基本信息
编辑推荐
本书的编写基于如下的想法：数学介绍要严格，教材篇幅要适当，在介绍完主要的传统教学内容的同时又有利于读者进一步学习。
内容简介
书籍
数学书籍
本书主要介绍了三类基本二阶线性偏微分方程——波动方程、热传导方程和位势方程的各种求解方法以及特殊函数的基础知识，全书分8章，分别是：一些典型方程和定解条件的推导、偏微分方程的基本概念和分类、特征线性、分离变量法、特殊函数、积分变换法、Green函数法、偏微分方程数值解初步。
本书比较全面地介绍了偏微分方程基本解理论，随后介绍了求解波动方程的特征线法，作为特殊函数理论基础的Sturm-Liouville理论，三种类型边值问题Green函数的求法，特别介绍了用Rirman映射定理求Green函数的方法。本书例题丰富，习题选取少而精；讲解推理自然，深入浅出。
本书可作为理科非数学专业和工程科学各专业本科的教材或教学参考书。
数学书籍
本书主要介绍了三类基本二阶线性偏微分方程——波动方程、热传导方程和位势方程的各种求解方法以及特殊函数的基础知识，全书分8章，分别是：一些典型方程和定解条件的推导、偏微分方程的基本概念和分类、特征线性、分离变量法、特殊函数、积分变换法、Green函数法、偏微分方程数值解初步。
本书比较全面地介绍了偏微分方程基本解理论，随后介绍了求解波动方程的特征线法，作为特殊函数理论基础的Sturm-Liouville理论，三种类型边值问题Green函数的求法，特别介绍了用Rirman映射定理求Green函数的方法。本书例题丰富，习题选取少而精；讲解推理自然，深入浅出。
本书可作为理科非数学专业和工程科学各专业本科的教材或教学参考书。
目录
第1章一些典型方程和定解条件的推导1
1.1三类典型方程的推导1
1.2定解条件和定解问题5
1.3定解问题的适定性9
习题19
第2章偏微分方程的基本概念和分类11
2.1偏微分方程的基本概念11
2.2二阶线性偏微分方程的分类12
2.3叠加原理和齐次化原理18
习题222
第3章特征线法24
3.1一阶线性偏微分方程的特征线法24
3.2一维波动方程的初值问题27
3.3高维波动方程的初值问题31
习题337
第4章分离变量法39
4.1弦振动方程的混合问题39
4.2有限杆的热传导问题45
4.3SturmLiouville 问题47
4.4非齐次方程、非齐次边界条件定解问题的分离变量法57
1.1三类典型方程的推导1
1.2定解条件和定解问题5
1.3定解问题的适定性9
习题19
第2章偏微分方程的基本概念和分类11
2.1偏微分方程的基本概念11
2.2二阶线性偏微分方程的分类12
2.3叠加原理和齐次化原理18
习题222
第3章特征线法24
3.1一阶线性偏微分方程的特征线法24
3.2一维波动方程的初值问题27
3.3高维波动方程的初值问题31
习题337
第4章分离变量法39
4.1弦振动方程的混合问题39
4.2有限杆的热传导问题45
4.3SturmLiouville 问题47
4.4非齐次方程、非齐次边界条件定解问题的分离变量法57
前言
17～18世纪,NewtonLeibniz创立的微积分在经典力学上得以广泛运用并取得了辉煌的成就.二体问题的解决、海王星的发现, 都是常微分方程成功应用于质点动力学的壮丽篇章.随着分析力学的发展,人们开始研究连续变化的介质，如弦振动、弹性固体变形、流体流动等复杂力学现象的规律,得到了一系列偏微分方程. 古典力学的HamiltonJacobi理论和计算变分的EulerLagrange方程都会导出偏微分方程.1864年J. Maxwell用以其命名的偏微分方程组预言了光是一种电磁波,这个预言20年后被H. Hertz的试验证实;广义相对论中Einstein引力场方程的球对称解,准确解释了水星近日运动，并预言了太阳引力场中光线的偏折,成为广义相对论正确性的有力论证.在量子力学中偏微分方程的应用更是随处可见.在过去的两个多世纪里,偏微分方程不仅成功地应用于物理学和其他自然科学,预见和揭示了小到夸克、大到天体的物质运动普遍规律.也为纯粹数学积累了丰富的素材,成为近代抽象数学发展的重要推动力量.
