什么是数学：对思想和方法的基本研究（增订版）(09年度畅销榜NO.1)

　　本书是世界著名的数学科普读物.它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述.无论是数学专业人员，或是愿意做科学思考者都可以阅读此书.特别对中学数学教师、大学生和高中生，都是一本极好的参考书.
　　

什么是数学
第1章 自然数
引言
§ 1 整数的计算
§ 2 数系的无限性 数学归纳法
第1章补充 数论
引言
§ 1 素数
§ 2 同余
§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理
§ 4 欧几里得辗转相除法
第2章 数学中的数系
引言
§ 1 有理数
§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念
§ 3 解析几何概述
§ 4 无限的数学分析
§ 5 复数
§ 6 代数数和超越数
第2章补充 集合代数

　　R·柯朗(Richard Courant)是当代对数学研究与数学教育都具有深远影响的数学家，是西方公认的数学权威．他1888年1月8日生于鲁布里尼茨(即现在波兰的鲁布里尼克(Lubliniec))，1910年在德国哥廷根大学获得博士学位，以后一直在哥廷根大学任教．在哥廷根时，他与D·希尔伯特关系甚密．1933年他离开纳粹德国，于1934年到美国纽约大学任教，并曾担任数学系主任和数学研究院院长，在此期间，该研究院成了世界最大的应用数学研究中心．1972年他在纽约去世．他对数学分析、函数论、数学物理、变分法等都有精深的研究．他不仅学识渊博，是当之无愧的大数学家，而且一生都从事和关心数学教育．他最伟大的贡献也许就是通过他的著作和个人交往使许多青年数学家得到宝贵的启示和巨大的鼓舞．
　　R·柯朗一生著作极丰，其中最著名的是《数学物理方法》(与希尔伯特合著)、《微积分》，还有就是《什么是数学》这本书．《什么是数学》出版以来，受到普遍的热烈欢迎，并被译成多种文字，一版再版，盛况至今不衰，成为数学世界名著之一．爱因斯坦和世界著名数学家H·外尔、M·莫尔斯等都对本书给予了高度评价(见本书封底)．
　　时至今日，本书又由I·斯图尔特增写了新的一章而成为第二版．在新增的一章中，I．斯图尔特结合原书的内容，讲述了在柯朗写作年代尚未解决的一些重大数学问题(这些问题有的已经解决了，如：费马大定理、四色问题．有的取得了很大进展，如：哥德巴赫猜想．)以及现代数学的一些新方向、新分支．
　　1985年科学出版社出版过我们关于本书的译本(当时的书名为《数学是什么》)，曾受到读者热烈的欢迎．今天，我们很乐意再次翻译这本书的第二版，相信必能受到新老读者的更大欢迎．
　　我们除了要再次感谢对我们1985版译本帮助良多的诸位朋友外，还要感谢汪宇先生和复旦大学出版社，使我们能将这第二版的新译本得以出版．欢迎广大读者的批评与建议．
　　译者
　　2004年9月
　　

　　1937年夏，我还是一个年轻的大学生，我是通过阅读我父亲所写的《微积分学》那本书来学习微积分的．我相信，那时，是他第一次想到要写一本关于数学方法和概念的初等读物，并且认为我有可能在这个方面给以帮助．
　　于是在随后的几年里，逐渐形成了《什么是数学》这本书．我还能清晰地回忆起那紧张的编写时期，特别是1940和1941年的夏季，我协助H·罗宾和我的父亲的情景．
　　当这本书出版的时候，其中若干本中有一个特别的扉页：数学--献给洛丽．洛丽是我最小的妹妹，那时她13岁．几年后，当我要结婚时，我父亲要求我妻子读懂《什么是数学》，她未能做得很好，不过她仍被接受进入我们的家庭．
　　很多年里，在纽约新罗彻尔的柯朗寓所的顶楼里放满了各种形状的铁丝框架，它们是用来做本书第七章第11节所述的肥皂膜实验的．这些肥皂膜实验曾是孙儿们无限乐趣的源泉．尽管我父亲没有再对他们重复这些实验，但他的孙儿中仍有一些人投身于数学及相关领域的研究．
　　自原书出版后未再认真准备新版本．附有前言的修正版除了订正了一些明显的印刷错误外与原版基本没有什么区别；所有随后的印刷都与第三次修订本相同．在我父亲生前最后的岁月里，他有时曾谈到使本书大规模现代化的可能性，但他不再有精力来完成此任务了．
　　因此，当I．斯图尔特教授提议作现在这个修订本时，我是非常高兴的．他根据数学最新进展对若干章节增添了一些评论和扩展．我们知道费马大定理和四色问题已经解决了；无穷小和无穷大量，这些过去在形式上使人不满意，并被当作有缺陷的概念，现在已经在"非标准分析"中再次获得肯定(我上大学时曾用了"无穷"这个词，我的数学教授当时指出"在我的班上不允许有'坏'的语言")．此修订版的参考文献已经增加至当前．我希望《什么是数学》这个新版本将再次在广大的读者中引起兴趣．
　　E．D·柯朗
　　1995年9月于纽约州的柏坡特
　　

