数学建模方法与分析(原书第4版)
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《数学建模方法与分析(原书第4版)》将数学建模方法与计算机的使用密切结合，不仅通过对每个问题的讨论给了很好的示范，而且配备了大量的习题.
基本信息
- 原书名：Mathematical Modeling，Fourth Edition
- 原出版社： Academic Press
编辑推荐
《数学建模方法与分析(原书第4版)》系统介绍数学建模的理论及应用，作者将数学建模的过程归结为五个步骤（即“五步方法”），并贯穿全书各类问题的分析和讨论中.
内容简介
作译者
Mark M．Meerschaert，美国密歇根州立大学概率统计系教授。他曾在密歇根大学、英格兰学院、内华达大学、新西兰达尼丁Otago大学执教，讲授过数学建模、概率、统计学、运筹学、偏微分方程、地下水及地表水水文学与统计物理学课程。他当前的研究方向包括无限方差概率模型的极限定理和参数估计、金融数学中的厚尾模型、用厚尾模型及周期协方差结构建模河水流、医学成像、异常扩散、连续时间随机游动、分数次导数和分数次偏微分方程、地下水流及运输。
目录
《数学建模方法与分析(原书第4版)》
译者序
前言
第一部分最优化模型
第1章单变量最优化
1.1五步方法
1.2灵敏性分析
1.3灵敏性与稳健性
1.4习题
1.5进一步阅读文献
第2章多变量最优化
2.1无约束最优化
2.2拉格朗日乘子
2.3灵敏性分析与影子价格
2.4习题
2.5进一步阅读文献
第3章最优化计算方法
3.1单变量最优化
3.2多变量最优化
3.3线性规划
译者序
前言
第一部分最优化模型
第1章单变量最优化
1.1五步方法
1.2灵敏性分析
1.3灵敏性与稳健性
1.4习题
1.5进一步阅读文献
第2章多变量最优化
2.1无约束最优化
2.2拉格朗日乘子
2.3灵敏性分析与影子价格
2.4习题
2.5进一步阅读文献
第3章最优化计算方法
3.1单变量最优化
3.2多变量最优化
3.3线性规划
译者序
在叶其孝教授和姜启源教授的推荐下，我们有幸阅读了本书英文版.不同于通常所见到的关于数学建模的书,本书使我们有一种耳目一新的感觉.
本书最显著的特点是作者将数学建模的过程，也就是解决实际问题的数学建模方法归结为五个步骤（书中称之为“五步方法”），并且贯穿全书各类问题的分析和讨论当中.它们是：1. 提出问题；2. 选择建模方法；3. 推导模型的数学表达式；4. 求解模型；5. 回答问题.这是我们在进行数学建模时的一种科学的思维方式，特别是它可以有效地帮助初学者步入数学建模的大门.第一步的“提出问题”也就是我们常说的用数学语言表述实际问题的前提，包括合理的假设、引入变量和参数（带有恰当的单位及已知的关系）、
明确求解的目标.这是成功建立数学模型的关键.最后一步“回答问题”也就是我们常说的用通俗的语言表述数学结论，使得最初提出问题的人能理解你通过数学模型给出的结论.这是数学模型实现其实用价值的关键.这种数学语言与非数学语言的“双向翻译”能力是数学建模过程中的薄弱环节.为解决这个问题，书中不仅通过对每个问题的讨论给予很好的示范，而且配备了大量的习题.同一个实际问题（如鲸鱼问题）在不同章节的习题中反复出现，不断地要求应用五步方法，引导学生从不同的角度考虑，结合不同的数学模型进行讨论.所有这些对于希望提高数学建模能力的读者来说是非常有益的.
