高等数学例题与习题集（一）一元微积分

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《高等数学例题与习题集》是一套目前在俄罗斯具有广泛影响的高等数学辅导用书。在我国，无论是高等数学教材的编写方面，还是高等数学的教学方面，都与俄罗斯的高等数学教育有着很深的渊源。因此将这套书译成中文，介绍给国内读者。
本书为《高等数学例题与习题集》的第一卷，内容是关于一元微积分的例题与习题，具体包括分析引论、一元函数微分学、不定积分、定积分四章内容。每章开始给出必要的理论材料，然后是各类典型例题的演算，最后是为读者安排的练习题，书末给出练习题的答案。

第1章分析引论1
1集合论初步1
2函数与映射11
3实数20
4复数35
5向量与度量空间40
6序列的极限48
7函数的极限79
8函数的连续性119
9函数的一致连续性133
第2章一元函数微分学139
1显函数的导数139
2函数的微分160
3反函数的导数参数方程表示的函数的导数隐函数的导数168
4高阶导数和高阶微分173
5罗尔定理拉格朗日定理柯西定理185
6函数的增减性不等式195
7函数图形的凸性方向拐点202
8不定式的极限208
9泰勒公式216

　　 数学，无论从其对其他学科的影响上看，还是从数学自身发展上看，它的重要性都是不言而喻的．高等数学，作为大多数理工科大学生的必修课，在锻炼学生的逻辑思维，以及为后续专业课程的学习打好基础方面，其重要性更是不言而喻的．如何学好高等数学，仁者见仁，智者见智，但数学习题的作用是大家公认的．
　　 《高等数学例题与习题集》是由四位俄罗斯数学家所编写的一套高等数学辅导书，全书共5册，其中第1册包括分析引论，一元函数微分学，不定积分，定积分4章内容；第2册包括级数，多元函数微分学两部分内容；第3册包括含参变量积分，重积分与曲线积分两部分内容；第4册是关于复变函数的内容，包括数学分析基础，复数与复变函数，复平面上的初等函数，复平面上的积分，解析函数级数、孤立奇点，解析延拓，留数及其应用，解析函数几何理论的一些问题共8章内容；第5册是关于微分方程理论的内容，包括一阶微分方程，高阶微分方程，微分方程组，一阶偏微分方程，微分方程解的逼近方法，稳定性与相轨道，解线性微分方程的Laplace积分变换法共?章内容．
　　 作者曾编写过高等数学习题集，本书的前3册是他们两卷本辅导书《数学分析例题与习题》的修改与补充．本套书从1997年开始出版发行，历时两年于1999年完成．并已被翻译成西班牙文出版发行．
　　 本套书采用统一风格，每章的开始给出必要的理论材料，然后给出各种类型的例题，最后是为读者准备的习题，书末给出习题答案．全书共演算例题2823道，其中第1册805道，第2册497道，第3册369道，第4册363道，第5册789道；收录习题1998道，其中第1册923道，第2册328道，第3册238道，第4册193道，第5册316道．这些例题涵盖了各部分内容的典型习题和较难处理的习题，这样既有利于帮助读者尽快地掌握解决典型题目的方法，促进对基本概念和基本定理的理解，也可以通过一些较难题目的解法来提高知识的综合运用能力，用以强化和锻炼综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．本书参考了许多知名的俄文版习题集，其中包括久负盛名的吉米多维奇的《数学分析习题集》(人民教育出版社1958年翻译出版)，沃尔科维斯基等的《复变函数论习题集》(上海科学技术出版社1981年翻译出版)，菲利波夫等的《微分方程习题集》(-上海科学技术出版社1981年翻译出版)．例如，前3册中所演算的例题就包括了《数学分析习题集》中的绝大多数典型题和难题．
　　 我国近代的高等教育，无论是在教材的编写方面，还是在教学方法方面，都与俄罗斯(前苏联)的高等教育有着很深的渊源．因此，我们将此套辅导书翻译成中文，一方面给读者提供一套辅导书，另一方面，也将俄罗斯当代的高等数学教学水准介绍给国内高校的学生和数学教师．
　　 本套书并没有局限于高等数学教科书的内容，而是站在较高的角度来梳理高等数学中各部分内容之间以及它们与其他相关分支之间的关系，并且将一些相关分支的内容纳入到高等数学的背景下来讨论(反映在理论材料、例题演算和习题中)．例如，书中涉及了集合论、线性空间、矩阵、函数逼近论等方面的内容．这样有利于读者从全局上把握高等数学的知识，以加深对这些知识的理解和认识．
　　 本套书的读者对象主要为工科院校的学生以及理科或师范院校数学系的学生．对于广大的高等院校中的数学教师来讲，它也是非常有用的参考书．
　　 本套书已由清华大学出版社自俄罗斯引进中文版权，准备分4册出版发行(原书第2册和第3册合并为一册)．清华大学数学系组织了多名教授、副教授翻译．第二册的翻译分工为：第1章、第2章由苏宁教授翻译，高策理副教授校对，第3章、第4章及练习题答案由高策理副教授翻译，苏宁教授校对。在翻译过程中，对原书中的一些印刷错误直接进行了修改，而没有加脚注说明．
　　 本书的责任编辑为清华大学出版社的刘颖同志，他在文稿编辑，成稿校对等环节上花费了大量心量，做了很好的工作；另外数学科学系的萧树铁教授、谭泽光教授、白峰杉教授等对本书的翻译给予了很多支持与鼓励，在此向他们表示感谢．北京大学俄语系的王辛夷老师、林百学老师在联系俄罗斯出版社及其他事情上给了译者很多帮助，在此表示感谢．
　　 由于译者的水平所限，书中自有很多错误或者不妥之处，敬请读者批评指正．
　　 译 者
　　 2002年岁末
　　

　　 您手头的《高等数学例题与习题集》第一卷《一元微积分》，对于俄国读者来讲不是完全陌生的. 本书的前三卷是两卷本《数学分析例题与习题》（作者相同）的修改与补充，这些作者在大学生中被称为“反吉米多维奇”学派. 本书的第四卷和第五卷是首次出版，内容是关于复变函数与微分方程理论的.
　　 本书参考了很多知名的习题集，其中有吉米多维奇的《数学分析习题集》，沃尔科维斯基等的《复变函数论习题集》，菲利波夫等的《微分方程习题集》. 全部五卷保持同一种风格： 每章开始给出必要的理论材料，然后演算各种类型的例题，最后给出为读者准备的习题，书末给出习题答案.
　　 本书适用于工程师、应用数学专家、高等学校教师、大学生以及自学高等数学者.