偏微分方程不仅仅是古典多元微积分的副产品,它的无可置疑的有效性和高度的复杂性,使得它成为一门独立的学科和我们理解自然科学、提高科学文化素质的必需营养.在气象、机械、电信、化工、生态、经济、人口和其他社会科学的各个领域中都会遇到表现为偏微分方程的数学模型,解释这些模型的合理性和寻求它们的解成为科学工作者的重要课题并不只是数学家们的责任.随着科学研究分工的专业化和科学计算的飞速发展，偏微分方程理论将逐渐走出数学家们的殿堂,成为自然科技工作者们的重要工具.
数学物理方程(法)作为微积分和常微分方程课程的继续来介绍偏微分方程的基础知识,它虽然有鲜明的个性特点,但绝不是孤立的无可捉摸地难学.国内早在20世纪六七十年代就出现了很多优秀的数学物理方程教材,但这些教材的不足是讲解、例题和习题都过于烦琐,既不利于教,也不利于学,以致于很多人对这门课望而生畏.近年来,出现了一些简写改编的教材,但又似乎过于简略,把许多基本的重要内容都省掉了.在为清华大学电子系学生授课的过程中,本人结合前辈教材的优点,萌生了编写本教材的念头,希望为同学们提供一本更加适合他们的教材,来弥补前述教材的不足.编写此教材的基本精神是:数学介绍要严格,教材篇幅要适当,能介绍完主要的传统教学内容,同时又有利于同学们的进一步学习.
本着上述精神,本人对教材作了细致深入的设计.第1、2章,用不太长的篇幅介绍了偏微分方程的分类,强调了线性偏微分方程和非线性偏微分方程的区别,通过与线性常微分方程类比介绍了线性偏微分方程的叠加原理和齐次化原理，并指出本课程只研究线性偏微分方程的求解，为同学们今后学习了解非线性科学作点准备.第3章介绍了解波动方程的特征线法.这个方法不仅可以解决传统行波法没法求解的一些波动方程,而且可以用于求解一些非线性偏微分方程,它思想较为简单,技术上也不困难,而且在双曲型方程的研究中被广泛应用,所以我们通过它来引入一维波动方程的D’Alembert公式.第4章详细准确地介绍了SturmLiouville问题的一般理论.这方面的内容在以前的教材中要么介绍得不够详细,要么介绍得不够准确.这些不足导致的直接结果是影响了特殊函数的理解.然而同学们又很难找到系统介绍SturmLiouville理论的参考书.为了用较短的篇幅来介绍这方面的浩瀚内容,我们用与Hermitian矩阵类比的办法,介绍了SturmLiouville问题的抽象数学理论,这样有利于同学们系统理解分离变量法的一般理论.对于这部分内容所涉及的一些泛函分析(数学系大三专业课)的理论,初学者只需记住一些重要结论.第5章特殊函数的介绍强调了特殊函数的幂级数性质,尽量用幂级数的特点证明许多公式和命题,避免以前教材中的一些复杂技巧.本书将Bessel函数及(连带)Legendre函数的正交关系和模长作为特殊的SturmLiouville问题来处理,有利于同学们理解SturmLiouville问题的一般理论和分离变量法的一般步骤.避免了一些额外的数学技巧,也有利于他们学习课本没有涉及的其他类型的特殊函数.第6章介绍积分变换法,选材侧重于用分离变量法不能求解的无界区域上的定解问题,避免了同一问题的重复讲解.传统教材中介绍的保角变换法处理的问题很有限,第7章用很短的篇幅介绍了怎样用单复变函数论的Riemann映射定理,来求平面上一般单连通区域的Green函数,从而可以完全求解平面上一般单连通区域上的第一边值问题，在此基础上介绍了怎样用分离变量法求第二、第三边值问题的Green函数.鉴于微分方程数值解越来越为广大科技工作者所运用,第8章简单地介绍了差分法、变分法以及有限元法的入门知识,为同学们进一步学习相关课程或阅读相关课外书籍做准备.