本书的第二个特点是如何使用数学模型来解决实际问题.在数学上,解决问题只需要根据问题的条件通过数学上的分析得到所需要的结论,这样工作就完成了.但是当你面对一个实际问题并使用数学模型归结为数学问题之后，通过对模型的数学分析给出解答并不意味着实际问题已经完全解决了.因为在建模的过程中通过假设问题被简化了，对参数给出的估计往往是近似的.这种简化和近似对于实际问题有多大影响？这也是数学建模工作者在解决实际问题时所必须面对的问题.本书提出了在建立数学模型并且求解得到结论之后的一项重要工作：关于模型的灵敏性和稳健性的分析，这是非常必要的.这一分析也贯穿于全书各类问题的讨论之中.这在我国现有的数学建模教材中是很少见的.实际问题的复杂性和随机因素的影响都难以保证我们所做的假设是完全正确的，观测数据存在的误差也会影响到人们对结论的信心.因此,对参数进行灵敏性分析，可以确定结论的实用范围；对模型进行稳健性分析，可以断定从一个不完全精确的模型导出的结论是否对实际问题有价值，从而提高了数学模型的结论的有效性.这些分析对于数学建模工作者来说不仅必要而且十分重要.为此作者在书中精心选择和设计了所使用的例题和习题.
本书的第三个特点是将数学建模方法与计算机的使用密切结合.现代计算技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力.解析方法只能根据模型推测将会发生什么，而计算机模拟方法不仅能通过模型的构造和运行看到将会发生什么，而且还能分析解析方法很难处理的复杂问题.在这本书中作者脱离了具体的计算机语言，以伪代码的形式给出解决问题的基本算法，使学生可以用自己掌握的计算机语言编程，尝试数值模拟方法.
目前我国多数高等院校已经开设了数学建模课程，不少重点大学更是将数学建模课程列为数学专业本科生必修的基础课程,全国的数学建模竞赛也已具有相当的规模和影响.这些变化极大地推动了我国高等院校的课程改革和数学应用教育的发展.现在我们面临的最重要问题是如何提高数学建模课程的教学水平.好的教材是解决问题的关键之一.我们读完本书英文版后，为其特色和魅力所折服.本书只要求读者具备大学一、二年级的数学基础知识（掌握一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.事先接触过计算方法、概率论和统计学方面的知识是有益的，但不是必需的）,特别是它注重培养数学建模的良好习惯，通过大量的习题引导读者动手去做，由浅入深、循循善诱的特点，使其适合作为高等院校数学建模课程的教材或教学参考书.因此，我们认为很有必要将英文版翻译成中文，献给广大的中国读者.鉴于我们翻译水平有限，书中涉及的内容又十分广泛，不当之处实在难免.读者的任何批评指正都将是对本书的关心和帮助，我们由衷欢迎.
本书第一部分和后记由杨淳翻译，第二部分由黄海洋翻译，第三部分和前言由刘来福翻译.最后由刘来福对全书进行了统稿.感谢叶其孝教授和姜启源教授的推荐，感谢机械工业出版社华章分社的编辑们为这本书的出版所做的努力.
刘来福
于北京师范大学数学科学学院
本书最显著的特点是作者将数学建模的过程，也就是解决实际问题的数学建模方法归结为五个步骤（书中称之为“五步方法”），并且贯穿全书各类问题的分析和讨论当中.它们是：1. 提出问题；2. 选择建模方法；3. 推导模型的数学表达式；4. 求解模型；5. 回答问题.这是我们在进行数学建模时的一种科学的思维方式，特别是它可以有效地帮助初学者步入数学建模的大门.第一步的“提出问题”也就是我们常说的用数学语言表述实际问题的前提，包括合理的假设、引入变量和参数（带有恰当的单位及已知的关系）、
明确求解的目标.这是成功建立数学模型的关键.最后一步“回答问题”也就是我们常说的用通俗的语言表述数学结论，使得最初提出问题的人能理解你通过数学模型给出的结论.这是数学模型实现其实用价值的关键.这种数学语言与非数学语言的“双向翻译”能力是数学建模过程中的薄弱环节.为解决这个问题，书中不仅通过对每个问题的讨论给予很好的示范，而且配备了大量的习题.同一个实际问题（如鲸鱼问题）在不同章节的习题中反复出现，不断地要求应用五步方法，引导学生从不同的角度考虑，结合不同的数学模型进行讨论.所有这些对于希望提高数学建模能力的读者来说是非常有益的.
