考研数学三部曲之大话概率论与数理统计

1.2 第二车砖——样本空间 9
“样本空间”不能孤立的存在，它是配合“随机试验”而存在的。换言之，只能说“某随机试验的样本空间是……”，而不能单独说“样本空间是……”。
1.3 第三车砖——样本点 9
本节涉及到的知识点很简单，所谓样本点，其实指的就是样本空间中的元素。
1.4 第四车砖——随机事件 10
“随机事件”与“随机试验”完全不是一回事，大家可千万别把它们混为一谈。所谓随机事件，指的是样本空间的子集。
1.5 第五车砖——随机事件之间的关系 11
大家已经知道随机事件是什么意思了，现在要给大家讲的是“两个随机事件之间的关系有哪些”。具体来说，有五种关系。

1.5.1 包含关系： 11
1.5.2 等于关系： 12
1.5.3 交关系： （或 ） 12

1.5.4 并关系： （或 ） 13
1.5.5 差关系： 13

1.6 第六车砖——随机事件的概率 14
概率是对可能性的定量描述，但是这种定量描述是理论上的。
1.7 第七车砖——两种特殊的随机事件 14
在前面的第四车砖中，我给大家讲了随机事件的基本概念，随机事件是样本空间的子集。本节我要给大家介绍两种特殊的随机事件：不可能事件和必然事件。
1.8 房间101——互斥 15
随机事件 和随机事件 互斥指随机事件 和随机事件 不可能同时发生。
1.8.1 两个随机事件互斥 15
1.8.2 两个随机事件对立 16

1.9 房间102——相互独立 17
本节只给大家讲“两个随机事件相互独立”和“三个随机事件相互独立”。大家一定要记住，“互斥”是针对两个随机事件而言的，而“相互独立”则可以针对多个随机事件。

1.9.1 两个随机事件相互独立 17

1.9.2 三个随机事件相互独立 17

1.10 房间103——关于互斥、相互独立的进一步讨论 18
本节我要给大家讲六个结论，请大家务必要把这六个结论背下来。
1.11 房间104——三大公式 19

1.11.1 加法公式 19
1.11.2 减法公式 20

1.11.3 乘法公式 22

1.12 房间105——四条算律 24
1.13 房间106——与概率有关的应用题 34
以下两个条件是“与概率有关的应用题”的标志：
①具有背景。
②让求概率。

1.13.1 几何概型 35
1.13.2 伯努利概型 44

1.13.3 全概率概型与贝叶斯概型 51

1.14 小结 61
1.15 练习题 62
第2章 第二层——随机变量及其概率分布 71
第一章基本没有涉及到高等数学，但是如果大家认为概率论与数理统计学科与高等数学无关，那可就错了。本章会涉及到一些高等数学知识，例如导数和积分。
2.1 第一车砖——为什么要引入随机变量 72
其实我完全可以把本节内容删去，而直接给大家讲随机变量的定义，因为本节的内容是不会出考研题的。
2.2 第二车砖——随机变量的定义 72
通过上一节的讲解，大家一定已经知道为什么要引入随机变量了吧。那么，到底什么叫随机变量呢？这正是本节要给大家讲的。
2.3 第三车砖——分布函数的定义 74
本节要给大家讲的知识点是分布函数的定义。分布函数实在是太重要了，它既与第二车砖中刚刚讲完的随机变量有关，又与第四车砖中将要讲的概率密度函数有关。
2.4 第四车砖——概率密度函数的定义 75
先来给大家提个醒：上一节刚刚讲完的分布函数以及本节将要讲的概率密度函数都是针对随机变量而言的。也就是说，并不能孤立地说“分布函数是什么”或者“概率密度函数是什么”，必须得说“某随机变量的分布函数是什么”或者“某随机变量的概率密度函数是什么”。
2.5 第五车砖——随机变量的分类 82
在本章的第二车砖中，我给大家讲了随机变量的定义。而现在，我们来给随机变量分一下类。
2.5.1 离散型随机变量 83
2.5.2 连续型随机变量 89

