拓扑学（原书第2版）

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本书系统讲解拓扑学理论知识，共分两部分，第一部分一般拓扑学，包括集合论、拓扑空间、连通性、紧致性以及可数性公理和分离性公理；第二部分代数拓扑学，较完整地阐述了基本群、覆叠空间及其应用。 .

本书论证严密、条理清晰，并带有大量的例子及不同难度的习题，适合作为大学数学专业高年级本科生或一年级研究生的教材或参考书。

本书系统讲解拓扑学理论知识。在美国大学作为教材近20年，最近由原作者进行了全面更新。第一部分为一般拓扑学，讲述点集拓扑学的内容，介绍作为核心题材的集合论，拓扑空间，连通性。紧致性以及可数性公理和分离性公理：第二部分为代数拓扑学，讲述与拓扑学核心题材相关的主题，其中包括基本群和覆叠空间及其应用。..

本书最大的特点在于概念引入自然，循序渐进。对于疑难的推理证明，将其分解为简化的步骤，不给读者留下疑惑。此外，书中还提供了大量练习，可以巩固加深学习的效果。严格的论证。清晰的条理、丰富的实例，让深奥的拓扑学变得轻松易学。...

James R．Munkres 麻省理工学院数学系教授。除本书外，他还著有《Anaoysis on Manifolds》、《Elementary Diffferential Topology》等书。...

译者序
前言.
告读者
第一部分 一般拓扑学
第1章 集合论与逻辑
1 基本概念
2 函数
3 关系
4 整数与实数
5 笛卡儿积
6 有限集
7 可数集与不可数集
*8 归纳定义原理
9 无限集与选择公理
10 良序集
*11 极大原理
*附加习题：良序
第2章 拓扑空间与连续函数
12 拓扑空间
13 拓扑的基

　　翻译缘起
　　20世纪50年代中期，我国已有少数大学将拓扑学列为大学课程．较多的大学开始开设拓扑学这门课程则是20世纪70年代后期大学教学恢复以后的事情．大约在1983年，我在中国科学技术大学讲授拓扑学时发现了J．Munkres所写的教材《Topology：A First Course)，便把其中讲授基本群的第8章翻译出来作为课程的补充教材．同时也把这本书向几位朋友推荐，希望能够把全书翻译出来．译书后来定名为《拓扑学基本教程》，于1987年在科学出版社出版，由罗松龄、许依群、徐定宥、熊金城合作完成翻译工作．这里所说的便是本书第1版的翻译过程．.
　　2003年底，机械工业出版社华章分社与我联系，告诉我J．Munkres的这本书已经出了第2版，并且希望我能承担翻译任务．由于时间已经过去了20年，当年一起翻译第1版的旧友已经难觅，因此向出版社建议，请吕杰、谭枫一起参加译书的工作．经过一年多的努力，终于完成了这项任务．
　　本书的精彩之处
　　本书是一本优秀的拓扑学入门教材，这在国内外都是有口皆碑的，许多大学都将其用作高年级本科生或者研究生的课本或者教学参考用书．根据我的体会，其精彩之处主要体现在以下几个方面：