本书的第二个特点是如何使用数学模型来解决实际问题.在数学上,解决问题只需要根据问题的条件通过数学上的分析得到所需要的结论,这样工作就完成了.但是当你面对一个实际问题并使用数学模型归结为数学问题之后，通过对模型的数学分析给出解答并不意味着实际问题已经完全解决了.因为在建模的过程中通过假设问题被简化了，对参数给出的估计往往是近似的.这种简化和近似对于实际问题有多大影响？这也是数学建模工作者在解决实际问题时所必须面对的问题.本书提出了在建立数学模型并且求解得到结论之后的一项重要工作：关于模型的灵敏性和稳健性的分析，这是非常必要的.这一分析也贯穿于全书各类问题的讨论之中.这在我国现有的数学建模教材中是很少见的.实际问题的复杂性和随机因素的影响都难以保证我们所做的假设是完全正确的，观测数据存在的误差也会影响到人们对结论的信心.因此,对参数进行灵敏性分析，可以确定结论的实用范围；对模型进行稳健性分析，可以断定从一个不完全精确的模型导出的结论是否对实际问题有价值，从而提高了数学模型的结论的有效性.这些分析对于数学建模工作者来说不仅必要而且十分重要.为此作者在书中精心选择和设计了所使用的例题和习题.
本书的第三个特点是将数学建模方法与计算机的使用密切结合.现代计算技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力.解析方法只能根据模型推测将会发生什么，而计算机模拟方法不仅能通过模型的构造和运行看到将会发生什么，而且还能分析解析方法很难处理的复杂问题.在这本书中作者脱离了具体的计算机语言，以伪代码的形式给出解决问题的基本算法，使学生可以用自己掌握的计算机语言编程，尝试数值模拟方法.
目前我国多数高等院校已经开设了数学建模课程，不少重点大学更是将数学建模课程列为数学专业本科生必修的基础课程,全国的数学建模竞赛也已具有相当的规模和影响.这些变化极大地推动了我国高等院校的课程改革和数学应用教育的发展.现在我们面临的最重要问题是如何提高数学建模课程的教学水平.好的教材是解决问题的关键之一.我们读完本书英文版后，为其特色和魅力所折服.本书只要求读者具备大学一、二年级的数学基础知识（掌握一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.事先接触过计算方法、概率论和统计学方面的知识是有益的，但不是必需的）,特别是它注重培养数学建模的良好习惯，通过大量的习题引导读者动手去做，由浅入深、循循善诱的特点，使其适合作为高等院校数学建模课程的教材或教学参考书.因此，我们认为很有必要将英文版翻译成中文，献给广大的中国读者.鉴于我们翻译水平有限，书中涉及的内容又十分广泛，不当之处实在难免.读者的任何批评指正都将是对本书的关心和帮助，我们由衷欢迎.
本书第一部分和后记由杨淳翻译，第二部分由黄海洋翻译，第三部分和前言由刘来福翻译.最后由刘来福对全书进行了统稿.感谢叶其孝教授和姜启源教授的推荐，感谢机械工业出版社华章分社的编辑们为这本书的出版所做的努力.
刘来福
于北京师范大学数学科学学院
前言
数学建模是连接数学和现实世界的桥梁.从提出问题，思考、提炼问题，到用精确的数学语言叙述问题，一旦问题变成数学问题，就可以使用数学知识去求解.最后，需要倒转这个过程，把数学的解答翻译成对于原问题来说易于理解的、有意义的答案（这是很多人经常忽略的部分）.有些人擅长语言，而另一些人则擅长计算，我们拥有许多具备这两种能力之一的人.但是，我们需要更多的人既擅长语言又擅长计算，并且愿意和能够进行翻译.这些人就是对解决将来的问题有影响力的人.
本书是为数学专业及相关专业大学高年级的学生或刚入学的研究生提供的一本数学建模领域的入门读物.通常大学一、二年级数学课程中学习的一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.事先接触过计算方法、概率论和统计学方面的知识是有益的，但不是阅读本书的前提.
本书与某些专注于某一类数学模型的教科书不同，覆盖了从最优化到动力系统再到随机过程中有关建模问题的广泛领域.本书与另外一些仅仅讲授一学期微积分知识的书籍也不同，它要求学生使用他们所学的全部数学知识来解决问题(因为这些都是解决实际问题时需要的).
