基本信息
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《工程优化中不确定性分析方法》可作为高等院校设计相关专业的工程设计方法课程的研究生和高年级本科生教材及教学和科研的参考书, 也可供从事工程优化设计?可靠性分析方面工作的工程技术和科研人员参考使用.
内容简介
目录
第1章绪论1
1.1引言1
1.2什么是不确定性分析1
1.3不确定性的来源和种类2
1.4不确定性的表示方法2
1.5概率不确定性分析4
1.6本书的目的和内容安排6
参考文献6
第2章不确定性分析基本概念8
2.1随机变量8
2.2随机变量的统计矩9
2.3常见的随机变量11
2.3.1均匀随机分布11
2.3.2正态随机分布12
2.3.3对数正态分布13
2.3.4Gamma分布14
2.3.5指数分布15
2.3.6Weibull分布15
2.4不确定性优化设计17
书摘
第1章绪论
1.1引言
工程产品高水平、高效率的开发设计对国民经济及国防军事的发展有着举足轻重的作用．工程产品在其研发、生产到报废的整个寿命周期中充满了不确定性，如：对飞行器而言存在诸如有效载荷、发动机推力、工作环境等众多不确定性，不确定性因素对产品质量具有重要影响，而产品质量决定着企业的效益和生存．尤其对于一些重要的复杂机电系统，如飞行器、汽车等，若不考虑不确定性极有可能导致产品性能不稳定、可靠性降低，甚至带来灾难性事故．这不仅会导致经济损失，甚至可能引发政治、军事、文化等方面的社会问题，因此，必须在工程设计阶段就对不确定性予以重视和考虑，于此产生了不确定性设计优化[1-4]，相关的不确定性分析和设计理论得到迅速发展和广泛应用．传统的不确定性设计优化采取的是嵌套双循环模式，内循环实现不确定性分析，外循环负责寻优，近些年出现了不确定性分析与寻优过程序列执行的模式，提高了设计效率，不论何种模式，不确定性分析都是不确定性设计优化中的关键技术之一，它一直都是工程优化领域最重要的理论课题之一．不确定性分析的精度和效率几乎决定了整个设计的精度和效率[s，6]，高精度、高效率的不确定性分析是实现不确定住优化的基础和保障．然而，随着工程系统设计的复杂化、多学科化，以及仿真分析在优化设计中的盛行，给不确定性分析带来如维数灾难、精度低、可靠性差等诸多难题，因此，系统学习和深入研究不确定性分析理论和方法具有重要的意义．
1.2什么是不确定性分析
不确定性分析(UncertaintyAnalysis，UA)也称作不确定性传播(UncertaintyPropagation，UP)，是研究各种系统参数（泛指系统输入，包括产品的可控的设计变量和不可控的设计参数）影响产品的系统性能（泛指系统输出，它可能是设计目标、也可能是设计约束）的规律的方法，简单点讲，不确定性分析就是在给定系统输入的不确定性信息下，如何估算输出响应的不确定性信息．平时较为常见的机构、结构的可靠性分析，都是属于不确定性分析的范畴，在工程产品设计、优化中，往往存在各种不确定性，必然引起产品性能的波动，因此，需要分析这些不确定性对产品性能的影响，从而用于指导优化设计，最终提高产品的稳健性和可靠性，避免系统结构失效，引发灾难性的后果，在概念设计阶段就考虑不确定性，还可大为缩短设计周期，节省成本．
1.3不确定性的来源和种类
不确定性大致分为两大类：随机不确定性(AleatoryUncertainty)和认知不确定性(EpisternicUncertainty).前者表示自然界或物理现象中存在的随机性，设计者无法控制或减少这类随机性，也叫统计不确定性．随机不确定性在实际中广泛存在，例如：在飞机起飞的仿真中，即使可以完全精确地控制沿着跑道的风速，若让十架相同的飞机同时起飞，由于每架飞机制造上的差异，它们的飞行轨迹也将不同，类似地，如果平均风速相同，让同一架飞机做十次起飞，由于每次起飞的风速不同，每次的飞行轨迹也会不同，这里，飞机的制造差异和风速都具有随机不确定性，认知不确定性是指建模过程中由于缺乏数据或知识而导致的不确定性，也叫做系统不确定性，如：建模时对问题的客观认识不足或人为主观简化而导致的模型不确定性和变量分布参数的不确定性，它的产生可能是由于对某个量未做足够精确的测量，或建模过程中未能或未完全能掌握系统运动的机理，成由于一些特殊的数据被刻意隐藏，随机不确定性是没法避免和减小的，而认知不确定性理论上是可以避免的．
