广义差集矩阵理论和正交表构造

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广义差集矩阵理论是一种利用多边矩阵理论和矩阵象技术,对多维数组进行封闭的广义差运算,以此处理多指标复杂系统的关系结构和逻辑分析问题的方法体系. 《广义差集矩阵理论和正交表构造》系统地阐述广义差集矩阵理论及其应用. 《广义差集矩阵理论和正交表构造》共7章,内容包括广义差集矩阵的等价形式？原子形式？并列或标准混合形式？规范半混合形式？核形式的理论及其在混合水平正交表构造方面的应用结果.

罗纯，华东师范大学统计学博士，上海应用技术学院理学院副教授，应用统计研究所所长，中国现场统计学会试验设计分会（国家二级学术协会）常务理事，美国Bowling Green州立大学高级研究学者。曾获中国教育发展学会《2013年度全国基础教育课程改革教研先进个人》、中国教育发展学会《第二届全国基础教育课程改革教研成果一等奖》、上海市教育委员会《上海市育才奖》、上海应用技术学院教改项目一等奖、上海应用技术学院《我心目中的好老师》等奖项，主要研究领域为数理统计、组合数学、系统科学，主持或参与多项国家级、省部级、校级科技发展基金项目、教改基金项目与高教研究课题，近几年已在Communications in Statistics–Theory and Methods、Communications in Statistics–Simulation and Computation、Journal of Data Analysis、应用概率统计、江西师范大学学报（自然科学版）、科技通报等国内外专业期刊上发表50余篇研究论文。开设的主要课程：应用数理统计、矩阵分析、统计软件、多元统计分析、高等数学、概率论与数理统计、线性代数、复变函数等。

序
前言
主要符号对照表
第1章绪论 1
1.1研究背景和意义 1
1.2正交表构造的研究现状 2
1.3差集矩阵理论的研究现状 3
1.4 问题的提出 4
1.5主要工作 5
第2章 广义差集矩阵的等价形式和正交表 13
2.1广义差集矩阵的定义和基本构造定理 13
2.2利用广义差集矩阵构造正交表 19
2.3利用广义差集矩阵构造普通差集矩阵 21
2.4利用正交表构造广义差集矩阵 24
2.5利用普通差集矩阵构造广义差集矩阵 38
2.6广义差集矩阵的简单表达和运算的SAS语言编程 40
第3章 广义差集矩阵的原子形式与正交表 46
3.1利用普通差集矩阵构造正交表 46
3.2正交表与原子差集矩阵的基本关系定理 54

　　第1章 绪论
　　 1.1研究背景和意义
　　 20世纪20年代现代统计学的主要奠基者之一费希尔在英国Rothamsted农业试验站工作时，从田间试验设计研究入手，发展了试验设计与分析的基本思想与方法.试验设计发展至今，已形成广泛的理论和应用体系，其理论涉及数学的多个分支，除了概率论与数理统计基础以外，还涉及数论？有限代数？射影几何？组合理论？代数几何？信息论？编码理论？运筹学？计算数学以及计算机科学等各个分支.其应用也十分广泛，初期主要应用于农业，后来深入到几乎各个领域，包括工业？农林业？生物？医学？工程？物理？化学？环保以及社会经济？天文等，归结为一句话，凡是要进行科学实验的地方，特别是在科技研发中，都要用到试验设计和数据分析.
　　 试验方案安排得是否合理，采用的数据分析方法是否恰当，会直接影响到最终的研究结果是否正确.因此对试验的设计和分析，在科技研发中起着举足轻重的作用.尤其是在市场竞争激烈的今天，产品质量成为企业的生命，使得试验设计成为产品质量工程的重要组成部分而受到特别重视，应用十分广阔，著名统计学家BOXGEP曾经这样描述:假如有10%的工程师使用各种试验设计方法，产品的质量和数量会得到很大提高+质量工程学创始人田口玄一(Taguchi G)强调:不懂试验设计的工程师只能算半个工程师.试验设计与分析是使用频率最高的统计方法之一.
