基本信息
- 原书名：A Friendly Introduction to Number Theory, Fourth Edition
编辑推荐
《华章数学译丛:数论概论(原书第4版)》讲解清晰，语言生动，易于理解，适合作为高等院校相关专业学生的数论入门书，也可以作为有志于学习数论的读者的自学读物。
内容简介
作译者
作者：（美国）约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H.Silverman） 译者：孙智伟 吴克俭 卢青林 曹惠琴
约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H.Silverman），拥有哈佛大学博士学位。他目前为布朗大学数学教授，之前曾任教于麻省理工学院和波士顿大学。1998年，他获得了美国数学会Steele奖的著述奖，获奖著作为《The Arithmetic of Elliptic Curves》和《Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves》。他的研究兴趣是数论、椭圆曲线和密码学等。
约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H.Silverman），拥有哈佛大学博士学位。他目前为布朗大学数学教授，之前曾任教于麻省理工学院和波士顿大学。1998年，他获得了美国数学会Steele奖的著述奖，获奖著作为《The Arithmetic of Elliptic Curves》和《Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves》。他的研究兴趣是数论、椭圆曲线和密码学等。
目录
译者序
中文版序
前言
各章关联性流程图
引言1
第1章什么是数论4
第2章勾股数组8
第3章勾股数组与单位圆13
第4章高次幂之和与费马大定理16
第5章整除性与最大公因数19
第6章线性方程与最大公因数24
第7章因数分解与算术基本定理31
第8章同余式37
第9章同余式、幂与费马小定理43
第10章同余式、幂与欧拉公式47
第11章欧拉函数与中国剩余定理50
第12章素数55
第13章素数的计数60
第14章梅森素数64
第15章梅森素数与完全数67
中文版序
前言
各章关联性流程图
引言1
第1章什么是数论4
第2章勾股数组8
第3章勾股数组与单位圆13
第4章高次幂之和与费马大定理16
第5章整除性与最大公因数19
第6章线性方程与最大公因数24
第7章因数分解与算术基本定理31
第8章同余式37
第9章同余式、幂与费马小定理43
第10章同余式、幂与欧拉公式47
第11章欧拉函数与中国剩余定理50
第12章素数55
第13章素数的计数60
第14章梅森素数64
第15章梅森素数与完全数67
译者序
2006年夏天机械工业出版社找到我，希望翻译美国布朗大学Silverman教授的数论入门书《A Friendly Introduction to Number Theory》第3版．由于我个人教学科研任务比较繁重，遂联合我指导过的吴克俭（岭南师范学院）、卢青林（江苏师范大学）与曹惠琴（南京审计学院）三位博士共同翻译这本名著．这次翻译的是原书第4版。
我国高等教育偏重传授知识，而美国更重视启发式教育．（我在加州大学教过课，对此深有体会．）在数学教学上，也是如此．反映在教材上，国内不少数学教材内容既多又难，而美国的同类教科书更重视对读者循序渐进式的启发．在翻译过程中，我们感到Silverman教授这本书尤其体现了国外教材的风格，它引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的练习来培养读者的探索精神与创新能力．
我国古代数学曾有很辉煌的成就．著名的中国剩余定理（见第11章）最初以问题形式出现于公元3世纪时我国的数学著作《孙子算经》（孙子所著）中，相应的一次同余式组解法由南宋数学家秦九韶（1202—1261）在其1247年出版的名著《数书九章》中给出．本书中所称的毕达哥拉斯定理在我国叫做勾股定理，我们把相应的毕达哥拉斯三元组译为勾股数组；我国古代数学著作《周髀算经》中就记载着“勾广三，股修四，径隅五”（即有边长分别为3，4，5的直角三角形），据传这出自于西周开国时期大夫商高与周公的对话．另外，由二项式系数组成的帕斯卡三角形（见第38章）在我国叫做杨辉三角形，因为南宋数学家杨辉（约1238—1298）在其著作《详解九章算术》中记载的同类工作早于帕斯卡（1623—1662）400多年．