绝大多数数学模型可以归为三大类型：最优化模型、动态模型和概率模型.在实际应用中模型的类型可能由所遇到的问题决定，但更多的是与使用者对模型的选择有关.在许多实例中都可以使用一类以上的模型.例如：一个大规模的蒙特卡罗模拟模型也可能会与一个小的易于掌握的基于期望值的确定性模型结合起来使用.
与三类主要数学模型相对应，本书题材的组织分为三个部分.我们从最优化模型开始.第1章以单变量的最优化问题为主题，在1.1节介绍了数学建模的五步方法，在这一章的其余部分介绍了灵敏性分析和稳健性分析.全书贯穿使用了这些数学建模的基本材料.每一章后面的习题最好也要求学生完成.第2章讨论多变量最优化问题，介绍了决策变量、可行解、最优解和约束条件.这一章复习拉格朗日乘子法是为了没有接触过多元微积分中这一重要方法的学生.在关于带约束条件问题的灵敏性分析一节中，我们会了解到拉格朗日乘子可用来表示影子价格（有些作者称它们为对偶变量）.这些成为第3章稍后关于线性规划讨论的内容.第3章的结尾是关于离散最优化的一节，它是在第2版中加进来的.这里我们给出了整数规划的分支定界方法的实用介绍.我们还探讨了线性规划和整数规划之间的联系，这样较早地引入了对连续模型离散化的重要论题.第3章还包含了一些重要的计算方法，包括单个和多个变量的牛顿法以及线性规划和整数规划.
本书的第二部分是关于动态模型的，介绍状态和平衡态的概念，随后的关于状态空间、状态变量和随机过程的平衡态的讨论都与这些概念密切相关.此外，还讨论了离散和连续时间的非线性动力系统.书中的这一部分很少强调严格的解析解，因为绝大多数这些模型不存在解析解.在第6章的结尾是关于混沌和分形的一节，它是在第2版中加进来的.我们应用解析和模拟两种方法探讨了离散的和连续的动力系统的行为，以便理解在某些条件下它们如何变成混沌.这一节为这个主题提供了一个实际的易于理解的介绍.学生获得了关于对初始条件的敏感依赖性、周期的加倍以及奇怪吸引子这些构成分形集合的概念的体验.最重要的是，这些数学上的珍奇是在研究现实世界的问题中浮现出来的.
在书的最后一部分我们介绍了概率模型.学习这部分内容不需要事先具备概率论的知识.我们是以本书前两部分为基础，在现实问题中涉及概率论时以自然和直观的方式介绍.第7章介绍了随机变量、概率分布、强大数定律和中心极限定理这些基本概念.第7章的最后是关于扩散的一节，它是在第3版加进来的.其中以扩散方程为重点简单介绍了偏微分方程.在这里我们给出了用点源法求解偏微分方程，使用傅里叶变换得到正态密度的简单推导过程.这样把扩散模型与7.3节引入的中心极限定理联系了起来.关于扩散的这一节源于我在内华达大学为低年级研究生讲授地球科学课的讲义.扩散应用于污染物在大气和地下水中的迁移.第8章讨论了随机过程的基本模型，包括马尔可夫链、马尔可夫过程和线性回归.在第3版中添加了关于时间序列的新节，这一节可以作为具有多个预测因子的多元回归模型的介绍.作为8.3节关于线性回归的讨论的自然延续，关于时间序列的新节介绍了相关这一重要思想，还展示了如何识别时间序列模型中的相关变量和模型中所包含的依赖结构.讨论集中在自回归模型上，因为这是广泛使用的时间序列模型.因为可以使用线性回归软件来处理，所以操作自回归模型也是非常方便的.为利于学生使用统计软件包，这一节通过适当的应用例子解释了自相关作图和序贯平方和等高级方法.然而，这一节还讨论了仅用回归的基本实现，该回归允许有多个预测因子并输出两个基本度量值：R2和残差标准差s.这完全可以用较好的电子表格软件或计算器实现.第9章讨论了随机模型的模拟方法，介绍了蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，并且将马尔可夫性质应用于构建有效的模拟算法.第9章还研究了解析模拟方法，并且与蒙特卡罗方法进行了比较.在第4版中，在第9章最后增加了两节新的内容.9.4节讨论粒子追踪方法，即使用蒙特卡罗模拟来求解包含基本随机过程的偏微分方程.9.5节介绍在反常扩散背景下出现的分数阶微积分，使用粒子追踪方法求解了分数阶扩散方程，并将其应用于地下水污染问题.这一节将分形、分数阶导数和带有拖尾的概率分布的概念联系在了一起.
