微积分教程.上

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本书分上、下两册．上册内容包含实数与函数，极限论与连续函数，一元函数微积分，数项级数与函数项级数(包括幂级数和Fourier级数)；下册内容包含多元函数微积分，向量分析与常微分方程初步．书中每节后都附有适量的习题，每一章后附有综合性较强的、有一定难度的补充题．本书可供理工科大学一年级的微积分课程作为教材或者教学参考书．上、下两册的讲授时间总共大约需要160学时．本书还可以作为复习微积分(高等数学)，准备参加理工科硕士研究生入学考试的参考书．

第1章 实数与函数
1．1 预备知识
1．2 实数与实数集
1．3 函数
1．4 初等函数与非初等函数
第2章 极限论
2．1 数列极限
2．2 函数极限
2．3 单调性与收敛性
2．4 极限的运算法则
2．5 无穷小量与阶的比较
补充题
第3章 连续函数
3．1 连续函数及其性质
3．2 关于实数系的几个基本定理
3．3 连续函数在闭区间上的性质
补充题
第4章 导数与微分
4．1 导数与微分
4．2 导数与微分的运算法则

　　 本书是清华大学理工科各系一年级《微积分》课程的教材，它的前身是同名讲义．该讲义从1991年以来经过三次修改，并在清华大学各系使用多年，已经成为清华大学《微积分》课程的主要教材之一．清华大学应用数学系先后有十余位教师参与过原讲义的编写与修改工作．现在的这部教材是在原有的基础上再次进行较大的修改而写成的．
　　 随着科学技术的发展与教学改革的深入，近年来清华大学《微积分》课程的教学思想与内容要求发生了很大变化，这部微积分教材从一个侧面反映了清华大学《微积分》课程教学的发展趋势和教学水平．
　　 由于近代数学以及许多有应用价值的数学知识不断地被充实到大学数学的教学内容中来，经典微积分的课时不断地被压缩，在这种情况下，更应当重视《微积分》课程在大学数学课程体系中的基础地位，在适当精简教学内容的同时，应当更好地把握微积分的基本要求，在较短的时间内，使学生掌握微积分的基本思想与基本方法．在为其它数学课程与各专业课程奠定良好的基础的同时，使学生的数学素养和能力得到扎实的提高．这是本书编写的主要指导思想．
　　 在《微积分》课程的教材中，使分析的概念和原理与代数的运算相结合，将现代数学的观点和语言融入经典的微积分素材之中，已经是一种趋势，在这方面，本书编者已经做过反复的探索．但是，经典微积分的思想与方法仍然是基础数学与应用数学的非常重要的基础．《微积分》课程教学的主要任务，是使大学生掌握经典微积分的基本思想与基本方法．大学生们可以通过学习后续数学课程了解现代数学的内容与方法．鉴于这些考虑，在引进现代数学的原理和语言方面，本书只作了适量的努力．
　　 尽管本书与传统的微积分教材没有体系上的重大区别，但是它的内容与叙述方法却有许多变化．例如，多元微积分与常微分方程的材料处理尽可能地使用线性代数语言描述，第二型线、面积分与向量场有机地结合起来，并更加重视物理背景，多元微分的分析概念更好地与几何直观相结合等．
　　 教材中尽可能地将微积分发展中若干重要思想有机地融会于教学内容之中，向读者介绍了微积分的重要原理的产生背景与发展过程，展示一代代数学大师的光辉思想与巨大贡献．使学生在学习微积分知识的同时，在微积分前进的历史足迹中，受到启迪，吸取力量．
　　 施学瑜教授对于本书的编写给予了热情的关心和指导，他认真阅读了教材全部内容，提出了许多有价值的意见和建议．吴洁华副教授也对教材提出了非常中肯的意见，他们的许多建议都已经为编者所采纳．孙念增教授曾经认真审阅过原讲义下册，并提出了具体的指导意见．马连荣博士，吕志博士，刘智新博士，杨和平博士，章梅荣教授，胡金德教授都曾经参加过原讲义的编写工作，许甫华副教授，王燕来副教授，刘庆华副教授都曾为这部教材的形成作出过贡献．除此之外，谭泽光教授，白峰杉教授为本教材的编写提供了多方面的支持和鼓励．借此机会，编者向他们一一致谢．
　　 由于编者水平所限，错误与疏漏在所难免，敬请读者批评指正．
　　 编 者
　　 1998年11月于清华大学