广义函数与数学物理方程（第二版）

　　本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部理科数学力学“九五”规划教材。是普通高等教育“九五”国家级重点教材。本书把广义函数、数学物理方程合并写成一本书，这是一种新的尝试。前四章介绍广义函数，写得浅显，力求具体一些，更接近物理一些，而不涉及拓扑线性空间。后四章在此基础上，以基本解为线索处理经典的数学物理方程内容，并简要介绍了偏微分方程比较近代的一些内容。本书第一版于1989年出版。这一次作者依据几年来的教学实践对原书作了不少增删、修改，并增加了一些例题和较多的习题。.
　　 本书可作为高等学校数学专业的教科书，也可供其他理科专业选用或供有关科研人员参考。...

第一章 数学物理方程的来源
1. 引言.
2. 弦振动方程
3. 热传导方程
4. 拉普拉斯方程和泊松方程
5. 定解条件
6. 定解问题的适定性
习题
第二章 广义函数
§1. 历史的概述
习题
§2. 基本空间
1. 基本定义和例子
2. 函数的磨光化
3. 单位分解
4. 博雷尔定理
习题
§3. 广义函数及其基本运算
1. 基本定义
2. 微分运算与乘子运算

　　从1980年开始，根据中法两国政府协议在武汉大学数学系举办了一个中法两国教师任教的试验班．1985年作者为这个班四年级开设了偏微分方程课，其内容即本书第五至七章，约30课时讲完．这就是本书的直接缘起．.
　　但是这样写书的想法却是酝酿了很久了．多年来，我们开设的数学物理方程课都是按照大体相同的模式，主要讲授一些经典的方法．这样，学生学了以后，离当代的数学水平还有很大的距离．如果想在比较新的基础上讲这门课，又担心其他课程跟不上，也担心学生接受不了．武汉大学的这班学生在学习本课程前系统地学过广义函数论而且并不感到困难，这个经验促使作者作这样一个尝试：把广义函数论与数学物理方程合并起来写成一本书．
　　其实广义函数论并不是很难接受的东西．初学广义函数并不一定需要它的理论基础——拓扑线性空间理论，正如初学数学分析的人不一定要学实数理论一样．相反，广义函数论有许多有趣的实例，有明确的物理背景而且比较灵活．与其说是难学不如说是人们对它比较生疏．掌握了它，就可以以基本解作为基本的线索讨论偏微分方程的一些基本问题：可解性、解的奇异性与正则性(亚椭圆性)等等．这样，比之过去，就离这个分支的前沿近得多了．至于一些不可少的经典的内容也都可以得到适当的安排．同时，作者的另一个想法是，广义函数不只是现代数学家不可少的工具，对于物理学家也是十分有用的(实际上，物理学家老早就在以他们自己的方式应用广义函数了)．因此，作者力求把各种材料写得具体一些，更接近物理一些．当然回过头来看，仍感到还应该多一些具体的例子．特别是最近读到R．P．Kanwal，Generalized Func“Ons(Acad．Press，1983)一书更感到还可以写得更浅些、更具体些．用广义函数作为基本工具还有一个意图：现在我国大学数学系学生在分析方面有许多缺陷，其中最大的一个是对傅里叶(Fourier)变换知道太少．如果讲广义函数就可以最自然地弥补这一不足．这种讲法比之常见的用勒贝格(Lebesgue)积分来讲要更自然更易懂．同时讲广义函数就可以介绍一些现代分析中最常见的内容如单位分解、磨光技巧和卷积等等．所以本书前四章是数学分析课程的一个继续．..
　　当然这就发生了本书与其他课程如何衔接的问题．依据武汉大学中法班的经验，本书是一个学期的教材，大约60学时即可讲完．当然第一次试用还可以省略不少内容．作者设想，本书可以用于三年级上学期与复变函数同时进行，所以其中有好几处用到柯西(Cauchy)定理、留数计算，估计学生不应有困难．学广义函数也可以暂时不用勒贝格积分．这样，例如局部可积函数只好理解为局部黎曼(Riemann)可积．但是它只是作为广义函数之一例而出现，则理解为黎曼可积是没有害处的．实际上，如果不涉及完备性问题，用黎曼积分大体上也就够了．但是对经典的傅里叶变换理论，勒贝格积分是不可少的．因此本书这一部分是用小字写的．如果这门课在三下开设而与实变函数同时进行，这些困难就没有了．书中还有个别的地方需要用到一些未证的定理，例如广义函数的局部表示要用Hahn-Banach定理(也可以不用)，本书就只叙述而未证明．有些地方要暂时跳过去，这全靠任课教师适当处理了．总之，一个三年级学生想要自学本书内容应该没有大的困难．
　　另一个问题是应该注意防止学生片面追求抽象化的倾向．从武汉大学的经验来看，时常有一些学生十分喜欢某种完美简洁的数学框架，广义函数也是其中之一，而对物理问题兴趣不大，对复杂的计算更是望而却步．为此，本书比较注意广义函数理论的物理背景．但这还是不够的，教师有责任引导学生关心具体的物理问题，要从“天上”回到“地上”，因为当代数学发展的潮流正是数学与物理的紧密结合．还要让学生肯“算”、会“算”，不要走到头来只会抽象的道理而连一些最简单的实例也算不出来．为此，希望十分注意习题．如果有的学生感到习题有困难，建议教师再补充一些数学物理的经典方法的习题．
　　试图用比较现代的方法讲授偏微分方程的书已经不少了．作者写这本书时用得最多的是：Hormander在Lund大学讲授广义函数的讲义．后来这本讲义扩大补充成为他的巨著：The Analysis of Linear Partial Differetial Operators，Vol．1，Springer-Verlag，1983．另一本书是G．B．Folland，Lectures on Partial Differential Equations，Springer-Verlag，1983．写作时见到姜礼尚、陈亚浙二同志写的《数学物理方程》(高教出版社，1986)，他们试图以现代的数学理论处理经典的材料使作者得到不少启发．作者还要感谢李大潜同志的谈话，他建议写这本书不必求全，不必顾到各方面的需要，而要注意自己的特色(如果谈得上什么特色的话)．这使作者比较放胆地写，其目的也就是作为一种尝试以图抛砖引玉而已．...