(特价书)天才引导的历程:数学中的伟大定理

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《天才引导的历程:数学中的伟大定理》将带领读者穿越两千年的数学旅程。作者从数学史的角度阐述了历史上最伟大的数学家以及他们历久弥新的成果，书中定理涉及平面几何、代数、数论、分析学和集合论等各个数学分支，内容丰富多彩，生动有趣。

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》是中学生、大学生案头必备的文化读物，更是各层次数学爱好者的珍宝。

   William
Dunham，俄亥俄州立大学硕士和博士毕业，现为美国穆伦堡学院教授，世界知名的数学史专家。他分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的George
Polya奖、Trevor Evans 奖和Lester R. Ford奖。Dunham教授著述颇丰，除本书外，还著有《The
Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great
Proofs, Problems, and
Personalities》（数学那些事儿：思想、发现、人物和历史）等广受好评的科普著作。

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》
译者序
前言
第1章　希波克拉底的月牙面积定理（约公元前440年）/1
论证数学的诞生　/1
有关求面积问题的一些评论　/13
伟大的定理：月牙面积　/19
后记　/22
第2章　欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明（约公元前300年）/30
欧几里得的《几何原本》　/30
第一卷：准备工作　/36
第一卷：早期命题　/42
第一卷：平行线及有关命题　/50
伟大的定理：毕达哥拉斯定理　/54
后记　/60
第3章　欧几里得与素数的无穷性（约公元前300年）/70
《几何原本》第二至六卷　/70
《几何原本》中的数论　/76
伟大的定理：素数的无穷性　/82
《几何原本》的最后几卷　/85

　　“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头。”天才，尤其是数学天才，在成为受人瞩目的耀眼明星之前，想必早已有了过人之处。尽管他们为世人带来的奇葩已是众所周知，可是，这一朵朵奇葩在绽放之前所经历的磨练，却未必是尽人皆知。
　　我们所熟悉的艾萨克·牛顿，是冠以“爵士”的头衔，孰知，他非但不是出生于贵族家庭，甚至是一个遗腹子，还是一个几乎没有得到母爱的孩子。可就是这样一个“不招人待见”的孩子，在童年时期就能做出由小老鼠在踏车上驱动的小风车，将点燃的灯笼系在风筝上，高高放入春天的夜空中；在大学期间，为了了解眼球的形状如何扭曲和改变视觉形象，甚至用一根小棍在自己的眼睛与眼骨之间使劲扎。而如此成长起来的一位知识巨人，也不过是英雄辈出的17世纪中的一位代表（当然，是最为杰出的代表）。
　　读完全书后不难发现，这些天才纵然不会带着上天赐予他们的特殊印记来到这个世界上，但是，他们的确有着共同点，那就是“专注”与“勤奋”。最早的著名数学家和天文学家泰勒斯，有一次一边散步一边仰望星空，竟然掉进了一口深井中；阿基米德就更别提了，他不仅会忘记吃饭，甚至会忘记自己的存在，他兴奋地从浴盆里跳出来的故事已是家喻户晓；欧拉后来尽管双目失明，却仍在一刻不停地进行数学研究，直至生命的最后一天，他的成就数量用著作等身来形容都实在是小巫见大巫。要知道，这些天才的生平所带给我们的启发意义，绝不逊色于他们的成就，同样不容错过。
　　当然，全书的精彩之处就是将两千多年的数学发展历程融为十二章的内容。一个个“伟大的定理”，犹如一颗颗璀璨的明珠，组成一串最美的项链以飨读者。经过作者精心挑选的这串项链不仅串起了历史的车轮，更是串起了数学这门学科所涵盖的各个深邃而不乏实用性的领域，将永恒和经典一一呈现在众人面前。
　　热爱数学？那就读读这本书吧，因为这些天才的证明过程一定会让你体会到犹如绝处逢生一般的喜悦感！厌恶数学？那也读读这本书吧，因为你会发现这些天才不为人所知的另一面，而这些生动的故事以及详尽的证明，一定会让你体会到数学家以及他们所研究的数学也有可爱的一面！
　　天才，当然不是你想当就能当的；但成功，一定是你勤奋努力所能实现的未来。看看这些身为天才却仍然不懈努力的伟大数学家，他们的历程一定会鞭策你不断前进。
　　此书的翻译虽为合力之作，但每位译者在解读这本书时都十分谨慎，同时也以优势互补的方式完成了全书内容的翻译。尽管我们竭尽全力以提供优秀的作品，但难免会存在错漏之处，敬请有识之士指正。
　　李莉萍
　　2012年11月17日
　　

