数学分析(第二卷)(第4版)
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本书把叙述的高度严谨性与可读性、充实的内容以及培养研究实际问题的习惯结合起来了。
——A.H.柯尔莫戈洛夫，前苏联科学院院士
B.A.卓里奇的教科书是现有供大学数学系、物理系学生用的分析教科书中最成功的。它与传统分析教科书的重要区别在于，它一方面更贴近自然科学（特别是物理学和力学）的应用，另一方面，它比常规的教科书更多地运用了现代数学（包括代数学、几何学和拓扑学）的思想和方法。教程富于思想性，它清楚地展示了在具体问题研究中现代数学的思想和方法的强大威力。特别不寻常的是第二卷，它包括向量分析、流形上的微分形式理论、广义函数论和位势理论的引论、傅里叶级数和傅里叶变换以及渐近展开初步。
当今，像卓里奇这样编写教科书，应看作是一个创新。这在古尔沙时代曾经是平常的，但是，惹人注意的近半个世纪的教材专业化趋势阉割了分析教程，留给它的几乎只是一个个的论证。现在看来，重新使分析教程 变成有丰富内容的，显然是非常必要的，这也与大多数大学生未来将从事应用性的工作有关。
——B.H.阿诺尔德，俄罗斯科学院院士
本书是作者在莫斯科大学力学一数学系讲授多遍数学分析的基础上写成的，本书自1981年第1版出版以来，至今已经修订为第4版，在内容方面，作者力图使与其平行的以及后继的分析、代数和几何方面的现代数学课程之间联系更加紧密，把重点移到一般数学中最有本质意义的那些概念和方法上，并改进语言的叙述，使之与现代数学科学文献的语言适当接近；另一方面，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，对反映其自然科学源泉和应用的要求也有充分体现。
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本书是作者在莫斯科大学力学一数学系讲授多遍数学分析的基础上写成的，本书自1981年第1版出版以来，至今已经修订为第4版，在内容方面，作者力图使与其平行的以及后继的分析、代数和几何方面的现代数学课程之间联系更加紧密，把重点移到一般数学中最有本质意义的那些概念和方法上，并改进语言的叙述，使之与现代数学科学文献的语言适当接近；另一方面，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，对反映其自然科学源泉和应用的要求也有充分体现。
全书共二卷，第二卷的内容包括：连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、rn中的曲面和微分形式、曲线积分和曲面积分、向量分析与场论、流形上微分形式的积分法、级数和含参变量函数族的一致收敛性及基本分析运算、含参变量积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开等，与常见的分析教科书相比，本卷的内容相当新颖，系统地引进了现代数学（包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等）的基本概念、思想和方法，有关应用的内容也更加贴近现代自然科学。
本书可供综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生参考使用，工科大学应用数学系也可当作教材或主要参考书。
全书共二卷，第二卷的内容包括：连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、rn中的曲面和微分形式、曲线积分和曲面积分、向量分析与场论、流形上微分形式的积分法、级数和含参变量函数族的一致收敛性及基本分析运算、含参变量积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开等，与常见的分析教科书相比，本卷的内容相当新颖，系统地引进了现代数学（包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等）的基本概念、思想和方法，有关应用的内容也更加贴近现代自然科学。
本书可供综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生参考使用，工科大学应用数学系也可当作教材或主要参考书。
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《俄罗斯数学教材选译》序
再版序言
第一版序言
第九章 连续映射（一般理论）
1 度量空间
1.定义和例子
2.度量空间中的开集和闭集
3.度量空间的子空间
4.度量空间的直积
练习
2 拓扑空间
1.基本定义
2.拓扑空间的子空间
3.拓扑空间的直积
练习
3 紧集
1.紧集的定义和一般性质
2.度量紧集
练习
4 连通的拓扑空间
再版序言
第一版序言
第九章 连续映射（一般理论）
1 度量空间
1.定义和例子
2.度量空间中的开集和闭集
3.度量空间的子空间
4.度量空间的直积
练习
2 拓扑空间
1.基本定义
2.拓扑空间的子空间
3.拓扑空间的直积
练习
3 紧集
1.紧集的定义和一般性质
2.度量紧集
练习
4 连通的拓扑空间
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得知我写的数学分析教科书译成了中文，我感到非常高兴．.
