。
我说这些，是希望读者看本书的时候更多地思考。对书中引用的不少观点，你不妨多问几个为什么，和古人做一次假想的对话，提出自己独立的看法。如能这样，从本书里得到的好处，可算是非常丰富了。
2007-3-14
这本《数学悖论与三次数学危机》，值得一读。
它的特色是：史料脉络清晰，说理透彻明白，文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣，会启发读者进一步的思考，会给读者留下回味，特别是使青少年读者受益。
将数学悖论和三次数学危机联系在一起谈，确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是经过千锤百炼而成的。
在本书中，你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案，但这并不影响你阅读本书，而且你还会从中得到乐趣和智慧。事实上，对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2，在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。
例如，作者在前言开始就提到的有名的“说谎者悖论”，几年前经过我国数学家文兰的严密分析论证，其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常的代数中很普通，在布尔代数里也是要多少就有多少，每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以稀为贵”，若是要多少有多少，就不新鲜了。
一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。当然，研究悖论的逻辑学家或数学哲学家，可能不同意文兰的看法；这说明，同时代的学者对同一个问题是不是悖论，也会有截然不同的看法。进一步可以说，同一个人，今天他认为某个问题是悖论，也许明天就会有不同的看法。
但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫作数学危机，不知道是谁第一个说的。我向作者请教过，作者暂时还没有找到出处。不过，在多数数学家看来，数学没有危机，也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有各的看法。但既然有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。
我说这些，是希望读者看本书的时候更多地思考。对书中引用的不少观点，你不妨多问几个为什么，和古人做一次假想的对话，提出自己独立的看法。如能这样，从本书里得到的好处，可算是非常丰富了。
2007-3-14
媒体评论
“这是我大学时看过的zui好的数学书之一。‘数学悖论与三次数学危机’这个话题，漂亮地将整个数学史贯穿在了一起。这本书则把与之相关的来龙去脉讲述得非常细致，甚至还深入浅出地介绍了很多同类书里都不会提到的技术细节，让人更加真实地感受到数学的魅力。不管你是不是数学专业人士，相信都会在阅读此书后有所收获。”
——Matrix67（顾森），《思考的乐趣》作者
——Matrix67（顾森），《思考的乐趣》作者
书摘
第12 章走向无穷
初中毕业升入高一级学校后，人们会发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的几乎所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构筑这座大厦的基石。集合论的统治地位已成为现代数学的一大特点，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就，被誉为对20 世纪数学发展影响最深的数学家之一。
康托尔与集合论
康托尔于1845 年3 月3 日生于圣彼得堡，但一生中大部分时间是在德国度过的。15 岁以前他非凡的数学才能就已得到显现，由于对数学研究有一种着迷的兴趣，他决心成为数学家。但他讲求实际的父亲却非常希望他学工程学，因为工程师是更有前途谋生的职业。1860 年，在寄给康托尔的信中他写道：“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔，然后，如果上帝愿意，也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”可怜天下父母心！他们总以自己的意愿为孩子设计未来，却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢？
值得庆幸的是，康托尔的父亲后来看到自己强加于儿子的意愿所造成的危害，他让步了。17 岁的康托尔以优异的成绩完成中学学业时得到父亲的允许，上大学学习数学。激动的康托尔给父亲回信：“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来……现在我很幸福，因为我看到如果我按照自己的感情选择，不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣，亲爱的父亲；从此以后我的灵魂，我整个人，都为我的天职活着；一个人渴望做什么，凡是他的内心强制他去做的，他就会成功！”后来事情的发展表明，数学应当感激这位父亲的明智做法。
1862 年，康托尔进入苏黎世大学，1863 年转入柏林大学。在此，他曾师从魏尔斯特拉斯与克罗内克。很遗憾，后来克罗内克与康托尔因数学观点的差异而反目成仇。
1867 年，康托尔获得博土学位，并开始步入数学研究行列。当时的数学界正进行着重建微积分基础的运动，康托尔也很快将自己的研究转向这一方向。在工作中，他探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
1872 年，康托尔在瑞士旅游中偶遇数学家戴德金。两人后来成为亲密的朋友，彼此通过信件交流，互相支持。