　　伯特兰·罗素在他的自传中回忆了他青少年时期的一场危机：
　　有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人去那里观看日落，想象着自杀。然而，我最终没有自杀，因为我希望了解更多的数学知识。
　　诚然，只有极少数人能够如此虔诚地皈依数学，然而有许多人能够领会数学的力量，特别是领会数学之美。本书谨献给那些希望更深入地探索漫长而辉煌的数学史的人们。
　　对于文学、音乐和美术等各种学科，人们的传统做法是以考证杰作——“伟大的小说”、“伟大的交响乐”、“伟大的绘画”——作为最恰当和最有启发性的研究对象。人们就这些主题著书立说，授课讲学，使我们能够了解这些学科中颇具创新意识的里程碑和创造这些里程碑的伟人。
　　本书采用类似的方法来研究数学，只不过书中大师们创造的不是小说或交响乐，而是定理。因此，本书不是一本典型的数学教材，没有一步一步地推导某个数学分支的发展。本书也不强调数学在确定行星运行轨道、理解计算机世界或者结算支票等方面的应用。当然，数学在这些应用领域极其成功。然而，并不是这些世俗功利促使欧几里得、阿基米德或乔治·康托尔为数学殚精竭虑，终生不悔。他们觉得没有必要借功利目的为自己的工作辩解，正如莎士比亚不必解释他为何要写十四行诗而没有写食谱，或者凡高为何要画油画而没有画广告画一样。
　　在本书中，我将从数学史的角度来探究一小部分最重要的证明和最精巧的逻辑推理，并重点阐述这些定理为什么意义深远，以及数学家们是如何彻底地解决了这些迫切的逻辑问题的。本书的每一章都包含三个基本组成部分。
　　第一部分是历史背景。本书中的“伟大定理”跨越了2300多年的人类历史。在讨论某个定理之前，我都将先介绍历史背景，介绍当时的数学状况乃至整个世界的总体状况。像其他任何事物一样，数学也是在一定的历史环境中产生的。因此，指明卡尔达诺三次方程的解法出现在哥白尼日心说公布后两年和英格兰国王亨利八世死前两年是有意义的，强调青年学者艾萨克·牛顿1661年进入剑桥大学学习时，王政复辟对剑桥大学的影响也是有意义的。
　　第二部分是人物传记。数学是有血有肉的实实在在的人的造物，而数学家的生平则可能给人以灵感、示人以悲剧或令人惊呼怪诞。本书所涉及的定理体现了许多数学家的勤奋努力，从交游广阔的莱昂哈德·欧拉到生性好斗的约翰·伯努利，以及最世俗的文艺复兴时期的人物杰罗拉莫·卡尔达诺，不一而足。了解这些数学家的不同经历，有助于我们更好地理解他们的工作成果。
　　第三部分，即本书的重点，是在这些“数学杰作”中所表现出的创造性。不读名著，无从理解；不观名画，无从体味。同样，如果不去认真地、一步一步地钻研这些证明方法，也不可能真正掌握这些伟大的数学定理。而要理解这些定理，就必须全神贯注，加倍努力。本书各章仅仅为理解这些定理梳理线索。
　　这些数学的里程碑还具有一种永世不灭的恒久性。在其他学科，今天流行的时尚，往往明天就被人遗忘。一百多年前，沃尔特·司各特爵士还是当时英国文学界中最受尊重的作家之一，而今天，人们对他已淡忘。20世纪，超级明星们匆匆来去，转瞬即成历史，而那些旨在改变世界的观念，最终却常常变成思想垃圾。
　　的确，数学的口味时常也会改变。但是，严格遵循逻辑的限定条件而得到完美证明的数学定理则是永恒的。公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明，丝毫未因时光的流逝而丧失它的美与活力。相比之下，古希腊时期的天文学理论或医术却早已变成陈旧而有点可笑的原始科学了。19世纪的数学家赫尔曼·汉克尔说得好：
　　就大多数学科而言，一代人摧毁的正是另一代人所建造的，而他们所建立的也必将为另一代人所破坏。只有数学不同，每一代人都是在旧的建筑物上加进新的一层。
　　从这一点来看，当我们探讨伟大数学家历久弥新的成果时，就能够逐渐体会奥利弗·亥维赛精辟的论说：“逻辑能够很有耐性，因为它是永恒的。”