随机不确定性在工程设计中广泛存在，关于随机不确定性的理论研究较为完善成熟，应用空间广泛，因此，本书主要针对随机不确定性来介绍各种不确定性分析方法．
1.4不确定性的表示方法
若存在不确定性，我们总是期望不确定性对系统性能的影响尽可能小，或者设法消除不确定性，在这之前首先要能够表示和量化这些不确定性，表示不确定性的方法有多种：经典集合理论、概率理论、模糊集合理论和粗糙集理论，每种表示方法都有其应用领域和背景，在工程优化中，比较常用的几种不确定性的表示方法有：概率分析理论、区间数学和模糊理论．
(a)概率统计法
随机性是最早认识到的一种不确定性，对随机性的分析及其相应理论概率论[7，8]的建立开启了不确定性研究的先河．对随机性研究的深入以及其对应的表示理论f概率论）的发展完善经历了一个漫长的过程．概率统计法自17世纪由赌博游戏引出后，一直是处理随机不确定性强有力的工具，随着社会生产以及科学技术的发展，概率统计方法在工业过程中的应用越来越深入，其成熟的理论基础保证了它在处理随机不确定性时的有效性．比如用均值、方差、概率密度函数以及概率累积分布函数等构造概率模型来描述机械功率、电压、电流、温度等的波动；用贝叶斯方法[o]定性分析检测概率参数不确定性问题．概率统法用事件发生的概率来表征不确定性，一个事件发生的概率可以用该事件发生的频率来解释．当有大量样品或进行大量实验时，一个事件的概率被定义为样品或实验发生的次数与总数的比率．概率分析是物理系统中用于表征不确定性最广泛的方法，它可以描述随机扰动、多变条件和考虑风险产生的不确定性等．
(b)区间数
在许多情况下，对于具有不确定性的数据可能无法获得它在不同取值处的概率，而仅能获得该数据的误差范围．因此，此时该数据的不确定性就表示为一个区间范围，在区间数学方法中，不确定参数被认为是“未知但有界”，每个不确定性参数都有上限和下限，由一个区间描述，而不具有概率形式．区间分析的目的是在模型输入和模型参数变化的范围（上下界）已知的基础上，估计模型输出的上下界．区间数学的主要优点是它可以解决不能通过概率分析来研究的不确定性分析问题，当输入的概率分布未知时，区间分析方法是一种有效的选择，如在建模过程中存在模型不确定性．而此时对其概率分布特性无法清楚认识，但是根据经验可以大致估计模型变化的上下界，因此可以将模型不确定性表示为某个区间范围．然而，基于区间数的不确定性分析是一种非概率方法，只根据不确定性量的上、下界建立模型，若不确定量大部分情况集中于更小的范围内，区间数理论会带来误差，当输入的概率信息已知时，区间分析实际上浪费掉了现有信息，因此不推荐使用．有关区间数理论的相关研究可参见[10-13]．
(c)模糊集理论
模糊性是随机性之外的另一种不确定性，广泛地存在于人类语言描述中，由于事物的复杂性，事物的界线不分明，使其概念不能给出确定的描述，不能给出确切的评定标准，这种不确定性即为模糊性，在我们的生活中，经常会碰到“很高 ”“有点胖”“年轻人 ”小自然数”等这类语言，它表示的语意是模糊的、不精确的．模糊集理论是处理模糊性的一种有效的理论框架．1965年，模糊理论的创始人，美国加利福尼亚大学伯克利分校的自动控制理论专家Zadeh教授首次发表了题为“模糊集”的论文[14]，这标志着模糊信息处理的诞生．Zadeh于20世纪60年代在各学科会议上从模糊信息处理观点出发，阐述了他的理论．这一理论为定量描述处理事物和东统中的模糊性，以及模拟人所特有的模糊逻辑思维功能，提供了真正强有力的工具．模糊信息可通过模糊集来表示，模糊集的表示是用隶属度函数来刻画的，能处理和模拟不精确的模糊信息，隶属度函数用来描述某个元素与模糊集的相容度，隶属度函数值表示某个元素隶属于这个模糊集的程度．有关模糊理论的相关研究可参考[15，16].