在翻译过程中我们尽量沿用作者原来的表述，但有时需要对个别字句（包括一些诗）进行意译．我们还添加了关于梅森素数的最新记录，并提及最近一些数论重大进展（如张益唐在孪生素数猜想上的重大突破以及模猜想（也叫谷山志村猜想）的完整解决）．原书第4版中第47～50章及附录A、B均放在网上供在线阅读．为方便读者，在中译本中我们保留了附录A与B，附录B中5700以下的素数表被我们扩展成6000以下的素数表．还需指出的是，书中的自然数指正整数，但数学上一般把非负整数（包括0）叫做自然数；书中认为谈论0与0的最大公因数没有意义，但从理想论角度一般定义gcd(0,0)=0．
由于时间上的仓促以及水平上的局限，译稿中难免存在不妥或疏漏之处，欢迎广大读者批评指正．
孙智伟
南京大学数学系
我国高等教育偏重传授知识，而美国更重视启发式教育．（我在加州大学教过课，对此深有体会．）在数学教学上，也是如此．反映在教材上，国内不少数学教材内容既多又难，而美国的同类教科书更重视对读者循序渐进式的启发．在翻译过程中，我们感到Silverman教授这本书尤其体现了国外教材的风格，它引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的练习来培养读者的探索精神与创新能力．
我国古代数学曾有很辉煌的成就．著名的中国剩余定理（见第11章）最初以问题形式出现于公元3世纪时我国的数学著作《孙子算经》（孙子所著）中，相应的一次同余式组解法由南宋数学家秦九韶（1202—1261）在其1247年出版的名著《数书九章》中给出．本书中所称的毕达哥拉斯定理在我国叫做勾股定理，我们把相应的毕达哥拉斯三元组译为勾股数组；我国古代数学著作《周髀算经》中就记载着“勾广三，股修四，径隅五”（即有边长分别为3，4，5的直角三角形），据传这出自于西周开国时期大夫商高与周公的对话．另外，由二项式系数组成的帕斯卡三角形（见第38章）在我国叫做杨辉三角形，因为南宋数学家杨辉（约1238—1298）在其著作《详解九章算术》中记载的同类工作早于帕斯卡（1623—1662）400多年．
在翻译过程中我们尽量沿用作者原来的表述，但有时需要对个别字句（包括一些诗）进行意译．我们还添加了关于梅森素数的最新记录，并提及最近一些数论重大进展（如张益唐在孪生素数猜想上的重大突破以及模猜想（也叫谷山志村猜想）的完整解决）．原书第4版中第47～50章及附录A、B均放在网上供在线阅读．为方便读者，在中译本中我们保留了附录A与B，附录B中5700以下的素数表被我们扩展成6000以下的素数表．还需指出的是，书中的自然数指正整数，但数学上一般把非负整数（包括0）叫做自然数；书中认为谈论0与0的最大公因数没有意义，但从理想论角度一般定义gcd(0,0)=0．
由于时间上的仓促以及水平上的局限，译稿中难免存在不妥或疏漏之处，欢迎广大读者批评指正．
孙智伟
南京大学数学系
前言
20世纪90年代美国数学界掀起了微积分教学改革的浪潮，其目的是教会学生自己思考与解决实质性问题，而不仅仅是背诵公式与进行机械的代数操作．本书有类似的但更大的目标，意在引导你进行数学思考与体验独立知识发现的惊喜．我们选择的话题——数论，尤其适合我们的意图．自然数1，2，3，…具有多种漂亮的模式与关系，其中许多可谓一目了然，但其余的是如此难以捉摸以致人们诧异它们是否被真正引起注意．数学实验仅需要纸与笔，但基于少量例子做出的猜想可能是错误的．一个人最终确信他的数值例子反映了一般真理需要严格的论证．本书将引导你通过潜伏鲜艳数论花朵的丛林，同时鼓励你去调查、分析、猜测与最终证明你自己的美妙数论结果．
本书初稿用作布朗大学Jeff Hoffstein教授在20世纪90年代早期建立的课程Math 42的教材．课程Math 42用于吸引那些对标准微积分系列课程兴趣不大的非理科专业学生，同时说服他们去学习一些大学数学目的在于创建一个类似于“莫扎特（Mozart)的音乐”或“伊丽莎白女王时代的戏剧”课程，引导听众通过对某一特殊方面的系统学习而对整体上的主题与方法有所了解．课程Math 42取得了极大的成功，既吸引了它拟定的读者群，也吸引了想听点不同于传统的大讲座或压缩饼干式课程的理科大学生．
阅读本书需要的预备知识很少．熟悉高中代数是必要的，而会编写计算机程序的读者将会从产生大量的数据和实现各种算法中获得乐趣，但实际上读者仅需一个简单的计算器．微积分的一些概念有时被提到，但基本上不怎么用它．尽管如此，我们仍要提醒读者，要想真正欣赏数论，必须有渴求知识和探索问题的愿望，不怕做试验，不怕犯错误并从错误中吸取教训，有面对挫折的勇气以及坚持到最后胜利的恒心与毅力．具备这些素质的读者将在学习数论以及享受生活方面获得较大的回报．