1874 年，29 岁的康托尔发表了关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文标志着数学天空中升起了一颗有着非凡独创力的数学新星。
随后的十几年是他最富创造力的一段时间，他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大、最有创见的创造时期，他本来完全可以获得期待已久的德国最高荣誉——取得柏林大学教授职位，然而他的这一抱负却一直没有实现。他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的，这是一所独特的、二流的、薪金微薄的学院。原因在于，他一系列的伟大成果不但未能赢得赞赏，反而招致了猛烈的攻击与反对。他的主要论敌正是柏林大学的克罗内克——他以前的老师。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓 到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。1884 年春，40 岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃，在他长寿一生的随后岁月中，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会上赶进精神病院这个避难所。1904年，在两个女儿的陪同下，他出席了第三次国际数学家大会。会上，他在精神受到强烈的刺激，立即被送进医院。在他生命的最后十年，他大都处于严重抑郁状态中，并在哈雷大学的精神病诊所度过了漫长的岁月。他最后一次住进精神病院是1917 年5月，直到1918 年1 月去世。
在讲述了主人公悲惨的故事后，下面我们转向他的伟大作品——集合论。
在学习集合的内容时，我们通常是按照从集合概念开始，随后引入属于、包含的定义，以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。
康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中，先是涉及无穷点集，随后一步步地发展出一般集合概念，并把集合论发展成一门独立学科的。这一段历史再次告诉我们，抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。
在上面，我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击，一般读者会对此感到不解。因为我们所学习的有关集合的知识显得非常简单与自然。事实上，那只是集合论中最基本的知识。而“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”，因而只有当我们了解了康托尔在无穷集合的研究中究竟做了些什么后才会真正明白他工作的价值所在，也会明了众多反对之声的由来。
伽利略悖论
数学与无穷有着不解之缘，但研究无穷的道路上却布满了陷阱。在被誉为“无穷交响乐”的微积分的产生、发展历史中，我们已经对此有所领略。下面，我们将跟随康托尔踏上另一条同样充满着令人不解的悖论与困惑的无穷之路。
我们从一个问题开始：全体自然数与全体正偶数，谁包含的数更多？
一方面，我们任取一个自然数，只要让这个数乘以2，就一定有一个与之对应的正偶数，反之也成立。两者之间存在一一对应的关系。这样看来，似乎两者的元素个数应是相同的。另一方面，常识告诉我们：全体大于部分。既然所有的正偶数是在所有的自然数里去掉那些正奇数以后才得到的，理所当然的，作为全体的自然数要多于作为部分的正偶数。那么，究竟两者一样多呢，还是自然数多？
在历史上，人们曾多次被这类问题所困扰。公元5 世纪，拜占庭的普罗克拉斯是欧几里得《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时注意到，一根直径分圆成两部分，两根直径分圆成4 部分，n 根直径分圆成2n 部分。因此，由直径数目组成的无限集合与所分成的圆部分的数目组成的无限集合在元素上存在着一一对应的关系。但另一方面，从常识看，两者的数目看起来并不一样。普罗克拉斯的困境正是我们上面所提到的自然数全体与正偶数全体谁多的问题。
中世纪，又有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径联接起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。因为对于大圆上的任意一点，通过公共半径，总可找到小圆上的一点与它对应；反之，对于小圆上的任何一点，通过公共半径，总可找到大圆上的一点与它对应。这样分析，大小圆上的点应一样多。然而，常识会让人认为大小两圆上的点不可能是一样多的。
初中毕业升入高一级学校后，人们会发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的几乎所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构筑这座大厦的基石。集合论的统治地位已成为现代数学的一大特点，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就，被誉为对20 世纪数学发展影响最深的数学家之一。
康托尔与集合论
康托尔于1845 年3 月3 日生于圣彼得堡，但一生中大部分时间是在德国度过的。15 岁以前他非凡的数学才能就已得到显现，由于对数学研究有一种着迷的兴趣，他决心成为数学家。但他讲求实际的父亲却非常希望他学工程学，因为工程师是更有前途谋生的职业。1860 年，在寄给康托尔的信中他写道：“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔，然后，如果上帝愿意，也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”可怜天下父母心！他们总以自己的意愿为孩子设计未来，却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢？
