现代分析及其应用引论

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数学书籍
　　 本书用较短的篇幅介绍了流形上的微积分及其应用．书中的前三章的内容是预备知识，第4章到第9章分别介绍微分流形、流形上的向量场、微分形式与积分、de Rham上同调、映射度及奇异性等基本概念和理论，同时介绍了若干典型的应用．第10章是全书内容的一个综合应用．
　　 本书叙述简明，注重概念与实例，信息量较大，适合作为非数学专业的理工科研究生的数学教材或教学参考书．也可作为物理、力学工作者及工程技术人员自学的入门读物．
　　

第1章 映射与等价关系
1．1 映射
1．2 映射的复合
1．3 可逆映射
1．4 笛卡儿积
1．5 等价关系
第2章 代数预备知识
2．1 线性空间与线性映射
2．2 内积空间
2．3 对偶空间
2．4 多重线性函数
2．5 非退化双线性函数
2．6 外代数
2．7 群
2．8 同态
2．9 商群
2．10 环与域
2．11 模
2．12 自由模
2．13 群在集合上的作用

　　 自从大数学家B．Riemann提出n维流形的概念至今已有150年了．流形概念相对于欧氏空间概念的进步，可以形象地比作"大地是球形的"思想相对于古人认为的"大地是平坦的"思想的进步．由于其进步意义是众所周知的，所以在20世纪的数学领域中，流形成为最重要的研究对象之一，就是完全可以理解的了．与此同时，流形上的微积分(古典微积分是它的特例)也迅速从数学界传播到物理学、力学及工程技术界，被视为掌握现代科学技术的一门必备的知识．本书即从应用的角度介绍这一理论中最基本的内容．我们想要达到的目的是使读者在较短的时间内了解现代数学这一主流分支的大意和基本语言．
　　 由于本书预设的读者对象是非数学专业的人员，所以我们在本书前3章中简单地讨论了一些必需的预备知识，第1章介绍集合论的基本知识，它实际上是学习任何一门数学都需要的．第2章介绍代数学的预备知识，没有这些代数工具，许多现代数学的理论就很难叙述和系统化．第3章讨论欧氏空间的微分学，它是理解流形概念的前提，其理由是，流形上的每一点的附近都像欧氏空间中的一"小块".
　　 从第4章到第6章，我们介绍流形的概念，并讨论流形上的微分学和积分学的基本理论，这些内容是本书的核心部分．
　　 流形与欧氏空间的本质区别是整体性质不同，要理解这一点，非有拓扑学的知识不可．本书用讲座的方式介绍了最基本的代数拓扑学与微分拓扑学的初步知识，这些便是第7章和第8章的内容．第9章介绍奇异性理论的入门性内容，对于了解流形上的映射的整体性质而言，奇异性是重要的关节点，它往往起到四两拨千斤的作用．
　　 本书从第4章起就经常穿插地讲一些应用内容，而第10章则是全书内容的一个综合应用．我们在这里选择了力学这一主题，其理由大致有两个，一是流形上的分析在力学中的应用发展最早，因而比较全面和典型；二是这个主题也许能适合较多的读者，因为自然科学和工程技术的绝大多数理论都是从力学发展演变来的．
　　 本书是由6年前的一份讲义开始，逐渐修改和充实而形成的．原讲义的听众为非数学专业的理工科研究生，鉴于这一点，本书尽量不用太多的预备知识和训练，我们只需要工科大学本科的微积分和线性代数知识．为了说清楚基本内容，我们大量地采用例子来解释定义和定理的含义．我们认为，对于应用者来说，理解定理说的"是什么"，这一点是首先要做到的．至于定理的证明，我们只选了一些对理解基本思想必不可少的证明方法予以介绍．对于那些需要较多的预备知识的证明过程就略而不讲了，也有一些证明则只求说清思路而略去了逻辑上的细节，读者如需了解这些细节，可参阅书中推荐的文献．
　　 作者感谢南京航空航天大学研究生院和教务处的大力支持，感谢吕虹编审与杨波编辑付出的辛勤劳动．
　　 限于作者的学术水平，书中难免有不当之处，请读者指正．
　　 编 者
　　 2003年