第1版中致谢
我要感谢许多人的帮助，包括在课程Math 42方面有过先驱性工作的Jeff Hoffstein、Karen Bender与Rachel Pries,允许我使用他一些卡通画的Bill Amend，便于进行数论计算的PARI的发明者，对初稿提出许多有益建议的Nick Fiori、Daniel Goldston、Rob Gross、Matt Holford、Alan Landman、Paul Lockhart、Matt Marcy、Patricia Pacelli、Rachel Pries(再次)、Michael Schlessinger、Thomas Shemanske、Jeffrey Stopple、Chris Towse、Roger Ware、Larry Washington、Yangbo Ye、Karl Zimmerman、Michael Artin、Richard Guy、Marc Hindry、Mike Rosen、Karl Rubin、Ed Scheinerman、John Selfridge与Sam Wagstaff，以及在出版过程中给出建议与指导的Prentice Hall出版社的George Lobell与Gale Epps。
最后也是最重要的，我要感谢我的妻子Susan与孩子们Debby、Daniel和Jonathan在我写作本书时表现出的耐心与理解．
第2版中致谢
我要感谢那些花费时间向我提出修正或其他建议的人们，这对准备第2版是极有帮助的．他们包括：Arthur Baragar、Aaron Bertram、Nigel Boston、David Boyd、Seth Braver、Michael Catalano Johnson、L.Chang、Robin Chapman、Miguel Cordero、John Cremona、Jim Delany、Lisa Fastenberg、Nicholas Fiori、Fumiyasu Funami、Jim Funderburk、Andrew Granville、Rob Gross、Shamita Dutta Gupta、Tom Hagedorn、Ron Jacobowitz、Jerry S.Kelly、Hershy Kisilevsky、Hendrik Lenstra、Gordon S.Lessells、Ken Levasseur、Stephen Lichtenbaum、Nidia Lopez Jerry Metzger、Jukka Pihko、Carl Pomerance、Rachel Pries、Ken Ribet、John Robeson、David Rohrlich、Daniel Silverman、Alfred Tang与Wenchao Zhou
第3版中致谢
我要感谢Jiro Suzuki把本书很好地翻译成日文．我也要感谢那些花时间给我提出修改建议的人们，这对准备第3版是极为有益的．他们包括：Bill Adams、Autumn Alden、Robert Altshuler、Avner Ash、Joe Auslander、Dave Benoit、Jürgen Bierbrauer、Andrew Clifford、Keith Conrad、Sarah DeGooyer、Amartya Kumar Dutta、Laurie Fanning、Benji Fisher、Joe Fisher、Jon Graff、Eric Gutman、Edward Hinson、Bruce Hugo、Ole Jensen、Peter Kahn、Avinash Kalra、Jerry Kelly、Yukio Kikuchi、Amartya Kumar、Andrew Lenard、Sufatrio Liu、Troy Madsen、Russ Mann、Gordon Mason、Farley Mawyer、Mike McConnell、Jerry Metzger、Steve Paik、Nicole Perez、Dinakar Ramakrishnan、Cecil Rousseau、Marc Roth、Ehud Schreiber、Tamina Stephenson、Jiro Suzuki、James Tanton、James Tong、Chris Towse、Roger Turton、Fernando Villegas与Chung Yi.
