数学的发现--对解题的理解、研究和讲授

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数学书籍
　　本书主要讲解思考方法，思维路线，小到眼前怎样解题，大到如何做学问，怎样发现创造数学里的新命题。作者试图通过一些简单典型的例子，找到它们共同的特征，提炼出思考所遵循的路径，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了相当丰富的习题让读者亲自实践。.
　　 本书适合大、中学校学生和数学教师，数学科学、思维科学研究人员阅读参考。...

译者的话.
第一卷序言
第二卷序言
修订版序言
合订版序言
寄言中学教师
对读者的提示
第一部分 模型
第1章 双轨迹的模型
§1.1 几何作图
§1.2 从例子到数学模型
§1.3 例子
§1.4 设想问题已经解出来了
§1.5 相似图形的模型
§1.6 例子
§1.7 辅助图形的模型
第1章的习题与评注
第2章 笛卡儿（descartes）模型
§2.1 笛卡儿和他的万能方法
§2.2 一个小问题

　　乔治·波利亚(George Polya，1887—1985)是一位杰出的数学家，出生于匈牙利，青年时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学，1912年于布达佩斯大学获哲学博士学位，1914年进入苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教．1940年他移居美国，自1942年起一直为美国斯坦福大学教授．.
　　波利亚在数学的广阔领域里有极为精深的研究，发表过200多篇研究论文和许多专著．他不仅是一位数学家，而且也是一位优秀的教育家．他热心教育，十分重视从小培养学生的解题能力．在他的经历中，始终把高深的数学研究与数学的普及教育结合在一起，不倦地为改进数学教学而努力．在这一方面，他写过的文章和著作也很多，其中最著名的是，《怎样解题》、《数学与合情推理》(Ⅰ、Ⅱ卷)、《数学的发现》(一、二卷)．上述著作出版后受到广泛的欢迎和推崇，在美国曾风靡一时，尔后又被翻译成世界上多种文字，被评价为二次大战后出现的经典性著作．
　　我们在这里向读者介绍的是《数学的发现》(一、二卷)．
　　也许人们会想，这大概是一本介绍许多新奇而有趣的数学知识的书．诚然，它包含有不少有趣的数学内容，但是，从整体来讲，正如本书副标题所示，它主要不是一本传授知识的书，而是一本讲解方法的书．
　　任何学问都包括知识的积累和能力的训练两个方面，按作者的看法，在数学上，能力的训练比起单纯的知识的堆积要重要得多．传授现成的知识，也许要容易些，但是要在大量种类繁多的数学问题中，找出它们共同的特征，提炼出一种思考所遵循的途径和方法，则要艰巨得多．本书的目的，就是试图教会读者如何去思考和剖析问题，激发起读者内在的能动性和创造精神，学会数学的思维方法，从根本上来提高你的数学素养．
　　作者把解题看作是人类的最富有特征性的活动．而这种活动——如同游泳或弹钢琴，也是一种本领．学习这种本领，同学习任何其他本领一样，其必由之路乃是模仿和实践．学习，首先就是模仿，而模仿则必须要有榜样．模仿是为了实践，而实践又必须具备机会．本书的全部内容，概括地说，就是为读者学习数学的方法提供模仿的榜样和实践的机会．..