　　《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品．它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造．"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去．但这是与物质现实非常不同的那种意义．数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"．数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么．这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中．对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"．数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界．
　　我第一次见到《什么是数学》这本书是在1963年，那时我正打算在剑桥大学谋求一席之地．这本书被推荐给未来数学专业的学生阅读．甚至到今天，任何想以先进的观点来看待大学数学的人，浏览这本书同样有益．然而，你不必像一个崭露头角的数学家一样要从柯朗和罗宾的代表作中得到大量的信息和深刻的洞察．你可以完全根据自己在数学方面的兴趣，基于你已有的数学背景知识，选取一部分内容进行舒心愉快的阅读．中学代数，初等微积分，以及三角函数，再加上一点欧氏几何的帮助，有了这些方面的知识就足够了，
　　人们可能认为一本最后版本几乎是在50年前出版的书是过时的了--它的术语已经陈旧，它的观点已与现代的形式不符了；但事实上，《什么是数学》这本书写得相当好，它所强调的解决问题的方法至今仍有效，它所选取的数学材料如此之好以至于没有一个单词或符号必须在新版中删去．
　　假如你认为这是因为数学从来没有什么改变，那么我请你去关注一下新增的一章"最新发展"，它将向你展示数学的改变是多么迅速．这本书写得好，是因为尽管数学一直在发展，但书中选取的、有关历史上的著名发现的专题，都是很难抛弃的．对定理，你不可能不加以证明．事实上，你可能偶然间发现一个长期被接受的论证是错误的--这曾经发生过的．但这只表明，从一开始证明就是错误的．然而，新的观点通常会导致旧的论证过时，或对旧的事实不再感兴趣．《什么是数学》这本书没有过时，是因为所选取的材料展示出了无限完美的数学品位．
　　正规的数学就像拼写和语法一样，是一种对约定规则的正确应用．有意义的数学就像用来讲述有趣故事的报纸杂志；但不像某些报纸杂志，它的故事必须是真实的．最好的数学就应该像文学作品--故事来源于你眼前活生生的生活，致使你把精力与感情投于其中．就数学来说，《什么是数学》这本书是一部才华横溢的作品．新增的一章的主要目的是要把柯朗与罗宾所讲的故事延续到今天，例如，阐述了四色问题和费马大定理的证明．这些是在柯朗和罗宾写书时尚未解决的主要问题．现在它们已经被证明了．我发现了一个真实的数学上的诡辩(见第九章"最新进展")，我认为相关的这个特别的内容其观点已经变化了．柯朗和罗宾的论证，包括他们用的假设，是正确的．但是，那些假设不再像他们所做的那么合理了．
　　我并不试图介绍那些近来变得很著名的课题，比如：混沌、对称破缺，或者许多其他的有趣数学发现以及20世纪的数学发现．你可以通过很多途径找到那些发现，特别从我的书《从这儿通往无限》．那本书可作为《什么是数学》这新版本的姊妹书．我的宗旨是仅仅添加一些材料使得原先的东西与时俱进--虽然在一些特殊的情况下，我努力去做，而在其他场合我却没能这样．
　　什么是数学?
　　它是独特而唯一的．
　　I·斯图尔特
　　1995年6月于考文垂