第4版中致谢
我要感谢下述给我评论与建议或阅读第4版初稿的人们：Joseph Bak、Hossein Behforooz、Henning Broge、Lindsay Childs、Keith Conrad、David Cox、Thomas Cusick、Gove Effinger、Lenny Fukshansky、Darren Glass、Alex Martsinkovsky、Alan Saleski、Yangbo Ye(叶扬波)以及一些匿名的评论者
第4版中的变化
第4版的主要变化如下：
新增关于数学归纳法的第26章
关于反证法的一些内容移到第8章．证明d次多项式模p至多有d个根时就要用到反证法，在第21章中推导欧拉二次剩余公式时我们不用原根而改用这个事实．（先前版本中对欧拉二次剩余公式的证明使用了原根．）
关于原根的第28～29章移到关于二次互反律与平方和的第20～25章之后．做此变化是因为作者发现对学生来说原根定理是本书中最难的内容之一．新的顺序可让教师先教二次互反律，如果愿意的话也可略去所有关于原根的内容．
第22章现在包含了关于雅可比符号的二次互反律的部分证明，余下的证明留作习题．
二次互反律现在有完整的证明．涉及-1p与2p的证明仍像以前那样放在第21章，新增的第23章给出了艾森斯坦关于pqqp的证明．第23章比之前的章节困难得多，略去它不影响阅读后面的章节．
作为原根的应用，我们在第28章中讨论了Gostas阵列的构造．
本书初稿用作布朗大学Jeff Hoffstein教授在20世纪90年代早期建立的课程Math 42的教材．课程Math 42用于吸引那些对标准微积分系列课程兴趣不大的非理科专业学生，同时说服他们去学习一些大学数学目的在于创建一个类似于“莫扎特（Mozart)的音乐”或“伊丽莎白女王时代的戏剧”课程，引导听众通过对某一特殊方面的系统学习而对整体上的主题与方法有所了解．课程Math 42取得了极大的成功，既吸引了它拟定的读者群，也吸引了想听点不同于传统的大讲座或压缩饼干式课程的理科大学生．
阅读本书需要的预备知识很少．熟悉高中代数是必要的，而会编写计算机程序的读者将会从产生大量的数据和实现各种算法中获得乐趣，但实际上读者仅需一个简单的计算器．微积分的一些概念有时被提到，但基本上不怎么用它．尽管如此，我们仍要提醒读者，要想真正欣赏数论，必须有渴求知识和探索问题的愿望，不怕做试验，不怕犯错误并从错误中吸取教训，有面对挫折的勇气以及坚持到最后胜利的恒心与毅力．具备这些素质的读者将在学习数论以及享受生活方面获得较大的回报．
第1版中致谢
我要感谢许多人的帮助，包括在课程Math 42方面有过先驱性工作的Jeff Hoffstein、Karen Bender与Rachel Pries,允许我使用他一些卡通画的Bill Amend，便于进行数论计算的PARI的发明者，对初稿提出许多有益建议的Nick Fiori、Daniel Goldston、Rob Gross、Matt Holford、Alan Landman、Paul Lockhart、Matt Marcy、Patricia Pacelli、Rachel Pries(再次)、Michael Schlessinger、Thomas Shemanske、Jeffrey Stopple、Chris Towse、Roger Ware、Larry Washington、Yangbo Ye、Karl Zimmerman、Michael Artin、Richard Guy、Marc Hindry、Mike Rosen、Karl Rubin、Ed Scheinerman、John Selfridge与Sam Wagstaff，以及在出版过程中给出建议与指导的Prentice Hall出版社的George Lobell与Gale Epps。
最后也是最重要的，我要感谢我的妻子Susan与孩子们Debby、Daniel和Jonathan在我写作本书时表现出的耐心与理解．
第2版中致谢
