托马斯微积分（第10版）

　　 《托马斯微积分》(第10版)是从PEARSON Education购买翻译版权引进的，其特色可用“呈传统特色，富革新精神”来概括，50年以来，该书平均每四五年就有一个新版面世，每版较之先前版本都有不少改进之处，体现了这是一部锐意革新的教材；与此同时，该书始终注意保持其基本特色且有所增强，说明它又是一部重视继承传统的教材。本书具有以下突出的特色：
　　 * 坚实的数学，取材于科学和工程中相关的重要应用实例，以及配置有极好的习题。
　　 * 鼓励学生直观形象地、解析和数值地思考和解决问题，重视数值计算和程序应用。
　　 * 切实地融入了数学建模和数学实验的思想和方法。
　　 * 每个新论题都是通过清楚的、易于理解的例子启发式地引入的；可读性强。
　　 * 每节都以一些标题开始，使得主要的概念一目了然。
　　 * 从所附光盘和通过万维网可获得大量用于教师备课和促进学生学习的资料和信息。
　　

计算机代数系统（cas）练习
本版的技术创新之处
致教师
致学生
预备知识
1 极限和连续
2 导数
3 导数的应用
4 积分
5 积分的应用
6 超越函数和微分方程
7 积分方法，l'hopital法则和反常积分
8 无穷级数
9 平面向量和极坐标函数
10 空间中的向量和运动
11 多元函数及其导数
12 重积分
13 向量场中的积分
附录
a．1 数学归纳法

　　 微积分是人类智慧最伟大的成就之一．微积分是有关运动和变化的数学．微积分作为数学科学的一个重要组成部分也是科学而且优美的语言．自微积分诞生后的三百多年来，每一世纪都证明了微积分在阐明和解决来自数学、物理学、工程科学以及经济学、管理科学、社会学和生物科学各领域问题中的强大威力．正因为如此，微积分必然会成为培养人才的重要的必须掌握的内容．在全世界，微积分已经成为理工科大学生的必修课程．而且正在成为所有专业的大学生的必修或选修课程．甚至在许多高级中学已经把微积分作为必修或选修课程．针对不同对象、不同层次、不同水平具有不同风格的有关微积分的教材和图书不断、大量的出版也充分表明了需求量之大．在已经出版的有关微积分的教材和图书中不乏优秀之作．《Thomas’Calculus》(《托马斯微积分》)就是其中之一．
　　 最新出版的《托马斯微积分》(第10版)离1951年出版的第1版(第1版到第9版的书名都是《CalculusandAnalyticGeometry》(《微积分和解析几何》)已有半个世纪．众所周知，20世纪后半叶是科技和社会迅速发展的时期，尤其是计算机、计算技术、因特网和网络技术的惊人而且超乎想象的发展为数学的应用开辟了无限广阔的前景．数学的应用正在向一切领域渗透，各行各业对数学的要求也前所未有地增长．在长达半个世纪里出版了10版的微积分教材是不多的，这就说明了这是一本深受到美国广大教师和大学生欢迎的教材．事实上，不少大学和教师采用它作为微积分课程的教材，在相当一段时间里它也是麻省理工学院(MIT)微积分课程所用的几套教材之一．为什么呢?我们认为很重要的原因是作者既了解科技进步及其对微积分课程产生的新的需求，也因为他们是在教学的第一线深切了解后继课程的的需要，知道怎样才能培养和提高学生的能力．他们以学生为中心，处处为学生着想、为学生服务．只有这样所编写的教材才能做到与时俱进．我们在翻译的过程中更具体地体会到了这一点．我们觉得很多方面是非常值得我们思考的．
　　 首先，本书的目标明确．作者指出尽管第10版作了重大的修订，“但我们没有放弃我们的信念，即微积分的根本目的在于帮助学生为进人数学、科学和工程的领域作准备．”“保持了本教材的传统的优点：坚实的数学，对科学和工程相关的和重要的应用以及极好的习题．”“本教材继续把加强技能的训练作为重点．贯穿本版，我们把能鼓励学生直观形象地、解析和数值地思考的例子和讨论包括进来．几乎每个习题组都包含了要求学生把生成和解释图形作为理解数学和现实世界中关系的工具．许多节还包含扩大应用范围、数学概念和严格性方面的问题．”用我们国内经常讨论甚至争论的初、高等微积分的话来说，本书在某种意义上是一本现代的初等微积分教材，即尽可能快地向学生介绍微积分的基本概念、方法和应用，有的甚至是不甚严格的，但数学上是决没有错误的．鼓励甚至迫使学生直观形象地、解析和数值地思考，把加强解决问题的方法和技能的训练作为重点是有道理的．尽管学习数学(微积分)的方法和途径是多种多样的，都可能掌握和应用好数学，真是条条大路通罗马!但是选修微积分课程学生的情况也是多种多样的，他们的基础也是参差不齐的，很多人对数学的兴趣不大，对微积分的重要性更是不了解，他们选微积分是因为教学计划的要求，为了以后可能要用到它们而来学的．对于这样的学生微积分的入门门槛不能太高，入门后再逐步引导、帮助他们了解和学好微积分．在美国微积分一般都分为3—4个阶段的课来上的，有不少学生只学第1阶段或第1，2阶段的微积分课．因此，中国的读者在读本书时，会感到前面部分怎么那么“浅”，我们认为部分原因就是为了适应更多的学生的需要．这也许就是教材的灵活性吧．不过，我们觉得本书的前几章是很值得我国的高职高专或数学课时较少的学校或专业的数学教师参考的．