这些不确定性表示方法各有优缺点，由于对于随机不确定性，通常能够获得足够多的数据来描述其概率分布，因此概率分析适合于表示随机不确定性．对于认知不确定性，数据通常较为稀疏，由于没有足够的数据，无法用概率分布来描述其不确定性，因此通常用基于区间理论的非概率的方法进行分析，因此，区间理论适合于当不确定性概率信息没法获得的情况，模糊理论适合于表示概念的不确定性，在不确定性分析的应用中，一些研究者已经指出模糊理论在不确定性分析应用中存在缺点[17]，尤其是在确定描述模糊概率判断的隶属度函数时，显得过于武断和不够精确，且关于隶属度函数目前也没有很清楚的解释，相对于不确定性的定量估算，模糊理论更适合于定性推理和模糊集的元素分类，区间理论分析结果较为粗糙，某些情况下会带来较大误差．利用概率理论来描述不确定性，相对而言比较合理、准确，其有关理论研究和工程应用较为成熟．同时，工程优化设计中大部分不确定性因素，存在其特殊的物理意义，且基于经验积累了大量数据，这些不确定性因素都能用特定的概率分布来表示，因此在工程优化设计中比较适合于利用概率分析法来表示不确定性．当然，用不同的方法来表示各种不确定性，然后进行混舍不确定性分析，是不确定性分析发展的趋势[18，19]．
1.5概率不确定性分析
本书主要是针对随机不确定性、基于概率统计理论来介绍各种不确定性传播理论和方法，因此从概率统计学的角度，不确定性分析的定义为：在给定的随机输入下，如何估算输出响应的随机不确性．若不做特殊说明，本书提到的不确定性分析都是指概率不确定性分析．图1.1展示了概率不确定性分析的基本概念，从数学上描述具体为：在随机输入X—[XI， ，Xd]存在不确定性的情况下（此时Xl， ，Xd的不确定性可以用其概率密度函数、累积分布函数、或均值和方差描述1，计算响应函数y=9(X)的不确定性信息，如：均值、方差、失效概率、概率密度函数等，显然，若输入变量都是确定性变量，那么输出Y是一个确定性的值，国内外现已提出了许多概率不确定性分析方法，并成功运用到工程系统不确定性优化设计中．图1.2给出了概率不确定性分析方法的概述框图，主要可分为五类[20]．
(l)数字模拟法．通过抽样的方式来实现不确定性分析，通过在样本点上仿真得到大量的响应函数值，然后统计其概率随机特性，这类方法有：蒙特卡洛仿真、重要性抽样、自适应抽样．由于需要抽取大量样本，当性能响应函数的计算较为复杂费时，数字模拟法存在计算量过大的问题．(2)局部展开法．在参考点处基于泰勒展开对性能响应函数进行近似，这类方法适用于非线性程度不高、且随机输入波动不大的问题，局部展开法需要计算函数的导数信息，因此，必须要求性能响应函数可导．
1.1引言
工程产品高水平、高效率的开发设计对国民经济及国防军事的发展有着举足轻重的作用．工程产品在其研发、生产到报废的整个寿命周期中充满了不确定性，如：对飞行器而言存在诸如有效载荷、发动机推力、工作环境等众多不确定性，不确定性因素对产品质量具有重要影响，而产品质量决定着企业的效益和生存．尤其对于一些重要的复杂机电系统，如飞行器、汽车等，若不考虑不确定性极有可能导致产品性能不稳定、可靠性降低，甚至带来灾难性事故．这不仅会导致经济损失，甚至可能引发政治、军事、文化等方面的社会问题，因此，必须在工程设计阶段就对不确定性予以重视和考虑，于此产生了不确定性设计优化[1-4]，相关的不确定性分析和设计理论得到迅速发展和广泛应用．传统的不确定性设计优化采取的是嵌套双循环模式，内循环实现不确定性分析，外循环负责寻优，近些年出现了不确定性分析与寻优过程序列执行的模式，提高了设计效率，不论何种模式，不确定性分析都是不确定性设计优化中的关键技术之一，它一直都是工程优化领域最重要的理论课题之一．不确定性分析的精度和效率几乎决定了整个设计的精度和效率[s，6]，高精度、高效率的不确定性分析是实现不确定住优化的基础和保障．然而，随着工程系统设计的复杂化、多学科化，以及仿真分析在优化设计中的盛行，给不确定性分析带来如维数灾难、精度低、可靠性差等诸多难题，因此，系统学习和深入研究不确定性分析理论和方法具有重要的意义．
1.2什么是不确定性分析