　　第一，全书取材合理．在目前的这个版本中，全书分为两个部分，第一部分讲述点集拓扑，第二部分讲述代数拓扑，这都是有关专题中最为基础、最为紧要的部分．作者在他的前言中，已经将有关取材的考虑以及如何灵活地组织本书中的材料用于教学进行了详尽的陈述．
　　第二，概念引入自然．拓扑学无疑是数学学科中比较抽象的一门学问．许多学生在开始学习这类抽象学问之初，或者在学习其中每一个概念之初，都常常因为不明白学习目标的所在而感到“一头雾水”，因而产生一种抗拒的心理．然而这本书在每一章甚至每一节的开头，都对将要讲述的内容、将要引入的概念进行了简明的介绍，这对于引起读者的兴趣，使读者感到亲切和自然很是有益．
　　第三，论证思路清晰．数学中的一些“大”定理的证明往往都是一些著名数学家的天才创造，它们或许由于论证思路的精巧，或许由于论证过程的繁复而难于理解．而学习这些内容又往往是学习数学的关键所在，无论对于领略或学习数学的思想、技巧、方法都是如此．作者在每一个需要的地方，都进行了比较精细的分析和解说，为读者移除了一些学习的障碍．
　　第四，联系广泛自然，拓扑学的精彩不仅在于其理论本身的优美和深邃，而且在于它与数学的许多分支都有天然的联系，并在这些分支中有着深刻的应用．这本书对此进行了比较详细的介绍．通过这些有关的内容，读者将会体会到拓扑学是众多数学学科中不可或缺的组成
　　部分．
　　总而言之，这本书是一本好教材，对于那些打算将来从事数学理论研究和教学工作的读者而言无疑应当是一本必读书．然而就我国目前的情况而言，作为一般大学教材，内容可能多了一点．譬如说对于多种乘积拓扑的介绍是有精简余地的，又譬如说一开始就介绍加标族和加标族的运算的做法是否会将难点提得太前也值得斟酌．然而，教师应当能够通过教学的安排而做出适当的处置．..
　　关于翻译的说明
　　在此，我们想对翻译过程中遇到的几个问题及处理办法给出以下说明：
　　1．原著相当口语化，解说很直白，因此我们的翻译也较多地采用课堂语言，除了“若…，则…”这个通行的表达方式，刻意回避那些单音节的汉语词汇，以求得比较贴近学生的效果．
　　2．对于科技名词的中译主要是依照目前大学教材中比较流行的说法．
　　3．原书中有时自由地使用某些未经定义的词汇，一经发现我们在适当处便进行了增补．例如“映射”(map)一词便是如此，我们将它补充作为“函数”的同义词．
　　4．为了照顾汉语的习惯，有时采用了一词两译的做法．例如“set”在汉语中有时译成“集合”有时译成“集”，在单独使用时，我们常译成“集合”，而在与其他词汇连用时则译成“集”(例如，可数集等)．
　　5．汉语“是”通常有两种含义，一是“等于”，二是“属于”，并且由此生出“白马非马”的悖论．在科技文献中不允许有歧义，因此在本书中“是”只表示等于的意思，而属于的意思则用是一个”来表示．例如，我们从来不说“X是拓扑空间”，而说“X是一个拓扑空间”，除非X表示“所有的拓扑空间的族”(这个说法有逻辑错误)．
　　6．在汉语中，长的词组常常容易发生歧义，例如“一个可数邻域的族”便可能会有以下多种理解方式：
　　(1)“一个[(可数邻域)的族]”：一个族，这个族的成员是邻域，每一个邻域是可数集．