　　 第二，本书力图尽早地把数学建模以及数学实验的思想和方法融入课程．数学建模本身并不是什么新东西．数学建模几乎是一切应用科学的基础．古今中外凡是要用数学来解决的实际问题，都是通过数学建模的过程来进行的，换一种说法，都是应用数学建模的思想和方法来解决的．然而，由于计算的速度、精度和画图等形象化手段长期没有解决，以及其他种种原因，致使数学建模的重要性逐渐被人淡忘了．然而，恰恰是在20世纪后半叶计算机、计算速度和精度以及其他技术突飞猛进飞速发展，给数学建模这一技术以极大的推动力，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域．“数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键I具．科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验．对工程师和数学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实．11厂“把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法，特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中，占有主导地位．数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段，并且能预测新的现象．[2厂因此怎样把数学建模的思想和方法真正有机地融人微积分的课程是一项既迫切又艰巨的任务．困难之一就是数学建模往往与各领域的实际问题以及具体的数学方法——常常是很高深的数学方法——紧密相连，本书作者的努力在于把精选的只涉及较为初等的数学而又能体现数学建模精神，既能吸引学生而且学生以后又可能碰到的案例融人本书．特别是，尽可能多地训练学生的“双向翻译”的能力，简单地说，就是把实际问题用数学语言翻译为明确的数学问题，再把数学问题得到解决的结论或数学成果翻译为常人能懂的语言．“双向翻译”是能否有效地应用数学建模的思想和方法的极为关键的步骤．数学建模的力量就在于“通过把物质对象对应到认定能‘表示’这些物质对象的数学对象以及把控制前者的规律对应到数学对象之间的数学关系，就能构造所研究的情形的数学模型；这样，把原来的问题翻译为数学问题，如果能以精确或近似方式求解此数学问题，就可以再把所得到的解翻译回去，从而‘解’出原先提出的问题．[3]”本书作者在这方面作了很大努力，大量的习题要求学生学习、练习并逐步培养双向翻译的能力．我们认为在微积分的早期学习中渗透数学建模的思想和方法是极为重要的，不仅是使学生获得了用数学建模的思想和方法去解决问题的初步能力，提高了学习微积分以至学习更多的数学的兴趣和积极性，提高了自学能力，更能使学生在后继专业课程的学习中更为积极主动．
　　 与数学建模紧密相连的就是数学实验，长期以来人们对数学的一个很大的误解是数学是从来不做实验的，数学家就是凭脑袋、纸和笔进行推理、证明和计算云云．实际上，数学实验也不是新东西．人们实际上早就认识到数学实验在解决各种实践问题中的必要性和重要性．问题在于手算太费时、太繁琐甚至太困难以致无法进行下去．当然数学实验和物理、化学或生物学的实验在做法上是很不相同的，但精神是一致的．而现在进行数学实验的手段大大发展了，它不仅为用数学方法解决更多的实际问题创造了良好的条件，也为加速数学本身的发展提供了更多的机会．1991年期刊《实验数学(Experimental Mathematics)》创刊，以及数学实验作为数学科学的一个生气勃勃的新领域的兴起，也充分证明了数学实验的重要性．本书的作者也与时俱进地加进了大量的具有数学实验思想的例题和习题，以提高学生对数学实验的认识和能力。
　　 我国也正在进行把数学建模的思想和方法有机融人大学的主干数学课程的研究和实践，这是大学数学教学改革的重要一环．本书的许多做法是非常值得我们思考、学习和借鉴的．
