特殊函数概论

　　 本书较系统地讲述了一些主要的特殊函数，如超几何函数、勒让德函数、合流超几何函数、贝塞耳函数、椭圆函数、椭球谐函数、马丢(Mathieu)函数等。同时也阐明一些在讨论特殊函数时常用的概念和理论，如关于函数的级数展开和无穷乘积展开，渐进展开，线性常微分方程的级数解法和积分解法等，在各章之末还附有习题，习题中包含了一些有用的公式作为本书正文的补充。
　　 本书可供数学系、物理系的师生以及数学、物理和工程技术界的研究人员参考之用。
　　

第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开
第二章 二阶线性常微分方程
第三章 伽马函数
第四章 超几何函数
第五章 勒让德函数
第六章 合流超几何函数
第七章 贝塞耳函数
第八章 外氏椭圆函数
第九章 忒塔函数
第十章 雅氏椭圆函数
第十一章 拉梅函数
第十二章 马丢函数
附录一 三次方程的根
附录二 四次方程的根
附录三 正交曲面坐标系
参考书目
索引
外国人名对照索引
出版后记

　　 物理学是自然科学的基础，是探讨物质结构和运动基本规律的前沿学科．几十年来，在生产技术发展的要求和推动下，人们对物理现象和物理学规律的探索研究不断取得新的突破．物理学的各分支学科有着突飞猛进的发展，丰富了人们对物质世界物理运动基本规律的认识和掌握，促进了许多和物理学紧密相关的交叉学科和技术学科的进步．物理学的发展是许多新兴学科、交叉学科和新技术学科产生、成长和发展的基础和前导．
　　 为适应现代化建设的需要，为推动国内物理学的研究、提高物理教学水平，我们决定推出《北京大学物理学丛书》，请在物理学前沿进行科学研究和教学工作的著名物理学家和教授对现代物理学各分支领域的前沿发展做系统、全面的介绍，为广大物理学工作者和物理系的学生进一步开展物理学各分支领域的探索研究和学习，开展与物理学紧密相关的交叉学科和技术学科的研究和学习提供研究参考书、教学参考书和教材．
　　 本丛书分两个层次．第一个层次是物理系本科生的基础课教材，这一教材系列，将在几十年来几代教师，特别是在北京大学教师的教学实践和教学经验积累的基础上，力求深入浅出、删繁就简，以适于全国大多数院校的物理系使用．它既吸收以往经典的物理教材的精华，尽可能系统地、完整地、准确地讲解有关的物理学基本知识、基本概念、基本规律、基本方法；同时又注入科技发展的新观点和方法，介绍物理学的现代发展，使学生不仅能掌握物理学的基础知识，还能了解本学科的前沿课题和研究动向，提高学生的科学素质．第二个层次是研究生教材、研究生教学参考书和专题学术著作。这一系列将集中于一些发展迅速、已有开拓性进展、国际上活跃的学科方向和专题，介绍该学科方向的基本内容，力求充分反映该学科方向国内外前沿最新进展和研究成果．学术专著首先着眼于物理学的各分支学科，然后再扩展到与物理学紧密相关的交叉学科．
　　 愿这套丛书的出版既能使国内著名物理学家和教授有机会将他们的累累硕果奉献给广大读者，又能对物理的教学和科学研究起到促进和推动作用．
　　 《北京大学物理学丛书》编辑委员会
　　 1997年3月
　　

　　 这本书是为理论物理学工作者写的．理论物理学中常常要用各种特殊函数，因此需要有一本可以查阅的书．这本书不能太简略，也不能太专门．太简略往往不够用，不能解决问题．太专门则卷帙太大，不容易查阅．也不能就是公式的堆集，那样查起来也费事，而且对公式的运算和推导不容易掌握．我们希望这本书的篇幅不特别大，同时能够包括常用的各种主要的特殊函数的运算方法和基本特性，使读者能从书中得到处理这些特殊函数的基本方法，以加强在工作中灵活运用的能力．为了使书的篇幅不太大，我们把一些我们认为较次要的公式放到习题中去了，对于较难的还给予了提示．这些习题也可作为训练灵活运用的材料．
　　 在国外有很多关于特殊函数的书．这些书中历史较久而且应用比较广泛的是惠泰克和瓦特孙的近代分析(Whittaker andWatson：Modern Ahalysis)．那本书稍为嫌老了一些．本书就是以那本书为基础而加以改写的．但是由于本书在系统上与那本书不同，所以在写法上也有相当大的差别．同时，本书也包含了一些新的材料．
　　 关于本书的系统简要说明如下．第一章和第二章是为了特殊函数的需要而对大学的复变函数和数理方程(在物理系这二门合并为数理方法一门课程)所缺的内容给予一些补充．第三章作为其他特殊函数的基础．在引进伽马函数时我们从欧勒第二类积分出发，因为这是最容易遇到伽马函数的情况．第四章到第七章讲超几何函数和合流超几何函数，这是最常遇到的一些函数．这些函数的主要特点是从它们所满足的微分方程的奇点来考虑的．勒让德函数是超几何函数的特例，贝塞耳函数是合流超几何函数的特例，由于它们的特殊重要性而单列了两章．第八章到第十章讲椭圆函数，这些函数是从周期性的角度来考虑的，与线性微分方程无关．第十一章和第十二章又回到线性微分方程．拉梅函数需要用椭圆函数，马丢函数与旋转椭球坐标有关，所以放在椭圆函数之后．多项式和生成函数没有专门抽出来，都分散在有关的函数中．例如厄密多项式和拉革尔多项式是合流超几何函数的特例．读者可以从目录和索引中查到他所需要的函数在何处．
　　 最后有三个附录．附录一和附录二是为了椭圆积分的运算作参考的．附录三给出了各种正交曲面坐标系中拉普拉斯方程的形式和陡度、散度和旋度矢量分量的表达式，作为查阅之用．
　　 书末列举了一些参考书，只是少数的，主要是一些专门的著作，作为进一步研究的参考．
　　 本书关于里曼(函数部分曾得到闵嗣鹤教授的有益的意见，著者谨向闵先生表示感谢．
　　 本书内容牵涉很广，不免有错误和不妥当之处，希望使用本书的同志们给以指正．
　　 王竹溪 郭敦仁
　　 1963年11月