　　 试验设计的方法很多，如单因子试验？多因子试验？随机化完全区组试验？平衡不完全区组设计？链式区组设计？正交设计？拉丁方设计？饱和设计？超饱和设计？参数设计？容差设计？回归设计？均匀设计？混料设计？最优设计？响应曲面设计？扩充设计？空间填充设计？筛选设计？非线性设计和定制设计等.西方企业对于试验设计的应用早已大规模开始，比如美国航天航空设计的顶尖单位乔治亚宇航设计中心，在开发导弹？战斗机等美国绝密武器系统的时候，无一例外地使用了试验设计.在民用领域，如INTEL？惠普？苹果等公司在产品研发和质量提升阶段都使用了各种试验设计方法.文献[1][80]都是这方面的相对经典的知识，这些知识是本书研究的基本前提.
　　 当前，不但各种各样新的试验设计正在快速出现，而且各种各样经典的试验设计也在焕发青春.在试验设计领域，正交设计在诸多试验设计的方法中最为流行，之所以流行是因为它是研究多因素多水平的一种设计方法，该方法从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，具有“均衡分散，整齐可比”的特点，而且高效？快速？经济.由于正交设计基本上是通过正交表来安排试验的，因此关于正交表的研究一直是试验设计研究领域中经久不衰的热门课题，近年来，关于高强度正交表的研究[-]？关于近似正交表的研究[2-5]？关于正交表的存在性研究[6，7]？关于回避多个不可实施因子水平组合的正交表的构造研究[8，9]？关于产生具有相同结构正交表的研究[10]？关于广义正交表的研究[11-14]？关于对称正交表的研究[15]？关于正交表交互作用的研究[16-18]？关于满意正交表的研究[19，20]？关于schematic正交表的研究[21]？关于利用正交表构造正交频率方的研究[22，23]？关于混合水平混合强度正交表的研究[24，25，95，97]等在不断深化.
　　 目前已经发现:正交表的形式和存在性与相当多的学科领域内的未解决问题有关.例如，在数学领域，BIB设计的构造？有限射影平面的构造？正交拉丁方系的构造？Hadamard矩阵的构造？有限群的表示？正交幂等特征标的构造等都与正变表有关.又如在物理学中，关于对称性问题的研究:在化学中，关于晶体结构的研究;在生物学中，关于基因组排列的研究;在计算机科学中，关于编码理论和密码学的研究等，也与正交表有关.因此，如何构造更多的正交表，尤其是对混合水平正交表的构造，一直是试验设计领域内的一个重要问题，有着重要的理论意义和应用价值.
　　 但是，对正交表研究又是一个很困难的问题.制约正交表研究普及和发展的一个重要原因是:现在已知的正交表，尤其是已知的混合水平正交表并不多.由于实际问题是千变万化的，因此其需要的正交表也是多种多样的.故在应用中，各种各样的正交表都可能是需要的.但是现在对许多实际问题，很难找到与其适合的正交表.
　　 1.2正交表构造的研究现状
　　 正交表的数学定义是Rao C R[261在1947年提出的，近70年来，许多组合数学家和统计学家一直致力于研究不同类型的正交表的各种构造方法.早在1975年杨子胥在其专著《正交表的构造》[27]中对此问题进行了探讨;1981年马希文在其专著《正交设计的数学理论》[28]中对正交表的构造方法进行了概括和整理:1999年Hedayat等在他们的专著Orthogo'nal A¨ rays: Theory afn，d Applications[291申列出了正交表研究的最新动态？大量的研究成果？待解决的问题？可以使用的正交表及丰富的参考文献，为正交表的研究作出了重要的贡献.2000年吴建福等在他们的专著Expe'rzlments Pla'nn，in，g， A'nalysis，and Paracmetecr Desig'n Optimizatio，n，[301中归纳了构造混合水平正交表的几种新方法，其中文译本《试验设计与分析及参数优化》[31] 由张润楚教授等于2003年完成.