不确定性分析(UncertaintyAnalysis，UA)也称作不确定性传播(UncertaintyPropagation，UP)，是研究各种系统参数（泛指系统输入，包括产品的可控的设计变量和不可控的设计参数）影响产品的系统性能（泛指系统输出，它可能是设计目标、也可能是设计约束）的规律的方法，简单点讲，不确定性分析就是在给定系统输入的不确定性信息下，如何估算输出响应的不确定性信息．平时较为常见的机构、结构的可靠性分析，都是属于不确定性分析的范畴，在工程产品设计、优化中，往往存在各种不确定性，必然引起产品性能的波动，因此，需要分析这些不确定性对产品性能的影响，从而用于指导优化设计，最终提高产品的稳健性和可靠性，避免系统结构失效，引发灾难性的后果，在概念设计阶段就考虑不确定性，还可大为缩短设计周期，节省成本．
1.3不确定性的来源和种类
不确定性大致分为两大类：随机不确定性(AleatoryUncertainty)和认知不确定性(EpisternicUncertainty).前者表示自然界或物理现象中存在的随机性，设计者无法控制或减少这类随机性，也叫统计不确定性．随机不确定性在实际中广泛存在，例如：在飞机起飞的仿真中，即使可以完全精确地控制沿着跑道的风速，若让十架相同的飞机同时起飞，由于每架飞机制造上的差异，它们的飞行轨迹也将不同，类似地，如果平均风速相同，让同一架飞机做十次起飞，由于每次起飞的风速不同，每次的飞行轨迹也会不同，这里，飞机的制造差异和风速都具有随机不确定性，认知不确定性是指建模过程中由于缺乏数据或知识而导致的不确定性，也叫做系统不确定性，如：建模时对问题的客观认识不足或人为主观简化而导致的模型不确定性和变量分布参数的不确定性，它的产生可能是由于对某个量未做足够精确的测量，或建模过程中未能或未完全能掌握系统运动的机理，成由于一些特殊的数据被刻意隐藏，随机不确定性是没法避免和减小的，而认知不确定性理论上是可以避免的．
随机不确定性在工程设计中广泛存在，关于随机不确定性的理论研究较为完善成熟，应用空间广泛，因此，本书主要针对随机不确定性来介绍各种不确定性分析方法．
1.4不确定性的表示方法
若存在不确定性，我们总是期望不确定性对系统性能的影响尽可能小，或者设法消除不确定性，在这之前首先要能够表示和量化这些不确定性，表示不确定性的方法有多种：经典集合理论、概率理论、模糊集合理论和粗糙集理论，每种表示方法都有其应用领域和背景，在工程优化中，比较常用的几种不确定性的表示方法有：概率分析理论、区间数学和模糊理论．
(a)概率统计法
随机性是最早认识到的一种不确定性，对随机性的分析及其相应理论概率论[7，8]的建立开启了不确定性研究的先河．对随机性研究的深入以及其对应的表示理论f概率论）的发展完善经历了一个漫长的过程．概率统计法自17世纪由赌博游戏引出后，一直是处理随机不确定性强有力的工具，随着社会生产以及科学技术的发展，概率统计方法在工业过程中的应用越来越深入，其成熟的理论基础保证了它在处理随机不确定性时的有效性．比如用均值、方差、概率密度函数以及概率累积分布函数等构造概率模型来描述机械功率、电压、电流、温度等的波动；用贝叶斯方法[o]定性分析检测概率参数不确定性问题．概率统法用事件发生的概率来表征不确定性，一个事件发生的概率可以用该事件发生的频率来解释．当有大量样品或进行大量实验时，一个事件的概率被定义为样品或实验发生的次数与总数的比率．概率分析是物理系统中用于表征不确定性最广泛的方法，它可以描述随机扰动、多变条件和考虑风险产生的不确定性等．
(b)区间数
在许多情况下，对于具有不确定性的数据可能无法获得它在不同取值处的概率，而仅能获得该数据的误差范围．因此，此时该数据的不确定性就表示为一个区间范围，在区间数学方法中，不确定参数被认为是“未知但有界”，每个不确定性参数都有上限和下限，由一个区间描述，而不具有概率形式．区间分析的目的是在模型输入和模型参数变化的范围（上下界）已知的基础上，估计模型输出的上下界．区间数学的主要优点是它可以解决不能通过概率分析来研究的不确定性分析问题，当输入的概率分布未知时，区间分析方法是一种有效的选择，如在建模过程中存在模型不确定性．而此时对其概率分布特性无法清楚认识，但是根据经验可以大致估计模型变化的上下界，因此可以将模型不确定性表示为某个区间范围．然而，基于区间数的不确定性分析是一种非概率方法，只根据不确定性量的上、下界建立模型，若不确定量大部分情况集中于更小的范围内，区间数理论会带来误差，当输入的概率信息已知时，区间分析实际上浪费掉了现有信息，因此不推荐使用．有关区间数理论的相关研究可参见[10-13]．