值得庆幸的是，康托尔的父亲后来看到自己强加于儿子的意愿所造成的危害，他让步了。17 岁的康托尔以优异的成绩完成中学学业时得到父亲的允许，上大学学习数学。激动的康托尔给父亲回信：“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来……现在我很幸福，因为我看到如果我按照自己的感情选择，不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣，亲爱的父亲；从此以后我的灵魂，我整个人，都为我的天职活着；一个人渴望做什么，凡是他的内心强制他去做的，他就会成功！”后来事情的发展表明，数学应当感激这位父亲的明智做法。
1862 年，康托尔进入苏黎世大学，1863 年转入柏林大学。在此，他曾师从魏尔斯特拉斯与克罗内克。很遗憾，后来克罗内克与康托尔因数学观点的差异而反目成仇。
1867 年，康托尔获得博土学位，并开始步入数学研究行列。当时的数学界正进行着重建微积分基础的运动，康托尔也很快将自己的研究转向这一方向。在工作中，他探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
1872 年，康托尔在瑞士旅游中偶遇数学家戴德金。两人后来成为亲密的朋友，彼此通过信件交流，互相支持。
1874 年，29 岁的康托尔发表了关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文标志着数学天空中升起了一颗有着非凡独创力的数学新星。
随后的十几年是他最富创造力的一段时间，他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大、最有创见的创造时期，他本来完全可以获得期待已久的德国最高荣誉——取得柏林大学教授职位，然而他的这一抱负却一直没有实现。他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的，这是一所独特的、二流的、薪金微薄的学院。原因在于，他一系列的伟大成果不但未能赢得赞赏，反而招致了猛烈的攻击与反对。他的主要论敌正是柏林大学的克罗内克——他以前的老师。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓 到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。1884 年春，40 岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃，在他长寿一生的随后岁月中，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会上赶进精神病院这个避难所。1904年，在两个女儿的陪同下，他出席了第三次国际数学家大会。会上，他在精神受到强烈的刺激，立即被送进医院。在他生命的最后十年，他大都处于严重抑郁状态中，并在哈雷大学的精神病诊所度过了漫长的岁月。他最后一次住进精神病院是1917 年5月，直到1918 年1 月去世。
在讲述了主人公悲惨的故事后，下面我们转向他的伟大作品——集合论。
在学习集合的内容时，我们通常是按照从集合概念开始，随后引入属于、包含的定义，以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。
康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中，先是涉及无穷点集，随后一步步地发展出一般集合概念，并把集合论发展成一门独立学科的。这一段历史再次告诉我们，抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。
在上面，我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击，一般读者会对此感到不解。因为我们所学习的有关集合的知识显得非常简单与自然。事实上，那只是集合论中最基本的知识。而“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”，因而只有当我们了解了康托尔在无穷集合的研究中究竟做了些什么后才会真正明白他工作的价值所在，也会明了众多反对之声的由来。
伽利略悖论
数学与无穷有着不解之缘，但研究无穷的道路上却布满了陷阱。在被誉为“无穷交响乐”的微积分的产生、发展历史中，我们已经对此有所领略。下面，我们将跟随康托尔踏上另一条同样充满着令人不解的悖论与困惑的无穷之路。
我们从一个问题开始：全体自然数与全体正偶数，谁包含的数更多？
一方面，我们任取一个自然数，只要让这个数乘以2，就一定有一个与之对应的正偶数，反之也成立。两者之间存在一一对应的关系。这样看来，似乎两者的元素个数应是相同的。另一方面，常识告诉我们：全体大于部分。既然所有的正偶数是在所有的自然数里去掉那些正奇数以后才得到的，理所当然的，作为全体的自然数要多于作为部分的正偶数。那么，究竟两者一样多呢，还是自然数多？
在历史上，人们曾多次被这类问题所困扰。公元5 世纪，拜占庭的普罗克拉斯是欧几里得《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时注意到，一根直径分圆成两部分，两根直径分圆成4 部分，n 根直径分圆成2n 部分。因此，由直径数目组成的无限集合与所分成的圆部分的数目组成的无限集合在元素上存在着一一对应的关系。但另一方面，从常识看，两者的数目看起来并不一样。普罗克拉斯的困境正是我们上面所提到的自然数全体与正偶数全体谁多的问题。
中世纪，又有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径联接起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。因为对于大圆上的任意一点，通过公共半径，总可找到小圆上的一点与它对应；反之，对于小圆上的任何一点，通过公共半径，总可找到大圆上的一点与它对应。这样分析，大小圆上的点应一样多。然而，常识会让人认为大小两圆上的点不可能是一样多的。