　　本书是为拓扑学引论编写的教材，适用于高年级本科生和一年级研究生程度的一学期或两学期课程．.
　　拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，同时，它也是进一步学习分析、几何和代数拓扑的基础．拓扑学的入门教材应当包含什么样的内容，数学家们对此并没有一致的看法．适合在这一课程中讲授的论题很多，但对于不同的要求应当有不同的选择．对于本书的选材，我力图在各种不同的观点之间取得某种平衡．
　　预备知识 本书中大部分内容的学习，并不要求预修其他课程，甚至不要求了解很多集合论的知识．然而，在此我必须强调，除非读者学过一点数学分析或者“严格微积分”，否则对在本书第一部分引入的大部分概念的动机将会感到困惑．如果学生对于诸如连续函数、开集与闭集、度量空间等有所了解，学习的过程将会十分顺畅，尽管实际上并不要求具备这些知识．在第8章中，我们假定读者熟知群论基础．
　　根据本人的经验，学习拓扑学课程的多数学生已经有了一些关于数学基础方面的知识，但是掌握程度差异很大，所以，本书一开始就用一整章的篇幅讨论集合论与逻辑学．从初级水平开始，上升到可以称为“准高手”的水平．这一章涉及的内容都是本书后文中所必需的．大多数学生对于这一章的前几节都很熟悉，但是，这些学生中有许多学到中间几节时，便会感到不知所措．到底这一章的教学要花费多少时间和精力，主要取决于学生的数学领悟力和数学体验．为了判断学生是否掌握了开始学习拓扑学所需的集合论知识，一个有效的检验方法就是看他们能否顺利地(正确地)完成习题．
　　许多学生(以及教师)喜欢跳过第1章中的基础内容而直接进入拓扑学的学习．轻视基础学习的后果便是混淆和错误．你可以先学习马上要用到的那几节，而暂时搁置其余部分，等到需要时再补．前7节内容(直到可数性)为本书通篇所需要．我通常将其中某些部分指定为课外阅读或讲座材料．讨论选择公理和良序定理的第9节和第10节到第3章中讨论紧致性时才会用到．讨论极大原理的第11节仅在讨论Tychonoff定理(第5章)和线性图的基本群的有关定理(第14章)时才会用到，可以延后些处理．
　　本书的内容编排 本书可适用于多种教学安排．我力图使本书的编排更具弹性，以便教师能根据个人的喜好自由取舍．
　　第一部分包含前面8章，它以人们通常所说的一般拓扑为主题．就个人观点而言，前4章是主体，这些内容任何一本拓扑学入门教程都会包含，是点集拓扑的“核心”，涉及的内容包括集合论、拓扑空间、连通性、紧致性(包括有限积的紧致性)、可数性公理和分离性公理(包括Urysohn度量化定理)．第一部分的其余4章研究其他一些论题，彼此相互独立，但都依赖于前4章中的核心内容．教师可以按任何顺序选用．
　　第二部分是代数拓扑引论．它只依赖于第1章至第4章中的核心内容．本书这一部分较为完整地阐述了基本群、覆叠空间的概念以及它们的各种应用．这一部分中的某些章是相互独立
　　的．..
　　书中有些节带有星号，放弃或者搁置这些节不影响本书的连贯性．某些定理也带有星号．依赖于带星号的那些节或定理的后续内容都适时地给出了说明，并且在需要用到带星号部分的地方再次说明．部分习题也对其前面的带星号的内容有所依赖，但这类依附关系是显而易见的．
　　有几章的末尾附有补充习题，这些补充习题提供了探索那些略微偏离本书主线的课题的机会，有进取心的学生不妨以这些习题中的一个为基础动手作论文或者作研究课题．大部分补充习题都是完全自含的，只是关于拓扑群的补充习题在本书后面几节中有一些附加习题作为其后续．
　　教学安排 选用本书作为一般拓扑学教材的大多数教师都希望讲完第1章至第4章，再加上第5章中的Tychonoff定理．也有许多人愿意多讲一些附加专题．有几种选择：Stone-Cech紧致化(第38节)，度量化定理(第6章)，Peano曲线(第44节)，Ascoli定理(第45节和／或第47节)以及维数论(第50节)．对于上述每一个方案，我都在不同学期里采用过．
　　对于代数拓扑学一学期的课程而言，可以讲完第二部分的大部分内容．
　　在一个学期中既讲一般拓扑学又讲代数拓扑学也是可以的，作为代价要适当降低一些难度．一个可行的方案是讲授第1章至第3章，然后讲授第9章，后者不依赖于第4章．(第10章和第13章中不带星号的那些节也不依赖于第4章．)
　　版本说明 熟悉本书第1版的读者将会发现，本书中讨论一般拓扑学的部分没有本质性的变动．我一直在尽全力来“调整”教材内容和习题．第1版中讨论代数拓扑学的最后一章已经进行了本质性的扩充和改写，这便是本书的第二部分．从第1版问世的几年以来，将拓扑学作为一门两个学期的课程已经日益成为一种共识，第一个学期讲一般拓扑学，第二个学期讲代数拓扑学．但愿这一版通过对后者相关内容的扩充能够满足此类教学的需要．
　　致谢 我所师从的或者是我曾拜读过其著作的大多数拓扑学家都对本书有某种贡献．这里我仅提及Edwin Moise、Raymond Wilder、Gail Young以及Raoul Bott，当然，此外还有许多人．我在此向对本书提出过宝贵意见的人致以谢意，他们是：Ken Brown、Russ McMillan、Robert Mosher、John Hemperly，以及我的同事George Whitehead和Kenneth Hoffman．
　　William Massey的优秀著作[M]对本书代数拓扑学相关内容的处理有重大影响，在此致以深切的谢意．最后，感谢MacroTeX的Adam Lewenberg，他在建立文本和绘图的过程中表现了非凡的技艺和耐心．
　　我要向我的学生们表示衷心的感谢，我从他们身上学到的东西至少像他们从我这里所学到的一样多，没有他们的帮助这本书将不能像现在这样呈现在读者面前．...
　　J．R．Munkres