本书的每一章都配有挑战性的习题.对部分学生而言，这些习题不但要求他们付出巨大的努力，还需要一定的创造性.书中的问题不是编造的，它们都是现实的问题.不是把这些问题设计成为说明任何特定数学方法的应用，相反，由于问题的需要，我们将会偶尔绕过本书中新的数学方法.我认为本书任何地方不会引起学生的疑问：这究竟是为什么？尽管虚构的问题通常过分简化或严重地不切实际，但是虚构的问题还是体现了应用数学知识去解决实际问题时的基本任务.对于大多数学生来说，虚构的问题提出许多挑战.本书教授学生如何去解决这些虚构的问题.本书提供了一种通用方法，可以使得有能力的学生成功地运用它去解决任何虚构的问题.这种方法在1.1节提出.这种方法同样可用于全书所有类型的问题.
每一章习题的后面列出了进一步阅读文献，其中包括若干与本章内容有关的应用数学的UMAP模块.UMAP模块能够提供对本书材料的有益补充，所有的UMAP模块可以从数学及其应用协会（www.comap.com ）得到.
本书的主要论题之一是使用适当的技术去解决数学问题.计算机代数系统、图形工具和数值方法在解决数学问题中都有用武之地，许多学生还没有接触到这些工具.我们把现代的技术引入了本书，因为这些新技术更加便于解决现实世界中的问题，从而激励学生去学习.计算机代数系统和二维图形工具在全书中都会用到，第2、3章关于多变量最优化的问题会涉及三维图形工具，接触过三维图形工具的学生可以尝试使用已掌握的知识.书中的数值方法包括牛顿方法、线性规划、欧拉方法、线性回归和蒙特卡罗模拟.
书中除了介绍绘图工具在数学中的专门使用之外，还包括大量用计算机绘制的图形.计算机代数系统广泛地用于明显地需要代数计算的那些章节.第2、4、5、8章包含了从计算机代数系统Maple和Mathematica得到的计算机输出.关于计算技术的几章（第3、6、9章）讨论了数值算法在求解不存在解析解的问题时的专门使用.关于线性规划的3.3节和3.4节包括了从流行的线性规划软件包LINDO得到的计算机输出.关于线性回归和时间序列的8.3节和8.4节包括了从通用的统计软件包Minitab得到的输出.
学生需要具备这些专用的技术以便充分地利用本书.我尽量为各种学院的教师使用本书提供方便.有些教师有办法使学生接触这些复杂的计算工具，但有些人没有条件.最起码的需要包括：（1）绘制二维图形的软件工具;（2）一台能使学生执行简单的数值算法的计算机.计算机电子表格软件或者可编程的图形计算器都可以做这些事情.理想的状况是为学生提供机会接触较好的计算机代数系统、线性规划软件包和统计计算软件包.下面列出了可以结合本书使用的部分专用软件包.
计算机代数系统：
Derive,Chartwell-Yorke Ltd., www.chartwellyorke.com/derive
Maple,Waterloo Maple, Inc.,www.maplesoft.com
Mathcad,Parametric Technology Corp.,www.ptc.com/products/mathcad
Mathematica, Wolfram Research,Inc.,www.wolfram.com/mathematica
MATLAB,The MathWorks,Inc.,www.mathworks.com/products/matlab
Maxima,free download,maxima.sourceforge.net
统计软件包：
本书是为数学专业及相关专业大学高年级的学生或刚入学的研究生提供的一本数学建模领域的入门读物.通常大学一、二年级数学课程中学习的一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.事先接触过计算方法、概率论和统计学方面的知识是有益的，但不是阅读本书的前提.
