微分方程、动力系统与混沌导论(第2版)

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本书主要介绍了线性系统、非线性系统、平面系统、洛伦茨系统、离散动力系统等，还分别介绍了这些知识在生物学、电路理论、力学等方面的应用。本书是介绍动力系统最值得推荐的一本经典教材，它从整体的、动态系统的观点介绍ODE 的理论。每章后面都附有颇具参考价值的习题，可以帮助学生巩固所学知识。
本书适合作为高等院校数学专业以及其他理工科专业高年级学生学习动力系统的教材或参考书。

Morris William Hirsch加州大学伯克利分校荣休教授，世界著名的动力系统专家，单调动力系统理论创始人。他是1982年菲尔兹奖得主William Paul Thurston的博士导师。除本书外，他还著有Differential Topology一书。

第1章　一阶方程　
　1.1　最简单的例子　
　1.2　合理的物种总量模型　
　1.3　常值收割与分岔　
　1.4　周期收割与周期解　
　1.5　计算庞加莱映射　
　1.6　探索：一个双参数族　
　习题　
第2章　平面线性系统　
　2.1　二阶微分方程　
　2.2　平面系统　
　2.3　代数预备知识　
　2.4　平面线性系统　
　2.5　特征值和特征向量　
　2.6　求解线性系统　
　2.7　线性叠加原理　
　习题　
第3章　平面系统的相图　
　3.1　不同实特征值　
　3.2　复特征值　