在序言中已经说明了该书的一般特点，指出了其叙述的基本原则和目标．这里，在讨论可以想到的一些问题之前，我想就如何在教学过程中使用这本书作一些实际的说明．
任何一本教科书，通常都是学生用，教师也用，各有自己的目的．大家都希望书中除正式规定的必需的最低限度的理论内容以外，还有应用这些理论的丰富的例子、说明、历史评述和科学注释，还应展示相互联系，指出发展前景．但是，到期末准备考试时，学生则希望看到所有要考的材料．同样地，为了备课，教师则关注怎样挑选那些在课堂上应当讲授且能够讲授的材料．
考虑到这些问题，应当指出，这本教科书的内容明显多于讲稿的内容，尽管教科书是在讲稿的基础上写成的．区别在哪里呢?首先，对讲稿内容本身补充了一个完整的练习集，它不仅有习题，还有一些问题，这些问题有的来源于自然科学，有的来源于相应章节的数学理论本身，有的是这些章节内容的重要推广．第二，书中所分析的展示理论作用的例子，当然，比课堂上更多．最后，第三点，一些章节或个别段落是有意作为对课堂讲授内容所作的补充．这些在第一卷序言的“引言”部分、“辅助材料”部分以及第二卷序言中都说过．我再次强调这个方面，并把那里所说的东西具体化一些．
在全部与分析的形式化基础有关并在头两章详细罗列的导论材料中，在课堂上通常只讲第一章§3，第二章S1的第1、2两部分，§2的第3部分，或许还能讲第4部分；最后是S3，通常还要讲§4．这样一个篇幅不大且条理清楚的引论大约需要三讲倘若在课堂上逐字逐句地讲述课本中的全部引论材料，而把分析本身的内容甩
在一边，将严重干扰课程的重点．..
如果考虑头两章中所讲的整个内容，可能除第八章§6的第2、4、5部分(那里，作为隐函数定理的应用讲了关于秩、关于微分同胚分解定理和Morse引理)外，第一卷的全部理论材料，选用的证明和应用例子，都是传统的和必需的．
第二卷用于第二年的学习，显然其中有大量附加的、不完全被认为是经典的材料，为了阅读方便，这些材料都标了*号．从科学内容方面看，第二卷当然丰富多了．在这里，分析与数学的其他领域相互作用，其思想和典型方法都以它们的现代水平为准．顺便指出，对它们的现代水平的这种关注，第一卷内容叙述的原则，就已经受到它的影响．例如，古典微分学是按现代水准叙述的，为的是在往后边的部分(多变量以及其后的部分)过渡时不再出现新的微分运算法则，法则与以前是一样的，而是要充实过去的记号和与新的具体内容的关系．
关于第二卷材料的一些说明，除了第十七章§5和第十九章§2这些部分可能是例外，通常，没有打*号的部分，在做了这样那样的局部变动后，都直接纳入课堂讲授．如果听众有足够的数学训练，常可代替第七章讲第九章．这时，第十章或者全讲、或者不讲其中的§5、§6，但需要予以补充并用第八章的经典材料举例说明．对这样的听众，可代替第十二章、第十三章讲第十五章，而第十二、十三章的材料可作为一般理论的具体说明．
最后，传统分析教程中的渐近展开，比较而言，譬如与收敛级数理论比较，只占有非常平常的位置，虽然在除了关心度量的绝对误差还关心相对误差时，它们提供了一种应用中需要的方法．无论如何，渐近级数的初等知识(第十九章S1)，分出laplace积分渐近主项的Laplace方法的思想以及有关应用实例(见同一章§2)，通常是要列入数学系和物理系分析课中的，并在后继的复分析课中得到进一步发展(鞍点法，稳定相位法)．
B．A．卓里奇
莫斯科，1989年5月1日...