本书与某些专注于某一类数学模型的教科书不同，覆盖了从最优化到动力系统再到随机过程中有关建模问题的广泛领域.本书与另外一些仅仅讲授一学期微积分知识的书籍也不同，它要求学生使用他们所学的全部数学知识来解决问题(因为这些都是解决实际问题时需要的).
绝大多数数学模型可以归为三大类型：最优化模型、动态模型和概率模型.在实际应用中模型的类型可能由所遇到的问题决定，但更多的是与使用者对模型的选择有关.在许多实例中都可以使用一类以上的模型.例如：一个大规模的蒙特卡罗模拟模型也可能会与一个小的易于掌握的基于期望值的确定性模型结合起来使用.
与三类主要数学模型相对应，本书题材的组织分为三个部分.我们从最优化模型开始.第1章以单变量的最优化问题为主题，在1.1节介绍了数学建模的五步方法，在这一章的其余部分介绍了灵敏性分析和稳健性分析.全书贯穿使用了这些数学建模的基本材料.每一章后面的习题最好也要求学生完成.第2章讨论多变量最优化问题，介绍了决策变量、可行解、最优解和约束条件.这一章复习拉格朗日乘子法是为了没有接触过多元微积分中这一重要方法的学生.在关于带约束条件问题的灵敏性分析一节中，我们会了解到拉格朗日乘子可用来表示影子价格（有些作者称它们为对偶变量）.这些成为第3章稍后关于线性规划讨论的内容.第3章的结尾是关于离散最优化的一节，它是在第2版中加进来的.这里我们给出了整数规划的分支定界方法的实用介绍.我们还探讨了线性规划和整数规划之间的联系，这样较早地引入了对连续模型离散化的重要论题.第3章还包含了一些重要的计算方法，包括单个和多个变量的牛顿法以及线性规划和整数规划.
本书的第二部分是关于动态模型的，介绍状态和平衡态的概念，随后的关于状态空间、状态变量和随机过程的平衡态的讨论都与这些概念密切相关.此外，还讨论了离散和连续时间的非线性动力系统.书中的这一部分很少强调严格的解析解，因为绝大多数这些模型不存在解析解.在第6章的结尾是关于混沌和分形的一节，它是在第2版中加进来的.我们应用解析和模拟两种方法探讨了离散的和连续的动力系统的行为，以便理解在某些条件下它们如何变成混沌.这一节为这个主题提供了一个实际的易于理解的介绍.学生获得了关于对初始条件的敏感依赖性、周期的加倍以及奇怪吸引子这些构成分形集合的概念的体验.最重要的是，这些数学上的珍奇是在研究现实世界的问题中浮现出来的.
在书的最后一部分我们介绍了概率模型.学习这部分内容不需要事先具备概率论的知识.我们是以本书前两部分为基础，在现实问题中涉及概率论时以自然和直观的方式介绍.第7章介绍了随机变量、概率分布、强大数定律和中心极限定理这些基本概念.第7章的最后是关于扩散的一节，它是在第3版加进来的.其中以扩散方程为重点简单介绍了偏微分方程.在这里我们给出了用点源法求解偏微分方程，使用傅里叶变换得到正态密度的简单推导过程.这样把扩散模型与7.3节引入的中心极限定理联系了起来.关于扩散的这一节源于我在内华达大学为低年级研究生讲授地球科学课的讲义.扩散应用于污染物在大气和地下水中的迁移.第8章讨论了随机过程的基本模型，包括马尔可夫链、马尔可夫过程和线性回归.在第3版中添加了关于时间序列的新节，这一节可以作为具有多个预测因子的多元回归模型的介绍.作为8.3节关于线性回归的讨论的自然延续，关于时间序列的新节介绍了相关这一重要思想，还展示了如何识别时间序列模型中的相关变量和模型中所包含的依赖结构.讨论集中在自回归模型上，因为这是广泛使用的时间序列模型.因为可以使用线性回归软件来处理，所以操作自回归模型也是非常方便的.为利于学生使用统计软件包，这一节通过适当的应用例子解释了自相关作图和序贯平方和等高级方法.然而，这一节还讨论了仅用回归的基本实现，该回归允许有多个预测因子并输出两个基本度量值：R2和残差标准差s.这完全可以用较好的电子表格软件或计算器实现.第9章讨论了随机模型的模拟方法，介绍了蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，并且将马尔可夫性质应用于构建有效的模拟算法.第9章还研究了解析模拟方法，并且与蒙特卡罗方法进行了比较.在第4版中，在第9章最后增加了两节新的内容.9.4节讨论粒子追踪方法，即使用蒙特卡罗模拟来求解包含基本随机过程的偏微分方程.9.5节介绍在反常扩散背景下出现的分数阶微积分，使用粒子追踪方法求解了分数阶扩散方程，并将其应用于地下水污染问题.这一节将分形、分数阶导数和带有拖尾的概率分布的概念联系在了一起.
