微积分入门I:一元微积分

　　本书是一位世界数学大家倾注极大热情和精力为有志于认真、系统地学习微积分的学生撰写的一本优秀教材．内容涉及一元微积分，包括实数、函数、微分、积分和无穷级数．首先详细而严密地论述了实数理论，然后利用旋转的概念对三角函数进行严格的定义，最后介绍了一致有界函数列的Arzela逐项积分定理，本书的最大特点是叙述的严密性和直观性，可作为大学本科微积分的教材或参考书。
　　

第1章 实数
1.1 序
1.2 实数
1.3 实数的加法与减法
1.4 数列的极限，实数的乘法、除法
1.5 实数的性质
1.6 平面上点的集合
习题
第2章 函数
2.1 函数
2.2 连续函数
2.3 指数函数和对数函数
2.4 三角函数
习题
第3章 微分法则
3.1 微分系数和导函数
3.2 微分法则
3.3 导函数的性质
3.4 高阶微分
习题

　　本书是根据日本岩波书店2003年出版的《解析入门Ⅰ》翻译的。本书的作者小平邦彦先生是为数不多的同时获得菲尔兹奖和沃尔夫奖的著名数学家之一。他在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域都做出了卓越的贡献。小平邦彦先生还是一位杰出的数学教育家，培养了大量的优秀数学工作者。《解析入门Ⅰ》和《解析入门Ⅱ》就是在他晚年为后人留下的又一重要文化财富。这是一套表述非常精练而内容十分丰富的微积分教材(原著分Ⅰ卷和Ⅱ卷，包括附录、习题解答及提示、索引，仅有514页)。由于它以严格的实数理论为基础，因此与通常的微积分教材不同，各部分内容简洁而流畅，充分体现了作者的数学才识。另外本书利用旋转的概念构造了三角函数的理论也是非常有趣的。它不仅值得数学专业的学生研读，而且对于需要微积分知识的理工科学生来说，也是值得一读的好教材或参考书。.
　　本书能得以顺利出版，首先要感谢人民邮电出版社图灵公司及明永玲、武卫东编辑的大力支持，同时，东北师范大学的黄松爱老师和研究生刘娜、孔令令、刘美含、刘赢、高瑞梅同学在翻译和校订中给予了大力帮助，在此一并表示衷心感谢!在翻译本书的过程中，译者虽然尽最大努力尊重原文原意，并尽可能避免直译产生的歧义，但是由于才疏学浅，难免存在翻译不当之处，敬请广大读者批评指正，以便再版时更正。...
　　裴东河
　　2007年5月
　　

　　这本微积分入门是以刚刚结束高中数学学习，步入大学后正式学习数学分析的人为对象而编写的。希望本书能够成为从高中数学通向现代微积分学的桥梁。.
　　分析学的基础是实数论，本书首先详细而严密地论述了实数论。最初，我计划以高木先生的《解析概论》第3次修订版(岩波书店)和藤原先生的《微分积分学Ⅰ》、《微分积分学Ⅱ》(内田老鹤圃)等作为蓝本，希望用读者容易接受的方式严谨地讲解传统的微积分学，但是结果却在某些地方脱离了这一宗旨。首先，在第2章三角函数的导入上 ，本书从角度可以表示为平面的旋转的量的观点出发，用指数函数eiθ作为媒介定义了三角函
　　数。因为在进入微分学之前，对三角函数进行严格的定义是非常必要的。
　　关于第4章的单变量函数的积分，受高木先生著作的启示，被积函数只限定在有至多有限个不连续点的情况，而闭区间上具有不连续点的函数的积分都作为广义积分来处理。在第5章中，介绍了一致有界函数列的Arzel逐项积分定理及由Hausdorff给出的初等证明。这个定理自Lebesgue逐项积分定理的出现而被遗忘，但在应用上非常有用。在第6章中，使用积分记号，从Arzela定理导出微积分定理。..
　　在第7章中，将详细介绍多重积分，即多元函数的积分，二元函数一般的情况则在第8章处理。由于在一元函数的情况，被积函数限定为至多具有有限个不连续点，因此多元函数的情况也应进行简化。为此， 第7章首先在矩形上定义连续函数的积分概念，然后用(平面上的)任意邻域上的连续函数的积分定义广义积分。从广义积分限定在被积函数是连续函数这一点来说，它比传统的黎曼积分要狭窄，但从它适用于任意邻域这一点来说，又比黎曼积分宽广。在第8章中同样定义了一般情况下的多重积分。在多重积分中，我们把重点放在了积分变量的变换公式的严格证明上。一元函数的积分变量变换公式是直接从不定积分的讨论中导出的。对有二元函数f(x，y)，满足Fxy(x，y)=f(x，y)的函数F(x，y)可以作为f(x，y)不定积分。 7.3节中双重积分的变量变换公式就是根据这种意义下的不定积分的考察获得的。其出发点是无论如何也要设法把一元函数的积分变换公式的简洁证明，推广到两变量的情况。在第8章中，通过对变量的个数采用归纳法，证明了一般情况的多重积分的变量变换公式。
　　作为微积分的应用，传统的方法是讲授曲线的长度和曲面的面积，另外还讲授微分形式理论的初步知识。但第8章已经超过了预定的篇幅，只好忍痛割爱删除了微分形式理论部分，在第9章中导出曲线长度公式和曲面面积公式后收尾。
　　现代数学受形式主义的影响很深，强调数学是公理化构成的论证体系。但我以为，正如物理学是描述物理现象一样，数学是描述客观存在的数学现象。因此为了理解数学，明确把握数学现象的直观是非常重要的。我在撰写本书的过程中，不仅在论证的严密性上，而且在直观描述上都下了巨大的功夫。
　　向在本书的习题解答和提示的写作过程中付出辛勤劳动的前田博信氏表示衷心的感谢。
　　撰写本书过程中参考了高木先生的《解析概论》和藤原先生的《微分积分学Ⅰ》、《微分积分学Ⅱ》。我想书中《解析概论》的影响应随处可见。所有的术语都是以《岩波数学辞典第3版》为标准。
　　本书出版过程中得到了岩波书店编辑部荒井秀男先生的许多帮助，借此机会向荒井先生表示衷心的感谢。...
　　作 者
　　1990年12月