　　自本书第1版出版30年以来，动力系统这一数学领域发生了巨大的变化。在20世纪70年代早期，我们很少有机会接触到高速计算机和计算机图形学。在数学中也从来没有使用过“混沌”一词,而且只有很少的数学家对微分方程和动力系统感兴趣。.
　　这30年来情况发生了极大的变化。 计算机现在到处都是,人们可以广泛地使用各种软件包来近似计算微分方程的解并将结果用图形显示出来。 如此一来,分析非线性微分方程系统 就变得比以往任何时候都更加容易。诸如马蹄映射、同宿混乱和洛伦茨系统等复杂动力系统的发现以及数学上对它们的分析使得科学家们相信,像平衡点或周期解这种简单的稳定运动 不再总是微分方程解的最重要行为。这些漂亮且触手可得的混沌现象促使许多学科的科学家和工程师们更加仔细地考察他们各自领域中的重要微分方程。在许多情形下，他们也在这些系统中 发现了混沌行为。 如今,几乎每个学科领域都出现了动力系统现象：从化学中的振荡Belousov-Zhabotinsky反应到电子工程中的混沌Chua电路,从天体力学中的复杂运动 到生态学中的分岔。
　　这样一来，比起20世纪70年代,微分方程和动力系统教材的读者就变得相当庞杂。在这个版本中我们相应地做了几处结构调整，这些变化包括：
　　(1) 线性代数的处理降低了难度。我们删除了涉及抽象向量空间和赋范线性空间的一般理论，并且不再完整地证明所有n×n矩阵都可以约化成标准形。我们将主要处理 大小不超过4×4的矩阵;
　　(2) 仔细地讨论了洛伦茨吸引子、Shil'nikov系统以及双螺线吸引子中的混沌行为;
　　(3) 添加了许多新的应用，同时对以前的应用也作了相应的更新;
　　(4) 专门用几章来讨论离散动力系统;
　　(5) 主要讨论C∞系统，这样就简化了许多定理的假设。
　　本书由3个主要部分构成。第一部分讨论线性微分方程系统和一些一阶非线性方程。第二部分是该书的主要部分，这里我们集中讨论非线性系统特别是二维系统，以及这些系统在各种领域中的应用。 第三部分讨论高维系统,这里，我们着重研究 平面系统所不具备的混沌行为,并介绍研究这种行为的主要手段——约化到一个离散动力系统。
　　为背景大不相同的读者来写一本书是一个很大的挑战。我们认为本书可以作为微分方程 后续课程的教材,它的对象不仅仅是数学专业的学生，而且还包括其他理工科学生,本书将有助于他们培养出足够多的数学技巧来分析他们各自领域中的各种微分方程。使用本书的很多 读者可能具有很强的线性代数和实分析背景,而也有读者可能缺乏这些知识的训练。 为了使 本书同时适合这两类读者,我们开始先介绍了一些简单的低维微分方程系统。 对于有较强微分方程背景的读者来说，这里大部分内容只不过是复习而已。为了这些读者，我们将 一些新课题分散在本书的第一部分。
　　例如，第1章讨论一阶方程。 在这一章的开始,我们先讨论线性微分方程以及合理生物总量 模型(logistic population model)，只要了解微分方程的读者都应该熟悉这些课题。 复习完这些之后,我们讨论带收割的 合理模型(logistic model),这里既有常值收割也有周期收割。 这使得我们可以很快地引入分岔,以及描述庞加莱 映射和周期解。这些课题通常不会出现在初等微分方程课程中，但只要学过多元微积分就能很容易地理解这些内容。当然,背景有限的读者可以不妨跳过这些专门的课题，而将注意力集中到更初等一些的内容。
　　第2章到第6章讨论线性微分方程系统。 同样地，开始时很缓慢,整个第2章和第3章都只是 讨论平面微分方程系统和二维线性代数。第5章和第6章介绍了高维线性系统，然而我们的重点仍然只是三维和四维系统，而不是最一般的n维系统,虽然我们所描述的许多技巧都可以 很容易地推广到更高维情形。..
　　第二部分是本书的核心。 这里我们转而讨论非线性系统。 与线性系统不同,讨论非线性系统会 出现一些理论上的困难,这些困难包括解的存在性和唯一性，解对初始条件和参数的连续依赖性,等等。 我们并不立刻就陷入这些困难的理论问题,因为讨论这些问题要求相当坚实的实分析基础。在第7章我们只是简单地陈述一些重要结果,同时通过一些例子来解释这些定理说了 些(和没有说)什么。所有这些结果的证明都放在本书的最后一章。
　　在本书非线性部分开始的几章，我们介绍了一些重要技巧,这些技巧包括平衡点附近的线性化、零点集分析(nullcline analysis)、稳定性、极限集以及分岔理论。 在这一部分的后面几章,我们将这些想法运用到生物学、电子工程、力学等许多领域中产生的各种系统。
　　许多章的最后一节都是“探索”。 这些节由一系列的问题和数值研究组成,它们都是用来讨论 与前面内容有关的一个特定课题或应用。在每个探索中,我们都简要地介绍了即将要做的课题,并且提供了进一步了解这一课题的参考文献。 但是,我们让读者利用前面所学的内容自己去 讨论所得出的系统的行为。我们常常为读者准备一系列的基础问题并经常提示如何去解决，但是,在许多情况下，完全地分析这个系统可能会变成一个大的研究项目。对于这些问题，你不可能找到“书后面附的答案”，在许多情形下,没有人知道完整答案。 (当然，你本人除外!)
　　本书的最后一部分专门讨论高维系统的复杂非线性行为,即所谓的混沌行为。 我们通过 著名的洛伦茨微分方程系统来引入这些思想。在三维和更高维的情形，我们常常将理解微分方程复杂行为的问题约化成对一个离散动力系统或迭代映射的理解。因而我们需要 暂时转入离散系统的领域,同时讨论怎样用符号动力学来完全描述某些混沌系统。 然后我们再回到非线性微分方程，并将这些技巧运用到其他混沌系统,其中包括出现同宿轨的系统。
　　我们有一个网站http://www.math.bu.edu/hsd专门用来发布与本书有关的消息。在这里你可以找到本书的勘误表，或给出你对本书的建议,这里还有微分方程的教师和学生 感兴趣的一些其他课题。我们欢迎读者在这个站点上踊跃发表意见。
　　很高兴地感谢Bard Ermentrout，John Guckenheimer，Tasso Kaper,Jerrold Marsden 和Gareth Roberts对本书第1版给出的许多好建议。特别感谢Daniel Look和 Richard Moeckel，他们仔细阅读了整个手稿。本书中许多相平面图形的绘制都使用了优秀的 Mathematica宏包DynPac,这是Al Clark为Mathematica写的一个动力系统宏包。请浏览http://www.me.rochester.edu/~clark/dynpac.html。而且,我的小狗Killer Devaney 又啃光了所有手稿，残留下来的所有错误都怨它! ...
　　

　　“数学著作的典范。……熟悉第1版的读者会发现新版涵盖面更宽，适用面更广。”——美国数学月刊.
　　“本书出自3位世界最杰出的动力系统专家之手，他们阐述数学原理的能力超强。书中涵盖了目前许多研究都要用到的混沌基准模型。”——BrucePeckham，明尼苏达大学...