(c)模糊集理论
模糊性是随机性之外的另一种不确定性，广泛地存在于人类语言描述中，由于事物的复杂性，事物的界线不分明，使其概念不能给出确定的描述，不能给出确切的评定标准，这种不确定性即为模糊性，在我们的生活中，经常会碰到“很高 ”“有点胖”“年轻人 ”小自然数”等这类语言，它表示的语意是模糊的、不精确的．模糊集理论是处理模糊性的一种有效的理论框架．1965年，模糊理论的创始人，美国加利福尼亚大学伯克利分校的自动控制理论专家Zadeh教授首次发表了题为“模糊集”的论文[14]，这标志着模糊信息处理的诞生．Zadeh于20世纪60年代在各学科会议上从模糊信息处理观点出发，阐述了他的理论．这一理论为定量描述处理事物和东统中的模糊性，以及模拟人所特有的模糊逻辑思维功能，提供了真正强有力的工具．模糊信息可通过模糊集来表示，模糊集的表示是用隶属度函数来刻画的，能处理和模拟不精确的模糊信息，隶属度函数用来描述某个元素与模糊集的相容度，隶属度函数值表示某个元素隶属于这个模糊集的程度．有关模糊理论的相关研究可参考[15，16].
这些不确定性表示方法各有优缺点，由于对于随机不确定性，通常能够获得足够多的数据来描述其概率分布，因此概率分析适合于表示随机不确定性．对于认知不确定性，数据通常较为稀疏，由于没有足够的数据，无法用概率分布来描述其不确定性，因此通常用基于区间理论的非概率的方法进行分析，因此，区间理论适合于当不确定性概率信息没法获得的情况，模糊理论适合于表示概念的不确定性，在不确定性分析的应用中，一些研究者已经指出模糊理论在不确定性分析应用中存在缺点[17]，尤其是在确定描述模糊概率判断的隶属度函数时，显得过于武断和不够精确，且关于隶属度函数目前也没有很清楚的解释，相对于不确定性的定量估算，模糊理论更适合于定性推理和模糊集的元素分类，区间理论分析结果较为粗糙，某些情况下会带来较大误差．利用概率理论来描述不确定性，相对而言比较合理、准确，其有关理论研究和工程应用较为成熟．同时，工程优化设计中大部分不确定性因素，存在其特殊的物理意义，且基于经验积累了大量数据，这些不确定性因素都能用特定的概率分布来表示，因此在工程优化设计中比较适合于利用概率分析法来表示不确定性．当然，用不同的方法来表示各种不确定性，然后进行混舍不确定性分析，是不确定性分析发展的趋势[18，19]．
1.5概率不确定性分析
本书主要是针对随机不确定性、基于概率统计理论来介绍各种不确定性传播理论和方法，因此从概率统计学的角度，不确定性分析的定义为：在给定的随机输入下，如何估算输出响应的随机不确性．若不做特殊说明，本书提到的不确定性分析都是指概率不确定性分析．图1.1展示了概率不确定性分析的基本概念，从数学上描述具体为：在随机输入X—[XI， ，Xd]存在不确定性的情况下（此时Xl， ，Xd的不确定性可以用其概率密度函数、累积分布函数、或均值和方差描述1，计算响应函数y=9(X)的不确定性信息，如：均值、方差、失效概率、概率密度函数等，显然，若输入变量都是确定性变量，那么输出Y是一个确定性的值，国内外现已提出了许多概率不确定性分析方法，并成功运用到工程系统不确定性优化设计中．图1.2给出了概率不确定性分析方法的概述框图，主要可分为五类[20]．
(l)数字模拟法．通过抽样的方式来实现不确定性分析，通过在样本点上仿真得到大量的响应函数值，然后统计其概率随机特性，这类方法有：蒙特卡洛仿真、重要性抽样、自适应抽样．由于需要抽取大量样本，当性能响应函数的计算较为复杂费时，数字模拟法存在计算量过大的问题．(2)局部展开法．在参考点处基于泰勒展开对性能响应函数进行近似，这类方法适用于非线性程度不高、且随机输入波动不大的问题，局部展开法需要计算函数的导数信息，因此，必须要求性能响应函数可导．
