基本信息
内容简介
目录
第一部分 极限论
第一章 预备知识
1．1集合
1．2映射
1．3实数的性质 分界点公理
1．4最大数和最小数 上确界和下确界
1．5两个重要不等式
第二章 数列的极限
2．1数列的概念和类型
2．2极限的概念
2．3极限的定义
2．4极限的存在性与惟一性
2．5收敛数列的基本性质
2．6极限运算和常见运算的关系
2．7无穷小数列与无穷大数列
2．8数e及其相关极限
2．9斯铎兹法则 不定型极限及其求法
第三章 函数的极限
3．1函数及其相关概念
3．2函数的最大值、最小值与上确界、下确界
第一章 预备知识
1．1集合
1．2映射
1．3实数的性质 分界点公理
1．4最大数和最小数 上确界和下确界
1．5两个重要不等式
第二章 数列的极限
2．1数列的概念和类型
2．2极限的概念
2．3极限的定义
2．4极限的存在性与惟一性
2．5收敛数列的基本性质
2．6极限运算和常见运算的关系
2．7无穷小数列与无穷大数列
2．8数e及其相关极限
2．9斯铎兹法则 不定型极限及其求法
第三章 函数的极限
3．1函数及其相关概念
3．2函数的最大值、最小值与上确界、下确界
前言
数学的重要性是尽人皆知的．数学教育是整个科学教育的基本部分，在传播知识、启迪智慧方面有特殊的作用．
数学是自然科学和工程技术科学的基础．随着人类进入21世纪这个"知识经济时代"，数学的基础作用必将越来越明显．单纯从"投入-产出比"的角度来看，数学就具有特殊的经济价值．实际上，数学的研究和教学可以说"本钱"不多，通过一枝笔、几张纸、一副桌椅，或者通过一块黑板、几枝粉笔就可以实现，但是由此产生的社会和经济价值却是无法估计的．有一句古话用在这里恰到好处：运筹于帷幄之中，决胜于千里之外．
不过，任何价值都不可能无中生有．数学含有的价值，来自于学习、研究、应用数学时所付出心血的人的劳动．实际上， "数学所用的方法是逻辑推导，它有严格的定义和特定的符号，它的研究对象是抽象的数量关系和空间形式，没有相当的训练和基础知识是难以入门的"①．正因为如此，学习研究数学就必须花大力气，可以这样说，对于人类的文明和社会的发展，数学的研究和教育是"一本万利"的事业．
这本书主要介绍微积分理论．时间和实践都已经证明：学习这些理论是，大学一年级新生的"童子功"．从整个数学发展的历史来看，微积分学是现代数学的基础；从理工科大学的所有课程来看，微积分课程是基础课(没有微积分知识，就无法学其他许多课程)．实际上，一个人从进小学开始到大学毕业为止，不论哪个专业，学习数学的时间至少都有12年至14年之久．在这十几年里，微积分的学习是最关键的，这不仅表现在微积分学是现代数学乃至于现代科学的基础，而且还表现在学习微积分时养成的"个人风格"对其他课程的学习都有一定的影响．
在这21世纪之初，应该说，我国数学的研究、教学和普及水平都是相当高的，当代学生对数学都有浓厚的学习兴趣和比较高的接受能力，时代呼唤有时代特色的教材．在这样的背景下，我国近一两年出版了多本"面向21世纪课程教材"．也正是在这样的背景下，本书的编者在西北工业大学教务处的大力支持和许多老教师的鼓励下，为"本硕博连读教改班"编写了这本试用教材．
在这本教材里，编者在以下几个方面做了努力：
1．尽量从初学者和研究者的立场出发，提出问题、考察问题、探索问题、解决问题；力求运用简朴的语言描述问题；在论述时，尽量做一些注解(这些注解都是学生应注意的地方)．
2．对一些概念、名词、定理给予形象的解释，以便于学生掌握和使用．
3．对于数学领域中有重要作用的概念和问题，给予较多的关注，例如函数的凹凸性、开映射原理、隐函数整体存在定理、逆映射存在的充分条件、多元向量值函数微积分等．这样做是为了提高"本硕博连读学生"认识数学、应用数学的能力．