书中的重要结论以定理或命题的形式准确叙述,便于复习和记忆；精心选择了例题和习题,例题强调典型性和覆盖性;对于复杂的例题,用标题标明解题步骤,以利于初学者掌握各类典型题目的基本程序.习题密切联系课程内容,难度适当,有些习题不仅可以加深教材内容的理解,也是课本内容的补充.一些较难的习题给出了比较详细的提示，但无一偏题.我的原则是以求解和理解偏微分方程的性质为核心,将一些与其他课程重复的练习去掉.认真完成习题足以理解本课程的所有核心内容.
根据作者的经验,完成本书教学内容大约需要34～46学时.如果周学时2学时,只要2.2节、4.3节、4.5节、6.3节适当略讲,并选择性地讲解4.4节、5.4节、5.7节、7.2节、7.4节的例题,可以一学期完成本教材的内容;如果周学时3学时, 一学期完成本教材的全部内容是没有问题的.此外,特殊函数也可以只介绍 Bessel函数,(连带)Legendre函数方面的内容可以作为自学内容处理;教材中加*号的内容,可供感兴趣的同学课外阅读. 下表给出了各章学时的分配数,可供参考.
除了按教材本身安排的顺序学习和教学外,读者也可以根据自己的兴趣选取其他顺序.下图给出了教材各个章节的逻辑顺序关系,其中箭头方向表明了教材安排的时间先后关系;方框里小方框内的内容要么并列顺序,要么可以同一教学时间内灵活处理. 第2章2.1节、2.2节可以放在第3章或课本最后讲解. 除了第7章外, 右边第3章、第4章和第5章、第6章、第8章的顺序是并列的.读者可以根据这个结构图选择顺序学习或教学.
作者感谢曾云波、简怀玉教授所给予的建议与帮助，特别感谢萧树铁先生对本书多方面的指导、建议和帮助，他还应本人的邀请为本书作序.感谢请华大学数学科学系许多老师和朋友的热心帮助.
作者
2004年夏于清华园
偏微分方程不仅仅是古典多元微积分的副产品,它的无可置疑的有效性和高度的复杂性,使得它成为一门独立的学科和我们理解自然科学、提高科学文化素质的必需营养.在气象、机械、电信、化工、生态、经济、人口和其他社会科学的各个领域中都会遇到表现为偏微分方程的数学模型,解释这些模型的合理性和寻求它们的解成为科学工作者的重要课题并不只是数学家们的责任.随着科学研究分工的专业化和科学计算的飞速发展，偏微分方程理论将逐渐走出数学家们的殿堂,成为自然科技工作者们的重要工具.
数学物理方程(法)作为微积分和常微分方程课程的继续来介绍偏微分方程的基础知识,它虽然有鲜明的个性特点,但绝不是孤立的无可捉摸地难学.国内早在20世纪六七十年代就出现了很多优秀的数学物理方程教材,但这些教材的不足是讲解、例题和习题都过于烦琐,既不利于教,也不利于学,以致于很多人对这门课望而生畏.近年来,出现了一些简写改编的教材,但又似乎过于简略,把许多基本的重要内容都省掉了.在为清华大学电子系学生授课的过程中,本人结合前辈教材的优点,萌生了编写本教材的念头,希望为同学们提供一本更加适合他们的教材,来弥补前述教材的不足.编写此教材的基本精神是:数学介绍要严格,教材篇幅要适当,能介绍完主要的传统教学内容,同时又有利于同学们的进一步学习.