　　 概括来讲，目前关于正交表的构造主要思路和成果包括利用有限域构造[32，33]，利用拉丁方构造[34-37，94]，利用编码构造[38]，利用有限几何构造[39]，利用Hadamard矩阵构造[29，40，41]，利用扩张性替换方法(expansive replacement method)构造[42-45]，利用压缩性替换方法(contractive replacement method)[46-481构造，利用矩阵象构造(matrix image coristrLictior-i) [49-52]，利用正交表的分层加法构造[52- 5 4]，利用正交表的分层减法构造[52，55]，利用正交表的乘法构造[52，56]，利用正交表的除法构造[52，55]，利用差集矩阵构造[29-31，43-45，57，58]，利用计算机搜索方法构造[5，59-62].另外，文献[80][117]涉及这方面的成果，本书关于正交表构造的研究都涉及相关内容.在上述这些结果中，以矩阵象构造正交表的理论影响最大，
　　 从这些结果可以看出:正交表构造理论的研究进展较快，相应的结果较多，构造出的新正交表也比校丰富.而这种现象出现的突出标志是张应山教授的矩阵象理论被引入到了正交表构造，使得统计学者可以利用普通的投影矩阵分解技术，研究正交表构造的复杂问题.
　　 1.3差集矩阵理论的研究现状
　　 正交表构造理论中用到的一个重要技术是差集矩阵理论.差集矩阵本身也具有很强的组合设计意义.Bose R C和Bush K A于1952年率先提出了差集矩阵的概念[32]，近年来国内外许多学者对此进行研究，取得了大量的成果.刘璋温[63]？蒋声[64]？项可风[65]构造了一些普通差集矩阵，徐承绪[66]？Beth T等[57]？Wang J C等[45]，Wu CF J等[47]？Dey A等[91]，Hedayat A S等[29]？Ryser H J[801利用普通差集矩阵构造了许多正交表，Kuhfeld W.F[96]利用计算机搜索方法找出了一些普通差集矩阵，
　　 在此基础上，Wang J C[921利用混合差集矩阵构造了一些新的混合水平正交表;张应山等[67]研究了广义差集矩阵及其应用;庞善起[51]提出了标准混合差集矩阵的定义，并利用其构造了一些新的混合水平正交表;张应山[52]研究了原子差集矩阵？广义差集矩阵及其等价性质;席金彦[55]利用广叉差集矩阵给出了一种构造正交表的简便除法:庞善起等[69]通过利用差集矩阵和投影矩阵的正交分解之间的关系提出了构造小的标准混合差集矩阵的一般方法，同时也给出了通过小的标准混合差集矩阵构造阶数较大的标准混合差集矩阵的一般方法:胡恒璐[70]利用差集矩阵构造了部分Cartesian认证码:杨巧盈[71]利用差集矩阵构造了部分schematic正交表:陈奇等[72]研究了原子差集矩阵和正交表的一个基本的等价关系:罗纯等[73]探讨了广义差集矩阵和混合水平正交表以及普通差集矩阵的等价关系.
　　 从这些结果来看:差集矩阵构造理论的研究进展较慢，相应的结果较少，构造出的新差集矩阵也比较罕见.而这种现象出现的突出标志是目前采用的构造基础还比较复杂，需要较多的有限域和有限群知识，这使得统计学者很少能够介入这一研究领域.
　　 1.4 问题的提出
　　 从上两节看到:正交表构造在近期之所以取得了重大进展，是由于起源于张应山教授的《多边矩阵理论》中的矩阵象概念的引入，矩阵象的定义比较简单，对于任意的设计表(由正整数组成的n×m矩阵)
　　 定义列aj的关联矩阵为 关联矩阵是每行仅有一个1的0-1矩阵，向量aj的正整数表示相应行l所在的位置.函数design(*)是SAS程序专用于计算向量aj的关联矩阵的矩阵函数.
　　 考虑关联矩阵Cj生成的投影矩阵并记那么投影矩阵就是列aj的矩阵象，记为m(%).而设计表(1-1)的矩阵象定义为 而设计表(1-1)的正交性，等价于其各列的矩阵象rn(aj)正交.这也等价于投影矩阵7-？的正交分解这样矩阵象理论把正交表的正交性检验，变成了投影矩阵的正交分解计算，利用正交投影矩阵分解的任意性，可以构造相当多的混合水平正交表，甚至可以构造混合强度正交表.这使得从事正交表构造研究问题，不需要复杂的组合设计的预备知识，一般的学者都可以不困难地介入这个研究领域.本书和其他研究的主要区别就是本书使用矩阵象理论研究，而其他文献大多使用组合设计方法研究.