　　在本书的各章中，作者通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的)进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．作者以平易浅显的语言，应用启发式的叙述方法，讲述了有高度数学概括性的原理，使得各种水平的读者，都获益匪浅．这种以简驭繁，寓华于朴，平易而生动的讲授，充分反映了一位教育大师的风格特征．
　　本书各章末尾的习题与评注，是正文的延续，它们都是经过作者的精心选择安排，与正文紧密关联的不可分割的部分．这些练习，为读者提供了一个进行创造性工作的极好机会，它将激起你的好胜心和主动精神，并使你品尝到数学工作的乐趣．这种机会，对于一个立志要学好数学的读者，或者想切实提高自己数学教学水平的教师来讲，是十分可贵和难得的．这部分习题和评注，不应看成是正文的附庸，相反地，从某种意义上讲，它也许是本书中更为重要的部分．任何读者，只有实践了这一部分内容之后，才能真正领略到本书的价值．
　　对于浅尝辄止、不图深入的人来说，本书的有些部分也许会使他感到“容易”，而有的题目，他又会认为太“艰深”了．对于勤于思考的读者来讲，可能就不是这种看法．这也许是一本易读的书，也许不是一本易读的书，这个问题让我们留给读者自己去品味吧．
　　波利亚的三本经典著作——《怎样解题》(1944)、《数学与合情推理》(1954)和《数学的发现))(1962，1965)已全部译成中文．当年波利亚写这套书的一个直接动机就是想改善当时美国中学教师的培训，从而提高中学的数学教学水平．半个世纪以来，美国数学会和很多大学合作一直在暑期以这套书为基本材料开办各种研讨班，培训社区大学和中学的数学教师，对有关人员的业务和教学、科研水平的提高起了很大作用．今天对我们来讲，波利亚当年面对的问题也同样存在，而且由于应试教育的顽固和大学教育迅猛发展师资准备不足，问题更显严重，唯愿这些书的出版，会有助于改善目前数学教学和学习的现状．
　　本书翻译于1979年，1980年，1981年曾由内蒙古人民出版社发行，已售罄多年．科学出版社决定将此书再版，我们遂根据原书最新版对旧译作做了修订．由于水平有限，错误与不妥之处一定不少，诚恳希望读者给予批评指正．...
　　译者
　　2004年4月
　　

　　一个解法称为是完善的，如果我们从一开头就能预见甚至证明，沿着这个方法做下去，就一定能达到我们的目的．.
　　《莱布尼兹文集》，pp．161
　　1．解一个问题就是意味着从困难中去找出一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易即时达到的目标．解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，因此解题可以认为是人的最富有特征性的活动．本书的目的就是去了解这一活动，提供方法去讲述它，从而最终使得读者提高解题的能力．
　　2．本书包括两个部分，让我简要地介绍一下这两部分的主题．
　　解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学到它．本书不能给你提供一把可以打开一切门户、解决所有问题的魔钥匙，但是它却给你提出了许多可供模仿的例子和供你实际练习的机会．如果你想学会游泳，你必须得跳进水里去．同样的，如果你想成为一个善于解题的人，你就必须得去实地解题．
　　假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，这些特征在你以后去求解其他的问题时，能起到指引的作用．一种解题的方法，它若是经过你自己的努力得到的，或者是从别人那里学来或听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲就可以成为一种楷模，当你在碰见别的类似的问题时，它就是可供你仿照的模型．本书第一部分的目的，就是使你熟悉为数不多的几个有用的模型．