本着上述精神,本人对教材作了细致深入的设计.第1、2章,用不太长的篇幅介绍了偏微分方程的分类,强调了线性偏微分方程和非线性偏微分方程的区别,通过与线性常微分方程类比介绍了线性偏微分方程的叠加原理和齐次化原理，并指出本课程只研究线性偏微分方程的求解，为同学们今后学习了解非线性科学作点准备.第3章介绍了解波动方程的特征线法.这个方法不仅可以解决传统行波法没法求解的一些波动方程,而且可以用于求解一些非线性偏微分方程,它思想较为简单,技术上也不困难,而且在双曲型方程的研究中被广泛应用,所以我们通过它来引入一维波动方程的D’Alembert公式.第4章详细准确地介绍了SturmLiouville问题的一般理论.这方面的内容在以前的教材中要么介绍得不够详细,要么介绍得不够准确.这些不足导致的直接结果是影响了特殊函数的理解.然而同学们又很难找到系统介绍SturmLiouville理论的参考书.为了用较短的篇幅来介绍这方面的浩瀚内容,我们用与Hermitian矩阵类比的办法,介绍了SturmLiouville问题的抽象数学理论,这样有利于同学们系统理解分离变量法的一般理论.对于这部分内容所涉及的一些泛函分析(数学系大三专业课)的理论,初学者只需记住一些重要结论.第5章特殊函数的介绍强调了特殊函数的幂级数性质,尽量用幂级数的特点证明许多公式和命题,避免以前教材中的一些复杂技巧.本书将Bessel函数及(连带)Legendre函数的正交关系和模长作为特殊的SturmLiouville问题来处理,有利于同学们理解SturmLiouville问题的一般理论和分离变量法的一般步骤.避免了一些额外的数学技巧,也有利于他们学习课本没有涉及的其他类型的特殊函数.第6章介绍积分变换法,选材侧重于用分离变量法不能求解的无界区域上的定解问题,避免了同一问题的重复讲解.传统教材中介绍的保角变换法处理的问题很有限,第7章用很短的篇幅介绍了怎样用单复变函数论的Riemann映射定理,来求平面上一般单连通区域的Green函数,从而可以完全求解平面上一般单连通区域上的第一边值问题，在此基础上介绍了怎样用分离变量法求第二、第三边值问题的Green函数.鉴于微分方程数值解越来越为广大科技工作者所运用,第8章简单地介绍了差分法、变分法以及有限元法的入门知识,为同学们进一步学习相关课程或阅读相关课外书籍做准备.
书中的重要结论以定理或命题的形式准确叙述,便于复习和记忆；精心选择了例题和习题,例题强调典型性和覆盖性;对于复杂的例题,用标题标明解题步骤,以利于初学者掌握各类典型题目的基本程序.习题密切联系课程内容,难度适当,有些习题不仅可以加深教材内容的理解,也是课本内容的补充.一些较难的习题给出了比较详细的提示，但无一偏题.我的原则是以求解和理解偏微分方程的性质为核心,将一些与其他课程重复的练习去掉.认真完成习题足以理解本课程的所有核心内容.
根据作者的经验,完成本书教学内容大约需要34～46学时.如果周学时2学时,只要2.2节、4.3节、4.5节、6.3节适当略讲,并选择性地讲解4.4节、5.4节、5.7节、7.2节、7.4节的例题,可以一学期完成本教材的内容;如果周学时3学时, 一学期完成本教材的全部内容是没有问题的.此外,特殊函数也可以只介绍 Bessel函数,(连带)Legendre函数方面的内容可以作为自学内容处理;教材中加*号的内容,可供感兴趣的同学课外阅读. 下表给出了各章学时的分配数,可供参考.
除了按教材本身安排的顺序学习和教学外,读者也可以根据自己的兴趣选取其他顺序.下图给出了教材各个章节的逻辑顺序关系,其中箭头方向表明了教材安排的时间先后关系;方框里小方框内的内容要么并列顺序,要么可以同一教学时间内灵活处理. 第2章2.1节、2.2节可以放在第3章或课本最后讲解. 除了第7章外, 右边第3章、第4章和第5章、第6章、第8章的顺序是并列的.读者可以根据这个结构图选择顺序学习或教学.
作者感谢曾云波、简怀玉教授所给予的建议与帮助，特别感谢萧树铁先生对本书多方面的指导、建议和帮助，他还应本人的邀请为本书作序.感谢请华大学数学科学系许多老师和朋友的热心帮助.
作者
2004年夏于清华园
