数学思维导论：学会像数学家一样思考

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许多大学新生都曾在从中学数学到大学数学的过渡过程中遇到过困难。他们突然发现自己要面对的似乎是一种全新的数学，被要求学会用一种不同于往的方式思考。同时，各行各业的从业者也越来越深刻地意识到，现如今，良好的分析思维能力比以往任何时候都更加重要，而具备“数学思维技能”的人会在竞争中占据巨大优势。
本书正是这样一本写给高中生、大学生以及所有希望提高分析思维能力者的数学思维入门书。它将教你学会像数学家一样思考，顺利完成从中学数学到大学数学的过渡，或者让你掌握在各行各业获得成功所需要的关键性思维能力。
阅读本书只需高中程度的数学。同时，本书也是Coursera热门课程《数学思维导论》的配套教科书，结合线上课程，必能获得更好的学习效果。

基思·德夫林（Keith Devlin），1947年出生于英国赫尔市，1972年在布里斯托尔大学获得数学博士学位，1987年移居美国，拥有英国和美国双重国籍。
他现为斯坦福大学人类–科学与技术高等研究院（H-STAR）联合创始人和执行主任、斯坦福大学Media X研究网络联合创始人和执行委员会委员、斯坦福大学语言与信息研究中心（CSLI）高级研究员。目前的研究主要关注于，运用不同的媒介向各种受众传授和传播数学。为此，他还创办了一家制作数学学习视频游戏的公司BrainQuake。
他著有八十多篇研究论文、七部研究性专著、八本教科书，以及十多本普及性读物，后者包括《数学：新的黄金时代》《笛卡儿，拜拜！》《数字缉凶》《数学犹聊天》《数学的语言》《千年难题》《数学天赋》《数字人：斐波那契的兔子》等。
他还长期为美国数学学会撰写专栏“德夫林的视角”（Devlin's Angle），并在Coursera上开辟了热门课程《数学思维导论》。

导论　本书是讲什么的？　　1
第1章　什么是数学？　　9
1.1　不止是算术　　10
1.2　数学符号　　13
1.3　现代大学数学　　15
1.4　你为什么需要学这些？　　19
第2章　语言的精确化　　23
2.1　数学陈述　　24
2.2　逻辑联结词“ 与”、“ 或”、“ 非”　　31
2.3　蕴涵　　40
2.4　量词　　58
第3章　证明　　79
3.1　什么是证明？　　80
3.2　反证法　　82
3.3　证明条件式　　86
3.4　证明含量词的陈述　　90
3.5　归纳证明　　93
第4章　证明一些关于数的结论　　103
4.1 整数　　103
4.2 实数　　114

　　许多学生都曾在从中学数学到大学数学的过渡中遇到过困难。即便他们中学时数学学得很好，他们中大多数也有一段时间难以适应从K-12 到大学的过渡：因为K-12 的数学教育主要关注的是掌握解题过程，而大学数学教育主要要求掌握“数学思维”。尽管最终他们大多还是成功地渡过了难关，但还是有一些学生做不到，从而放弃了数学，转而选择其他专业（该专业可能不再属于科学领域，也可能还是与数学相关）。因此，大学里通常会开设一门“ 过渡课程”来帮助大学新生完成这场转变。
　　这本小书就是为了配合这样一门课程而写的。不过，它并不是一本传统意义上的“过渡课程教科书”。人们一般把过渡课程当作一门速成课程，在这门课上教给大学新生（以及中学高年级学生）数理逻辑、形式证明、一些集合论以及少量的初等数论和初等实分析，而我试图帮助学生培养的是一种至关重要却又难以捉摸的能力：数学思维（mathematical thinking）。数学思维与“做数学”不一样，后者往往涉及一些套路的应用以及一些繁重的符号运算。与之相比，数学思维是思考世间万物的一种独特方式。它并不需要与数学有任何关系，尽管我认为数学的某些部分为学习如何使用这种方式思考提供了理想的背景。在本书中，我主要关注的也是那些领域。
　　数学家、科学家和工程师都需要“做数学”。但对于21 世纪的生活来说，拥有数学思维将使每个人都或多或少受益。（数学思维不仅包括量化推理能力，也包括逻辑与分析思维等所有关键性的能力。）这就是我试图使本书对所有希望或需要拓展改进他们的分析思维技能的人可读的原因。一旦人们在掌握基本的逻辑与分析思维的基础上更上层楼，真正掌握了数学思维，那他们所得到的回报将至少不亚于21 世纪社会发展所带来的其他优越条件：数学将从令人困惑、令人沮丧、有时看起来高不可攀的，变成可理解、虽然困难但却可行的。
　　20 世纪70 年代晚期，我在英国兰开斯特大学教书时开设了一门课程，它是第一批大学过渡课程之一。1981 年，我还出版了一本过渡课程教科书《集合、函数与逻辑：抽象数学引论》，这也是第一批过渡课程教科书之一。①现如今，当我教授这样一门课时，我的安排跟以前的有所不同，会使它着眼于更宽泛的“数学思维”。同样地，本书也与上面提到的那本书有所不同。②当我明白了那些更为人熟知的过渡课程及其教科书背后的原理后，我现在所开设的课程以及配合它的这本书试图能够为更大范围的受众服务。（诚然，逻辑为数学推理提供了一个有效的模型，而这也正是最初人们研究该领域的原因，但我已不再认为学习逻辑是培养实用的逻辑推理技能的最佳途径，因此我不再将时间花在形式化的数理逻辑上。）在采用这种更开阔的社会化视角后，我相信我的课程以及这本书将不仅仅能帮助大学数学新生成功完成从中学到大学的过渡，它们也将能帮助任何有需要的人去提高他们的推理技能。
　　出于某种原因，过渡课程教科书通常是非常昂贵的，在某些情形下价格甚至超过一百美元，这对一本也许最多只能用一个学期的书来说是一笔非常大的数目。本书是为配合长仅五至七周的过渡课程而设计的，因此，我决定将其作为一本低成本的按需印刷的书自主出版。不过，我与一位有经验的专业数学教科书编辑乔舒亚·费希尔（Joshua D. Fisher）建立了密切合作，他在出版前通读了整部原稿。最终你所看到的这本书离不开他的专业知识的帮助，为此我非常感激他。
　　基思·德夫林
　　斯坦福大学
　　2012 年7 月