2.5.3 混合型随机变量 92


2.6 第六车砖——三条重要结论 93
这三条重要结论并不是可会可不会，而是必须背熟。
2.6.1 重要结论① 93
2.6.2 重要结论② 93

2.6.3 重要结论③ 100

2.7 第七车砖——分布律 101
分布律其实就是一张表格而已。“分布律”这三个字与“概率分布”这四个字的意思完全一样，也就是说“概率分布”相当于“分布律”的别名。这一点一定要记牢（有很多人认为“概率分布”的意思是“概率密度函数”，事实却并非如此）。
2.8 房间201—— 为某一随机变量的分布函数的充要条件 106
分布函数的定义早在本章的第三车砖中就已经给大家讲过了。然而，并不是说任意给一个函数 ，它就一定可以作为某一随机变量的分布函数……
2.9 房间202——通过分布函数求概率 114
当大家看了本节的标题后，或许会认为“通过分布函数求概率”之前已经讲过了啊，没错，但是光这一个公式是不够的，本节再给大家讲两个公式，一共三个。
2.10 房间203—— 为某一随机变量的概率密度函数的充要条件 121
并不是任意给一个函数，它就一定可以作为某一随机变量的概率密度函数。
2.11 房间204——通过概率密度函数求概率 127
我想，现在一定有许多同学迫不及待地想对我说“老师，这个我会，不就是先利用概率密度函数 求出分布函数 ，然后利用分布函数 求概率嘛”。我想说，你们不觉得太费劲了吗？
2.12 房间205——常用分布 133
本章的六个房间都很重要。不过，如果非要在本章的六个房间中挑出一个最重要的房间的话，那么就是房间205。

2.12.1 二项分布 134
2.12.2 泊松分布 137
2.12.3 几何分布 141

2.12.4 均匀分布 142
2.12.5 指数分布 148
2.12.6 正态分布 149

2.13 房间206——随机变量函数的分布 156
我要给大家讲两种题型以及对应的解题方法。

2.13.1 第一种题型 156
2.13.2 第二种题型 161

2.14 小结 163
2.15 练习题 163
第3章 第三层——二维随机变量及其分布 169
大家之前在运大楼第一层和第二层所需的砖时，运的太多了，多到已经足够大楼第三层用的了！所以我们现在不用运砖了，直接建造房间。
3.1 房间301——二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、
条件分布律 170
“分布律是一张表格，表格中列出了随机变量的所有可能取值以及相应的概率。”而现在，只是在“分布律”一词前面加了修饰词“联合”、“边缘”、“条件”而已，可无论加什么词来修饰，归根结底还是分布律。
3.2 房间302——二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 176
正如二维随机变量 的分布律有联合分布律与边缘分布律之分一样，二维随机变量 的分布函数也有联合分布函数与边缘分布函数之分……
3.3 房间303——二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、
条件概率密度函数 180
正如二维随机变量 的分布律有联合分布律、边缘分布律、条件分布律之分一样，二维随机变量 的概率密度函数也有联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数之分。

3.3.1 题型1 180
3.3.2 题型2 196

3.3.3 题型3 201

3.4 房间304——通过联合概率密度函数 求概率 202
大家猜一下，本节的标题中“概率”两字指的是哪种概率呢？
3.5 房间305——二维均匀分布 208
一旦题中告诉了二维随机变量 服从均匀分布，那么就相当于告诉了该二维随机变量的联合概率密度函数。
3.6 房间306——随机变量的独立性 212
提起“独立性”一词，大家是否会感到似曾相识？的确，本书第1章讲过“独立性”，是“随机事件的独立性”，而本节是“随机变量的独立性”……
3.7 房间307——两个随机变量函数的分布 218
第2章房间206的标题叫“随机变量函数的分布”，而本节的标题叫“两个随机变量函数的分布”，好好琢磨一下。