本书的每一章都配有挑战性的习题.对部分学生而言，这些习题不但要求他们付出巨大的努力，还需要一定的创造性.书中的问题不是编造的，它们都是现实的问题.不是把这些问题设计成为说明任何特定数学方法的应用，相反，由于问题的需要，我们将会偶尔绕过本书中新的数学方法.我认为本书任何地方不会引起学生的疑问：这究竟是为什么？尽管虚构的问题通常过分简化或严重地不切实际，但是虚构的问题还是体现了应用数学知识去解决实际问题时的基本任务.对于大多数学生来说，虚构的问题提出许多挑战.本书教授学生如何去解决这些虚构的问题.本书提供了一种通用方法，可以使得有能力的学生成功地运用它去解决任何虚构的问题.这种方法在1.1节提出.这种方法同样可用于全书所有类型的问题.
每一章习题的后面列出了进一步阅读文献，其中包括若干与本章内容有关的应用数学的UMAP模块.UMAP模块能够提供对本书材料的有益补充，所有的UMAP模块可以从数学及其应用协会（www.comap.com ）得到.
本书的主要论题之一是使用适当的技术去解决数学问题.计算机代数系统、图形工具和数值方法在解决数学问题中都有用武之地，许多学生还没有接触到这些工具.我们把现代的技术引入了本书，因为这些新技术更加便于解决现实世界中的问题，从而激励学生去学习.计算机代数系统和二维图形工具在全书中都会用到，第2、3章关于多变量最优化的问题会涉及三维图形工具，接触过三维图形工具的学生可以尝试使用已掌握的知识.书中的数值方法包括牛顿方法、线性规划、欧拉方法、线性回归和蒙特卡罗模拟.
书中除了介绍绘图工具在数学中的专门使用之外，还包括大量用计算机绘制的图形.计算机代数系统广泛地用于明显地需要代数计算的那些章节.第2、4、5、8章包含了从计算机代数系统Maple和Mathematica得到的计算机输出.关于计算技术的几章（第3、6、9章）讨论了数值算法在求解不存在解析解的问题时的专门使用.关于线性规划的3.3节和3.4节包括了从流行的线性规划软件包LINDO得到的计算机输出.关于线性回归和时间序列的8.3节和8.4节包括了从通用的统计软件包Minitab得到的输出.
学生需要具备这些专用的技术以便充分地利用本书.我尽量为各种学院的教师使用本书提供方便.有些教师有办法使学生接触这些复杂的计算工具，但有些人没有条件.最起码的需要包括：（1）绘制二维图形的软件工具;（2）一台能使学生执行简单的数值算法的计算机.计算机电子表格软件或者可编程的图形计算器都可以做这些事情.理想的状况是为学生提供机会接触较好的计算机代数系统、线性规划软件包和统计计算软件包.下面列出了可以结合本书使用的部分专用软件包.