在序言中已经说明了该书的一般特点，指出了其叙述的基本原则和目标．这里，在讨论可以想到的一些问题之前，我想就如何在教学过程中使用这本书作一些实际的说明．
任何一本教科书，通常都是学生用，教师也用，各有自己的目的．大家都希望书中除正式规定的必需的最低限度的理论内容以外，还有应用这些理论的丰富的例子、说明、历史评述和科学注释，还应展示相互联系，指出发展前景．但是，到期末准备考试时，学生则希望看到所有要考的材料．同样地，为了备课，教师则关注怎样挑选那些在课堂上应当讲授且能够讲授的材料．
考虑到这些问题，应当指出，这本教科书的内容明显多于讲稿的内容，尽管教科书是在讲稿的基础上写成的．区别在哪里呢?首先，对讲稿内容本身补充了一个完整的练习集，它不仅有习题，还有一些问题，这些问题有的来源于自然科学，有的来源于相应章节的数学理论本身，有的是这些章节内容的重要推广．第二，书中所分析的展示理论作用的例子，当然，比课堂上更多．最后，第三点，一些章节或个别段落是有意作为对课堂讲授内容所作的补充．这些在第一卷序言的“引言”部分、“辅助材料”部分以及第二卷序言中都说过．我再次强调这个方面，并把那里所说的东西具体化一些．
在全部与分析的形式化基础有关并在头两章详细罗列的导论材料中，在课堂上通常只讲第一章§3，第二章S1的第1、2两部分，§2的第3部分，或许还能讲第4部分；最后是S3，通常还要讲§4．这样一个篇幅不大且条理清楚的引论大约需要三讲倘若在课堂上逐字逐句地讲述课本中的全部引论材料，而把分析本身的内容甩
在一边，将严重干扰课程的重点．..
如果考虑头两章中所讲的整个内容，可能除第八章§6的第2、4、5部分(那里，作为隐函数定理的应用讲了关于秩、关于微分同胚分解定理和Morse引理)外，第一卷的全部理论材料，选用的证明和应用例子，都是传统的和必需的．
第二卷用于第二年的学习，显然其中有大量附加的、不完全被认为是经典的材料，为了阅读方便，这些材料都标了*号．从科学内容方面看，第二卷当然丰富多了．在这里，分析与数学的其他领域相互作用，其思想和典型方法都以它们的现代水平为准．顺便指出，对它们的现代水平的这种关注，第一卷内容叙述的原则，就已经受到它的影响．例如，古典微分学是按现代水准叙述的，为的是在往后边的部分(多变量以及其后的部分)过渡时不再出现新的微分运算法则，法则与以前是一样的，而是要充实过去的记号和与新的具体内容的关系．
关于第二卷材料的一些说明，除了第十七章§5和第十九章§2这些部分可能是例外，通常，没有打*号的部分，在做了这样那样的局部变动后，都直接纳入课堂讲授．如果听众有足够的数学训练，常可代替第七章讲第九章．这时，第十章或者全讲、或者不讲其中的§5、§6，但需要予以补充并用第八章的经典材料举例说明．对这样的听众，可代替第十二章、第十三章讲第十五章，而第十二、十三章的材料可作为一般理论的具体说明．
最后，传统分析教程中的渐近展开，比较而言，譬如与收敛级数理论比较，只占有非常平常的位置，虽然在除了关心度量的绝对误差还关心相对误差时，它们提供了一种应用中需要的方法．无论如何，渐近级数的初等知识(第十九章S1)，分出laplace积分渐近主项的Laplace方法的思想以及有关应用实例(见同一章§2)，通常是要列入数学系和物理系分析课中的，并在后继的复分析课中得到进一步发展(鞍点法，稳定相位法)．
B．A．卓里奇
莫斯科，1989年5月1日...
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