3.7.1 第一种题型 218

3.7. 2 第二种题型 229

3.8 房间308—— 分布、 分布、 分布 230
其实本节的内容按理来说应该在第6章（数理统计的基本概念）中讲，之所以现在讲，主要是考虑到本节的内容涉及到正态分布以及随机变量的独立性。正态分布是在第2章讲的，随机变量的独立性是在本章讲的，所以我就趁热打铁了。

3.8.1 （读作“kài方”）分布 230
3.8.2 分布 233

3.8.3 分布 235

3.9 小结 236
3.10 练习题 237
第4章 第四层——随机变量的数字特征 249
与上一章一样，没有砖只有房间，就讲四个知识点：数学期望、方差、协方差、相关系数。
4.1 房间401——数学期望的基本计算方法 250
我并不给大家讲数学期望的定义，而是直接给大家讲数学期望的基本计算方法。这是为什么呢？因为考研中从不考数学期望的定义。

4.1.1 题型1 250
4.1.2 题型2 251

4.1.3 题型3 252
4.1.4 题型4 256

4.2 房间402——数学期望的性质 257
考研中除了考查数学期望的基本计算方法之外，还考查数学期望的性质。
4.3 房间403——方差的基本计算方法 266
房间401是“数学期望的基本计算方法”，而本节是“方差的基本计算方法”，所以大家可以把这两节放在一起来记忆。
4.4 房间404——方差的性质 270
考研中除了考查方差的基本计算方法之外，还考查方差的性质。

4.4.1 性质1 270
4.4.2 性质2 270
4.4.3 性质3 270

4.4.4 性质4 272
4.4.5 性质5 274

4.5 房间405——常见分布的数学期望与方差 275
本节我会给大家一个表格，请大家一定要把它背下来。

4.6 房间406——协方差与相关系数 281
协方差的定义大家可以不知道（只掌握协方差的性质就可以了），但是相关系数的定义大家一定要知道。

4.6.1 协方差 281

4.6.2 相关系数 284

4.7 小结 288
4.8 练习题 290
第5章 第五层——大数定律和中心极限定理 295
本章的知识点较少，只有三个房间，在考研题中一般是以选择题或填空题的形式来对本章的知识点进行考查。
5.1 房间501——切比雪夫不等式 296
5.2 房间502——辛钦大数定律 297
5.3 房间503——列维林德伯格定理（中心极限定理） 299
5.4 小结 300
5.5 练习题 302
第6章 第六层——数理统计的基本概念 305
本章不讲定义（因为考研中根本不考本章这些定义），只给大家讲一下重要的性质和定理。实际上，考研中很少涉及到本章的知识点，因此大家不必在本章花费过多的时间。
6.1 第一车砖——五个名词 306
本节给大家介绍五个名词，五个等式（背下来），另外， 、 、 、 、 的对应中文名称也必须背下来。
6.2 房间601——与 和 有关的三条性质 307
6.3 房间602——与正态总体有关的四条结论 308
6.4 小结 311
6.5 练习题 312
第7章 第七层——参数估计 317
本章要讲的是“估计”，考研中对于“估计”的考查主要有两种题型。第一种题型是:别人已经对未知参数进行了估计，问你别人的估计是否准确。第二种题型是：让你自己对未知参数进行估计。
7.1 房间701——无偏估计 318
比如 是未知参数，某人对未知参数 的估计值是 。如果此人估计的比较准确的话，那么我们就称 是未知参数 的无偏估计。仔细看，某人对未知参数 的估计值是 ，那么我们应该如何判断 是否为 的无偏估计呢？别急，请看本节的内容。
7.2 房间702——矩估计 320
房间701中给大家讲的无偏估计的实质是“被动”，也就是说别人已经对未知参数进行了估计，问你别人的估计是否准确。而接下来的房间702、703、704中我要给大家讲的是“主动”，也就是说让你自己对未知参数进行估计。