4．突出知识的结构，一簇一簇地把结论叙述出来，以便于学生从整体上去把握．
5．力求基本理论和做题技巧并重，给"做题难问题"以较多的关注．
本书分上下两册，分两学期、192学时使用．本书分8个部分，有23章．
第一部分是极限理论．与常见讲法有所不同的方面是：在实数理论里，采用了"分界点公理"；突出了"平均值不等式"的作用；比较系统地介绍了数列的极限理论，把函数的极限理论作为它的推广．
第二部分是一元函数微分学．与常见讲法有所不同的方面是：先讲微分概念，后讲导数概念(为的是先入为主，突出"微分"概念的应有地位)；用几何的观点引出、证明微分中值定理．
第三部分是一元函数积分学．与常见讲法有所不同的方面是：把不定积分的第二类换元法看成"用参数方程表示原函数的一种方法"；对分部积分法着重强调"分部"的意义；通过"分割、采样、求和、求极限"这四个步骤，引出了定积分概念；在上册末尾编写了"一元向量值函数微积分"，以便于学生学习普通物理课程，也为下册系统介绍向量值函数理论做准备．
第四部分是多元函数微分学．与常见讲法有所不同的方面是：由浅入深、比较系统地介绍了点集拓扑的一些概念；给向量值函数及其相关概念以更多的关注；突出不动点原理在微积分学中的特殊地位；平等看待一元函数的微分中值定理和多元函数的微分中值定理；突出介绍了开映射定理；首次得到了"反函数存在的充分条件(对于凸开集上的多元向量值函数而言)"
第五部分是多元函数积分学．与常见讲法有所不同的方面是：通过"分割、采样、求和、求极限"这四个步骤，先后引出了曲线积分、二重积分、曲面积分、三重积分等概念；把第二型曲线或曲面积分作为第一型相应积分的特殊形式(这样更贴近物理观点，有利于体现整体思想，有利于课堂教学)；从测度论的观点给予"积分变换问题"更多的关注；探讨了"曲面面积问题"．
以上五部分是微积分学的精髓，也是本书的主体；在这些内容的处理上，本书是从纯粹数学的立场出发的，但力求叙述方式更贴近"日常生活"．
由于学时限制以及"工科限制"，在广义积分、级数理论、常微分方程这三个部分，本书是按"工科数学"观点处理的．这里要说明的是：按照正交级数理论，对区间[0，2π]上定义的可积函数，可以直接研究它的Fourier级数．("周期性"不是本质，这是因为在区间[0，2π]上定义的函数，通过延拓，就可以把它转变成周期函数．)
对许多老师和同行的支持、对西北工业大学应用数学系的大力支持、对西北工业大学教务处领导和同志们的全力支持、对西北工业大学教务处的资助，编者表示衷心的感谢!
数学是自然科学和工程技术科学的基础．随着人类进入21世纪这个"知识经济时代"，数学的基础作用必将越来越明显．单纯从"投入-产出比"的角度来看，数学就具有特殊的经济价值．实际上，数学的研究和教学可以说"本钱"不多，通过一枝笔、几张纸、一副桌椅，或者通过一块黑板、几枝粉笔就可以实现，但是由此产生的社会和经济价值却是无法估计的．有一句古话用在这里恰到好处：运筹于帷幄之中，决胜于千里之外．
不过，任何价值都不可能无中生有．数学含有的价值，来自于学习、研究、应用数学时所付出心血的人的劳动．实际上， "数学所用的方法是逻辑推导，它有严格的定义和特定的符号，它的研究对象是抽象的数量关系和空间形式，没有相当的训练和基础知识是难以入门的"①．正因为如此，学习研究数学就必须花大力气，可以这样说，对于人类的文明和社会的发展，数学的研究和教育是"一本万利"的事业．
这本书主要介绍微积分理论．时间和实践都已经证明：学习这些理论是，大学一年级新生的"童子功"．从整个数学发展的历史来看，微积分学是现代数学的基础；从理工科大学的所有课程来看，微积分课程是基础课(没有微积分知识，就无法学其他许多课程)．实际上，一个人从进小学开始到大学毕业为止，不论哪个专业，学习数学的时间至少都有12年至14年之久．在这十几年里，微积分的学习是最关键的，这不仅表现在微积分学是现代数学乃至于现代科学的基础，而且还表现在学习微积分时养成的"个人风格"对其他课程的学习都有一定的影响．