　　仿照某个问题的解法，去解一个十分类似的问题，当然是件容易的事．但是假若问题并不十分类似，那么这个模仿就会变得很困难甚至于不可能了．人们常常有一个根深蒂固的念头：希望能找到一种威力无边的方法，它能够去解出所有的问题．这个念头在我们许多人的心目中，也许是不明确的，但是在一些神话故事或一些哲学家的著作里，它却是表露得十分明白的．你也许还记得能打开一切门户的魔咒的故事吧，笛卡儿曾冥思苦想过一种解一切问题的万能方法，还有莱布尼兹，也曾明白地叙述过他的完善的方法的思想．然而这个万能的完善的方法的探求，比起那个能点石成金的点金石的探求来，并没有取得更多一点的成绩．伟大的梦毕竟还是梦．但是从另一个方面来说，这些不能到达的理想仍然可以影响、指引着人们：没有人能到达北斗星，但是人们望着它却找到了正确的方向．本书当然不可能向你提供(也永远不可能有什么书能向你提供)一个万能的完善的解题方法，但即使朝这个不可及理想迈上几小步也会让你心智大开，解题能力有所改进，第二部分便是概述这样的几步．
　　3．我想把本书试图进行的研究(即解题的手段与方法的研究)说成是“启发式”的．启发式一词，过去曾被术士们用过，现在一则是被遗忘了，一则也是名声不好．但是我并不忌讳它．
　　在大多数的场合，本书实际上都是在进行通达的启发式的讲解：我总是用各种办法去启导读者做题并且让他思索出用来解题的手段和方法．
　　下面各章的大部分内容，将对为数不多的若干例题进行充分的示范讲解．对于一个不惯说教的数学家来说，这样的写法也许是过于冗繁了．然而实际上，我们所讲述的，不仅仅限于解法，而且还讲述了解法的“病历”．所谓“病历”，就是这个解法所借以发现的一些实质性步骤，以及导致这些步骤的动机和想法的一种叙述．对一个特例之所以要进行这样周密的描述，目的就是为了从，中提出一般的方法或模型，这种模型，在以后类似的情况下，对于读者求解问题，可以起指引的作用．这样一种从具体实例中抽出来的方法或模型的明确表述，我常常把它放在单独的一节里，虽然它的第一次猜测性的叙述也许在讲述“病历”的枝节片断中已经出现过了．
　　在每一章的后面都附有习题与评注．读者在做这些习题的时候，就可以得到一个去应用、澄清并扩大本章课文中所讲述的内容的好机会．评注分散在习题的中间，它常常给出模型的推广、某些技巧、某些细微之处，或一些枝节上的说明．
　　我不能肯定这样写会收到多大的效果，但我当尽力而为，以取得读者的合作．我尝试着将我在课堂教学里行之有效的讲授风格移注到本书的扉页中去．由于讲述了解法的“病历”，我想读者可以借以熟悉一下研究的气氛．通过习题的选择、叙述与安排(叙述和安排是更为重要的，它们花去了比我预先想像的要多得多的时间)，我试图向读者提出挑战(你有没有勇气去解出它们)，激起他们的好胜心和主动精神，并给他们提供充分的机会去面对多种多样的研究场合．
　　4．本书大部分篇幅是处理纯数学问题，非数学的问题提得很少，它们常常出现在问题的背景里，实际上，我还是对它们进行了仔细的考虑，只要可能，我总是把数学问题讲到那种程度，使得读者在弄清楚数学问题的同时，也弄明白了非数学的问题．
　　本书大部分篇幅是讨论初等数学问题，高等数学问题虽然很少提到，但实际上它却是我去收集素材的指引．本书的材料主要源自我自己的研究工作，我对许多初等数学问题的处理方法，反映了我在处理高等数学问题(它们不可能列入本书)时得到的经验．
　　5．本书除了理论上的目的——启发式的研究之外，尚有一个具体的、紧迫的实际目的，即改进中学数学教师的培训．..
　　由于最近几年我都在给中学数学教师们讲课，这就使得我有很好的机会去观察他们的培训工作，并形成了自己的看法．我想我是一个比较客观的观察者，作为这样一个观察者，我只有一个意见：中学数学教师的培训情况是很不佳的．而对这一点所有主管单位都不能推卸责任．尤其是教育他们的学校和学院里的数学系，假若他们想改变现状的话，就应该认真地修改一下他们的教育内容．
　　学院应当给未来的中学教师提供些什么课程呢?我们无法恰当地来回答这个问题，除非我们先回答另一个与此相关的问题：中学应当给他们的学生教些什么?
　　但是这个问题是不会有什么结果的，因为对它的争议太大了，似乎不可能取得一致的回答．这是不幸的．但尽管如此，我想在问题的一个方面，专家们还是可以取得一致意见的．
　　任何学问都包括知识和能力这两个方面．假如你真正具有数学工作(无论是初等或是高等水平的)的经验的话，那么你会毫不迟疑地说，在数学里，能力比起单单具有一些知识来，要重要得多．因此在中学里，如同其他各级学校一样，我们应当在授予学生一定数量知识的同时，还应教会他们一定的解决问题的能力．
　　在数学里，能力指的是什么?就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题．因此中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练．这是我的见解，当然你也许不全与我一致，但我想你至少会同意解题训练应当受到重视这一点——这也就行了．