7.3 房间703——最大似然估计 325
“最大似然估计”与上一节讲的“矩估计”都属于点估计，而不属于区间估计。

7.4 房间704——置信区间 334

房间702 （矩估计）和房间703（最大似然估计）讲的都是估计“点”，只不过是从两个不同的角度来估计而已；而本房间 （房间704）讲的则是估计“段”。
7.5 小结 338

7.6 练习题 340

.　　总结来说，本书所谓的“逻辑非常清晰”体现在如下三个方面：
　　（1）本书所有题目的解析中绝对不会出现任何一个书中没有讲到的知识点。
　　（2）本书所有题目的每一步解答都详细注明了来源。
　　（3）本书的所有题目均与知识点完全对应。
　　4.例题非常丰富
　　本书的例题非常丰富。丰富到什么程度呢？其实很多例题按理说根本就是没有必要的（因为知识点太简单了，而且讲解知识点的语言又特别通俗易懂，根本不需要再有例题了），但本书还是写了，这是为什么呢？因为我在教学的过程中，发现了这样一种现象：就算知识点再简单，讲解再明白，不举例的话，学生心里还是多少会有一些不踏实。基于此，本书所涉及到的知识点（无论再简单的知识点）几乎都有配套的例题。
　　本书内容
　　本书是按照教育部考试中心公布的考研大纲的要求来组织内容的。
　　本书的主要内容包括：随机试验，样本空间，样本点，随机事件，随机事件之间的关系，随机事件的概率，两种特殊的随机事件，互斥，相互独立，关于互斥、相互独立的进一步讨论，三大公式，四条算律，与概率有关的应用题，随机变量的定义，分布函数的定义，概率密度函数的定义，随机变量的分类，三条重要结论，分布律， 为某一随机变量的分布函数的充要条件，通过分布函数求概率， 为某一随机变量的概率密度函数的充要条件，通过概率密度函数求概率，常用分布，随机变量函数的分布，二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布律，二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数，二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数，通过联合概率密度函数 求概率，二维均匀分布，随机变量的独立性，两个随机变量函数的分布， 分布、 分布、 分布，数学期望的基本计算方法，数学期望的性质，方差的基本计算方法，方差的性质，常用分布的数学期望与方差，协方差与相关系数，切比雪夫不等式，辛钦大数定律，列维林德伯格定理（中心极限定理），无偏估计，矩估计，最大似然估计，置信区间等。
　　本书读者
　　以下三类读者最适合阅读本书：
　　? 正在准备研究生入学考试的读者（无论读者是什么样的基础）。
　　? 正在准备学校期末考试的在校大学生（无论读者是什么样的基础）。
　　? 工作后需要补学或温习概率论与数理统计的读者（无论读者是什么样的基础）。
　　感谢
　　此书能够和大家见面，我本人做了很多努力，但如果只靠我一个人的努力，这本书是根本不能顺利出版的。并非是客套话，而是事实的确如此。
　　首先要感谢我的父亲潘建平对我写作本书期间的全力支持，为了帮助我尽快完成书稿，他经常和我一起熬夜到很晚。所以，可以这么说，如果没有他的贡献，就没有本书的出版。
　　超级畅销书《大话设计模式》的作者程杰也给了我非常大的帮助。我创作本书的灵感就来源于程杰的那本《大话设计模式》，程杰本人也给我提了很多的宝贵意见，并且我与清华大学出版社的缘分也是来自程杰。在此，我对程杰表示由衷地感谢。
　　大家都知道，只有作者是无法完成一本书的出版的。一本书的出版与策划编辑的辛勤劳动是分不开的，本书更是如此。从我与清华大学出版社签订出版合同到书名的敲定再到书中很多细节的修改，我都得到了清华大学出版社的栾大成编辑（也是本书的责任编辑）的鼎力相助。在此我要对栾编辑表达我深深的谢意。
　　在此向所有帮助与支持我的朋友道一声：谢谢！
　　
　　潘鑫