计算机代数系统：
Derive,Chartwell-Yorke Ltd., www.chartwellyorke.com/derive
Maple,Waterloo Maple, Inc.,www.maplesoft.com
Mathcad,Parametric Technology Corp.,www.ptc.com/products/mathcad
Mathematica, Wolfram Research,Inc.,www.wolfram.com/mathematica
MATLAB,The MathWorks,Inc.,www.mathworks.com/products/matlab
Maxima,free download,maxima.sourceforge.net
统计软件包：
书摘
8.仍考虑习题7中的报纸问题，现在假设广告商可以选择直接将广告邮寄给它的客户，由于这一点，管理方决定广告价位的提高不超出400美元／页的价格。
（a）采用五步方法和有约束的最优化模型求使利润最大的每周报纸订阅价格和广告价格，利用拉格朗日乘子法求解。
（b）讨论你的决策变量（订阅价格和广告价格）关于价格提高10美分会导致销售量下降5 000这一假设的灵敏性。
（c）讨论你的两个决策变量关于广告价格提高100美元／页会导致广告损失50页／周这一假设的灵敏性。
（d）（a）中求出的拉格朗日乘子的值是多少？从利润关于400美元／页这一假设的灵敏性的角度解释这一数据的意义。
9.仍考虑习题7中的报纸问题，但现在考虑报纸的经营开支，现在每周的经营开支包括80 000美元付给编辑部门（新闻、特写、编辑），30 000美元付给销售部门（广告），30 000美元付给发行部门，60 000美元为固定消耗（抵押、公用事业股票、运转），新的管理方正在考虑削减编辑部门的开支，据估计，报纸在最低40 000美元的编辑预算的条件下可以维持运转，减少编辑预算可以节约经费，但会影响报纸的质量，根据在其他市场的经验，每减少l0％的编辑预算，会损失2％的订户和1％的广告，管理方也在考虑提高销售的预算，最近，在一个类似的市场上另一家报纸的管理者将其广告销售预算提高了20％，结果多获得了l5％的广告，销售预算可以提高到最多50 000美元／周，但总的经营开支不能超过现在的200 000美元／周的水平。
（a）设订阅价格保持1.5美元／周，广告的价格为250美元／页，采用五步方法和有约束的最优化模型求使利润最大的编辑和销售预算，利用拉格朗日乘子法求解。
（b）计算每一个约束的影子价格，解释它们的含义。
（c）画出这个问题的可行域，在图上指出最优解的位置，在最优解处，哪一个约束是关键约束？它与影子价格的联系是什么？
（d）假设编辑预算的削减在市场上产生了相当强烈的负面作用，设减少10％的编辑预算会导致报纸损失P％的广告和2p％的订户，确定最小的P值使得如果不减少编辑预算，报纸的盈利情况反而要好些。
（a）采用五步方法和有约束的最优化模型求使利润最大的每周报纸订阅价格和广告价格，利用拉格朗日乘子法求解。
（b）讨论你的决策变量（订阅价格和广告价格）关于价格提高10美分会导致销售量下降5 000这一假设的灵敏性。
（c）讨论你的两个决策变量关于广告价格提高100美元／页会导致广告损失50页／周这一假设的灵敏性。
（d）（a）中求出的拉格朗日乘子的值是多少？从利润关于400美元／页这一假设的灵敏性的角度解释这一数据的意义。
9.仍考虑习题7中的报纸问题，但现在考虑报纸的经营开支，现在每周的经营开支包括80 000美元付给编辑部门（新闻、特写、编辑），30 000美元付给销售部门（广告），30 000美元付给发行部门，60 000美元为固定消耗（抵押、公用事业股票、运转），新的管理方正在考虑削减编辑部门的开支，据估计，报纸在最低40 000美元的编辑预算的条件下可以维持运转，减少编辑预算可以节约经费，但会影响报纸的质量，根据在其他市场的经验，每减少l0％的编辑预算，会损失2％的订户和1％的广告，管理方也在考虑提高销售的预算，最近，在一个类似的市场上另一家报纸的管理者将其广告销售预算提高了20％，结果多获得了l5％的广告，销售预算可以提高到最多50 000美元／周，但总的经营开支不能超过现在的200 000美元／周的水平。
（a）设订阅价格保持1.5美元／周，广告的价格为250美元／页，采用五步方法和有约束的最优化模型求使利润最大的编辑和销售预算，利用拉格朗日乘子法求解。
（b）计算每一个约束的影子价格，解释它们的含义。
（c）画出这个问题的可行域，在图上指出最优解的位置，在最优解处，哪一个约束是关键约束？它与影子价格的联系是什么？
（d）假设编辑预算的削减在市场上产生了相当强烈的负面作用，设减少10％的编辑预算会导致报纸损失P％的广告和2p％的订户，确定最小的P值使得如果不减少编辑预算，报纸的盈利情况反而要好些。