我要感谢那些花费时间向我提出修正或其他建议的人们，这对准备第2版是极有帮助的．他们包括：Arthur Baragar、Aaron Bertram、Nigel Boston、David Boyd、Seth Braver、Michael Catalano Johnson、L.Chang、Robin Chapman、Miguel Cordero、John Cremona、Jim Delany、Lisa Fastenberg、Nicholas Fiori、Fumiyasu Funami、Jim Funderburk、Andrew Granville、Rob Gross、Shamita Dutta Gupta、Tom Hagedorn、Ron Jacobowitz、Jerry S.Kelly、Hershy Kisilevsky、Hendrik Lenstra、Gordon S.Lessells、Ken Levasseur、Stephen Lichtenbaum、Nidia Lopez Jerry Metzger、Jukka Pihko、Carl Pomerance、Rachel Pries、Ken Ribet、John Robeson、David Rohrlich、Daniel Silverman、Alfred Tang与Wenchao Zhou
第3版中致谢
我要感谢Jiro Suzuki把本书很好地翻译成日文．我也要感谢那些花时间给我提出修改建议的人们，这对准备第3版是极为有益的．他们包括：Bill Adams、Autumn Alden、Robert Altshuler、Avner Ash、Joe Auslander、Dave Benoit、Jürgen Bierbrauer、Andrew Clifford、Keith Conrad、Sarah DeGooyer、Amartya Kumar Dutta、Laurie Fanning、Benji Fisher、Joe Fisher、Jon Graff、Eric Gutman、Edward Hinson、Bruce Hugo、Ole Jensen、Peter Kahn、Avinash Kalra、Jerry Kelly、Yukio Kikuchi、Amartya Kumar、Andrew Lenard、Sufatrio Liu、Troy Madsen、Russ Mann、Gordon Mason、Farley Mawyer、Mike McConnell、Jerry Metzger、Steve Paik、Nicole Perez、Dinakar Ramakrishnan、Cecil Rousseau、Marc Roth、Ehud Schreiber、Tamina Stephenson、Jiro Suzuki、James Tanton、James Tong、Chris Towse、Roger Turton、Fernando Villegas与Chung Yi.
第4版中致谢
我要感谢下述给我评论与建议或阅读第4版初稿的人们：Joseph Bak、Hossein Behforooz、Henning Broge、Lindsay Childs、Keith Conrad、David Cox、Thomas Cusick、Gove Effinger、Lenny Fukshansky、Darren Glass、Alex Martsinkovsky、Alan Saleski、Yangbo Ye(叶扬波)以及一些匿名的评论者
第4版中的变化
第4版的主要变化如下：
新增关于数学归纳法的第26章
关于反证法的一些内容移到第8章．证明d次多项式模p至多有d个根时就要用到反证法，在第21章中推导欧拉二次剩余公式时我们不用原根而改用这个事实．（先前版本中对欧拉二次剩余公式的证明使用了原根．）
关于原根的第28～29章移到关于二次互反律与平方和的第20～25章之后．做此变化是因为作者发现对学生来说原根定理是本书中最难的内容之一．新的顺序可让教师先教二次互反律，如果愿意的话也可略去所有关于原根的内容．
第22章现在包含了关于雅可比符号的二次互反律的部分证明，余下的证明留作习题．
二次互反律现在有完整的证明．涉及-1p与2p的证明仍像以前那样放在第21章，新增的第23章给出了艾森斯坦关于pqqp的证明．第23章比之前的章节困难得多，略去它不影响阅读后面的章节．
作为原根的应用，我们在第28章中讨论了Gostas阵列的构造．