在这21世纪之初，应该说，我国数学的研究、教学和普及水平都是相当高的，当代学生对数学都有浓厚的学习兴趣和比较高的接受能力，时代呼唤有时代特色的教材．在这样的背景下，我国近一两年出版了多本"面向21世纪课程教材"．也正是在这样的背景下，本书的编者在西北工业大学教务处的大力支持和许多老教师的鼓励下，为"本硕博连读教改班"编写了这本试用教材．
在这本教材里，编者在以下几个方面做了努力：
1．尽量从初学者和研究者的立场出发，提出问题、考察问题、探索问题、解决问题；力求运用简朴的语言描述问题；在论述时，尽量做一些注解(这些注解都是学生应注意的地方)．
2．对一些概念、名词、定理给予形象的解释，以便于学生掌握和使用．
3．对于数学领域中有重要作用的概念和问题，给予较多的关注，例如函数的凹凸性、开映射原理、隐函数整体存在定理、逆映射存在的充分条件、多元向量值函数微积分等．这样做是为了提高"本硕博连读学生"认识数学、应用数学的能力．
4．突出知识的结构，一簇一簇地把结论叙述出来，以便于学生从整体上去把握．
5．力求基本理论和做题技巧并重，给"做题难问题"以较多的关注．
本书分上下两册，分两学期、192学时使用．本书分8个部分，有23章．
第一部分是极限理论．与常见讲法有所不同的方面是：在实数理论里，采用了"分界点公理"；突出了"平均值不等式"的作用；比较系统地介绍了数列的极限理论，把函数的极限理论作为它的推广．
第二部分是一元函数微分学．与常见讲法有所不同的方面是：先讲微分概念，后讲导数概念(为的是先入为主，突出"微分"概念的应有地位)；用几何的观点引出、证明微分中值定理．
第三部分是一元函数积分学．与常见讲法有所不同的方面是：把不定积分的第二类换元法看成"用参数方程表示原函数的一种方法"；对分部积分法着重强调"分部"的意义；通过"分割、采样、求和、求极限"这四个步骤，引出了定积分概念；在上册末尾编写了"一元向量值函数微积分"，以便于学生学习普通物理课程，也为下册系统介绍向量值函数理论做准备．
第四部分是多元函数微分学．与常见讲法有所不同的方面是：由浅入深、比较系统地介绍了点集拓扑的一些概念；给向量值函数及其相关概念以更多的关注；突出不动点原理在微积分学中的特殊地位；平等看待一元函数的微分中值定理和多元函数的微分中值定理；突出介绍了开映射定理；首次得到了"反函数存在的充分条件(对于凸开集上的多元向量值函数而言)"
第五部分是多元函数积分学．与常见讲法有所不同的方面是：通过"分割、采样、求和、求极限"这四个步骤，先后引出了曲线积分、二重积分、曲面积分、三重积分等概念；把第二型曲线或曲面积分作为第一型相应积分的特殊形式(这样更贴近物理观点，有利于体现整体思想，有利于课堂教学)；从测度论的观点给予"积分变换问题"更多的关注；探讨了"曲面面积问题"．
以上五部分是微积分学的精髓，也是本书的主体；在这些内容的处理上，本书是从纯粹数学的立场出发的，但力求叙述方式更贴近"日常生活"．
由于学时限制以及"工科限制"，在广义积分、级数理论、常微分方程这三个部分，本书是按"工科数学"观点处理的．这里要说明的是：按照正交级数理论，对区间[0，2π]上定义的可积函数，可以直接研究它的Fourier级数．("周期性"不是本质，这是因为在区间[0，2π]上定义的函数，通过延拓，就可以把它转变成周期函数．)
对许多老师和同行的支持、对西北工业大学应用数学系的大力支持、对西北工业大学教务处领导和同志们的全力支持、对西北工业大学教务处的资助，编者表示衷心的感谢!