　　在选择最能体现数学精髓的这些定理时，我考虑了许多方面的因素。如前所述，我首要考虑的是找到具有深刻见解或独创性的论题。当然，这里有一个个人好恶的问题，我承认，不同的作者肯定会选取不同的定理。除此之外，能够直接看到数学家通过巧妙的演绎，将看似深奥的问题变得清晰易懂，确实是一种不同寻常的经历。据说，聪明人能够战胜困难，而天才则能够战胜不可能。显而易见，本书将呈现许多天才。这里有真正的经典——数学界的《蒙娜丽莎》或《哈姆雷特》。
　　当然，选择这些定理也有其他方面的考虑。首先，我希望本书能够包含历史上主要数学家的定理。例如，欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉必不可少。忽略这些数学人物，犹如研究美术史而不提伦勃朗或塞尚的作品一样。
　　其次，为求丰富多彩，我兼顾了数学的各个分支。书中的命题来自平面几何、代数、数论、分析学和集合论等各个领域。各种分支，以及它们之间的偶然联系和相互影响，为本书增添了一些新鲜的气息。
　　我还希望能在本书中展示重要的数学定理，而不仅仅是一些小巧的智力题。实际上，本书的大部分定理或者解决了长期存在的数学问题，或者提出了意义深远的问题留待未来解决，或者二者兼而有之。每一章的结尾处都有后记，一般都会论证一个由该伟大定理提出的问题，同时会介绍其在数学史上的影响。
　　现在再跟大家说一说难度深浅的问题。显然，数学有许多伟大的里程碑，其深度和难度只有专家可以理解，而所有其他人都会感到莫测高深。在一本针对一般读者的书中引入这些定理是十分愚蠢的。只要具备高中代数和几何知识即可理解本书所论述的定理。但有两处例外，一是第9章在讨论欧拉的工作成果时应用了三角学中的正弦曲线，二是第7章在讨论牛顿的工作成果时应用了初等微积分。许多读者可能已经掌握了这些知识，而对于那些尚未掌握这些知识的读者，本书做了一些解释，以帮助他们克服阅读中的困难。
　　必须强调，本书不是一本学术著作。一些重大的数学问题或微妙的历史问题当然不可能在这种书中一一述及。虽然我尽力避免编入一些错误的或历史上不准确的材料，但这里也不是对所有问题的所有方面刨根问底的时间和场合。毕竟，本书是一本大众读物，不是科学著作或新闻报道。
　　就此，我必须对定理证明的真实性说几句。在准备写这本书的时候，我发现，为了让现代读者能够理解这些数学资料，我不得不对定理创始人最初使用的符号、术语和逻辑战略做一些变通。完全照搬原作会使一些定理非常难于理解，但严重偏离原作又与我的历史目标相冲突。总之，我尽力保留了定理原作的全部要旨和大量细节。我所作的修改并不严重，在我看来，不过就像是用现代乐器演奏莫扎特的乐曲一样。

　　第1章希波克拉底的月牙面积定理（约公元前440年）
　　论证数学的诞生
　　我们对人类最早期数学发展的认识在很大程度上依靠推测，是根据零星的考古资料、建筑遗迹和学者的猜测拼凑而成的。显然，随着公元前15000到公元前10000年之间农业的出现，人类不得不（至少是以简陋的方式）应付两个最基本的数学概念：量和空间。量的概念，或“数”的概念，是在人们数羊或分配粮食时产生的，经过历代学者几百年的推敲和发展，量的概念逐渐形成了算术，后来又发展成为代数。同样，最初的农夫也需要认识空间关系，特别是与田地和牧场的面积有关的问题，随着历史的发展，这种对空间的认识就逐渐形成了几何学。自从人类文明之初，数学的这两大分支（算术和几何）就以一种原始的形式共存。
　　这种共存并非永远和谐。数学史上一个不变的特征就是在算术与几何之间始终存在着紧张关系。有时，一方超过了另一方；有时，另一方又比这一方在逻辑上更占优势，让人感觉更可信。而一个新发现，一种新观点，都可能会扭转局面。也许，有人会感到十分惊讶，数学竟然像美术、音乐或文学一样，在其漫长而辉煌的历史进程中，存在着激烈的竞争。
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