　　 第三，微积分教学和学习中技术手段的使用．在本书中技术手段主要是指图形计算器和计算机和相应的数学软件以及网络教学等．使用技术手段来学习数学是好事还是坏事是一个颇有争议的问题．确实，企图用技术手段来替代个人刻苦努力的学习，是荒唐而且绝对不可取的，只会害学生．但决不能完全彻底地排斥技术手段，这里既有一个度的问题，也有怎样使用的问题．对于数学已经掌握得很好的教师来说技术手段既可能成为自己科研和教学研究的得心应手的有力工具，也可以通过教学实践来研究在教学过程中怎样使用它们，从而既能吸引学生、调动其学习的能动性，又能提高教学质量．这不是要不要的问题，而是需要从实践中取得经验，再慎重推广施行的问题．本书及其所附的光盘大量应用先进技术，从光盘和因特网上可得到包括诸如投影胶片等马上可以用于电子教案的许多技术手段．同时本书在多处地方强调不能滥用技术手段，无论是画函数的图形或是用数学软件求积分都可能出现误导、错误或非常繁琐不得要领等问题，它们是有局限性的，决不能代替聪明的思考、计算和推理证明．技术手段永远是辅助手段，它们能促进我们的思考，帮助我们更好地学习掌握微积分．在教学过程中是否采用技术，决定权在教师手中．
　　 第四，教学内容和教学手段现代化的问题．上面已经谈到了教学手段的现代化问题，关于教材内容现代化的问题，本书大量的课文和习题涉及航天等现代高科技的问题．就数学本身来讲，诸如相直线、平衡点的稳定性分析、吸引子、分形以及Monte Carlo数值积分等也都有论述，但基本上是蜻蜓点水式的．要不要仔细展开完全取决于任课教师，本书主要考虑的是为进一步学习这些现代的重要数学概念打下一定的基础．
　　 第五，作者精辟地指出，“一本书不能构成一门课；教师和学生在一起才能构成一门课．本教科书是支持你们的课程的信息资源；有鉴于此，我们在第10版中加进了许多有特色的内容使得本书无论在教和学习微积分时更加灵活和有用．”如果只是从某本好书中摘取几个好的例子套用到自己主讲的课程是远远不够的．教材是死的，课程是活的．课程是教师和学生共同组成的一个相互作用的整体，只有真正做到教师是动力、以学生为中心，教师充满爱心，处处为学生着想，充分发挥教师的核心指导作用，才能使之成为富有成效的课程．而一本好的教材能够为教师提供支持其课程的充分的信息资源，帮助主讲教师在教学过程中发挥其才华．
　　 第六，关于作者．已经退休年近90的C．B．Thomas教授从1944年到1978年一直在MIT工作，具有丰富的教学经验，他编写的《CalculusandAnalyticGeometry》(《微积分和解析几何》)就是该校微积分课程所用的教材之一．主要作者R．L．Finney博士1980年到1990年也在MIT工作，他是一位有丰富教学经验的大学数学教育改革的积极份子，有很多著述．他曾于1983年作为由美国数学协会(MAA)组织的人民对人民(people to people)大学数学教育代表团的成员访问过中国北京等地，与我国数学教师进行了很好的交流．遗憾的是他在改写完本书后不
　　久不幸去世．M．D．Weir教授任职于美国海军研究生院(Naval Postgraduate Sch001)对大学水平上应用数学建模和技术手段很有研究．F．R．Giordano教授1988年以来任美国陆军军官学校，即西点军校(United States Military Academy(USMA))数学系的系主任，也是组织美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling(MCM))和美国大学生交叉学科建模竞赛(InterdisciplinaryContestinModeling(1CM))的名为数学及其应用联合体(ConsortiumforMathemat·icsand ist Applications(COMAP))非盈利公司的大学教育部的主任和MCM这个竞赛的主任．Weir和Giordano曾著有数学建模的教材和不少大学数学教育改革的教学单元．他们既有相当高的学术水平，又热爱教学，长期工作在教学第一线，对大学数学教育中存在的问题及可能的改进方向有见解，对数学建模非常熟悉，对技术手段有很好的掌握，而且有相当好的写作能力．这也许是本书深受欢迎的重要原因．这样的作者阵容才能写出这样的教材，这对我们是深有启发的，也是值得我们学习的．
　　 本书第3章以前的内容是由叶其孝(北京理工大学)翻译的，第4—11章是由王耀东(北京大学)翻译的，12—13章和附录是由唐兢(北京工业大学)翻译的．林源渠教授(北京大学)翻译了第4—7章的部分内容，我们感谢他对翻译本书所作出的贡献．高等教育出版社的徐可同志做了大量的组织和协调工作．
　　 由于译者学术水平有限，时间比较仓促，不妥甚至错误之处在所难免．我们真诚地希望读者予以指正．读者可以通过电子邮件和我们或徐可同志联系．
　　 叶其孝 yeqx@bit．cud．cn 王耀东 wyd@pku．edu．cn
　　 唐 兢 tanSiing@bjpu．edu．cn 徐 可 xuke@hep．com．cn
　　 译者
　　 2003年7月