小波与离散变换理论及工程实践

    书籍
    数学书籍
本书采用直观的方式，从数学和信号处理相结合的角度，系统叙述了小波与离散变换的理论和新型算法设计及其应用，使读者能够透过小波理论建立过程中出现的复杂数学表达式领悟到其深刻而直观的工程意义。
本书由两个部分组成。第一部分为小波理论与新型算法设计，首先从传统的多分辨分析角度研究了小波的构造方法，然后利用多采样滤波器理论非常直观地设计出多带小波，最后利用提升格式系统讨论了离散变换与小波的设计和整数实现。第二部分研究小波理论的系列应用，主要讨论小波与离散变换在图像压缩、数字水印、电磁场数值计算、信号奇异性检测、雷达载机运动参数提取及在超宽带合成孔径雷达成像等领域中的应用。
本书理论系统严谨，内容丰富，不仅包含已有的成熟理论与应用成果，同时也包含了部分作者自己的工作实践。
本书旨在为数学专业工作者了解数学公式的工程与物理意义、为工科专业人员了解实际问题的数学描述和解决工程问题提供启发性的思路；本书对信号与信息处理、图像处理、计算机、电子工程、微波工程、空间物理等专业的研究生和教师以及相关专业的研发人员来说，是一本极有价值的参考书。

第1章 连续小波变换
1．1 概述
1．1．1 傅里叶变换
1．1．2 短时傅里叶变换
1．2 连续小波变换
1．2．1 定义
1．2．2 连续小波变换的计算
1．3 连续小波基函数
1．3．1 几种基函数
1．3．2 连续小波基函数的选择
1．4 连续小波变换的性质
1．5 频率离散化重构原信号--二进小波
1．6 时频离散化重构原信号--框架
1．7 小波级数
第2章 多分辨分析与小波构造
2．1 多分辨分析的直观描述
2．2 多分辨分析与双尺度方程
2．3 信号的分解与重构--Mallat算法
2．4 小波包分析
2．5 尺度函数的计算

　　 1807年，法国科学家傅里叶(J．Fourier)提出傅里叶级数展开的方法，并用该方法研究热传导方程。近300年来，傅里叶变换理论在科学技术的许多领域中得到了广泛的应用，成为纯粹数学(包括微分方程求解、函数空间刻画、数值计算等)与应用数学领域、信息科学领域的主要工具之一。利用傅里叶分析方法表示信息时能够清晰地揭示出信号的频率特征，但缺陷是不能反映时间域上的局部信息。而局部性质的描述无论是在理论还是在实际应用方面都是十分重要的。为了克服傅里叶分析的局限性，人们从不同的角度对傅里叶变换进行改进，到目前为止，小波变换(小波分析)是众多改进中影响最深远的数学分析方法。
　　 小波变换作为一门新型的应用数学分支，系统的研究开始于20世纪80年代初期。小波变换理论的形成是数学家、物理学家以及信息工程专家集体智慧的结晶。其中，法国地质工程师J．Mofiet、数学家Y．Meyer、物理学家A．Grossman、信号处理专家S．Mallat以及比利时数学家I．Daubechies等在小波理论的形成、发展及其在工程中的应用等方面做出了决定性的贡献。由于小波的局部分析性能优越，在信号分析中尤其是在数据压缩与边缘检测等方面主要性能优于其他方法。在最近推出的静态图像压缩国际标准--JPEG 2000中，小波变换(DWT)已经正式取代离散余弦变换(DCT)成为标准的变换编码方法。但另一方面，经典的小波理论在实际应用中同样存在美中不足的情况。例如，在其应用最成功的图像压缩领域，经典小波方法的计算复杂性远高于DCT方法，成为数据实时处理的瓶颈：而基于小波变换的常见图像压缩编码方法在处理数据的过程中大都需要将整幅图存储，因此所需存储空间远高于DCT方法，这势必极大增加压缩方法的硬件实现成本。为了尽量克服经典小波方法的缺陷，小波的低复杂度、低成本实现算法的研究成为广泛关注的课题。1995年，Daubechies的博士生W．Sweldens系统地提出了基于提升格式(Iifting scheme)的小波变换理论，为了与经典的小波相区别，他将之称为第二代小波。目前，构造第二代小波的重要工具--提升分解已经成为离散正交变换整数实现的最强有力的工具。整数离散变换(主要包括整数离散傅里叶变换、整数DCT、整数离散Hartley变换以及整数重叠式变换等)以无需浮点乘法、运算简单高效、与原始变换高度相似等特性，近期正成为应用数学、计算数学、信息科学等领域中的热点研究课题。尽管国内出版了许多小波变换方面的优秀专(译)著，但据作者所知，目前尚无一书涉及第二代小波变换和整数离散变换理论。本书力图弥补这一缺陷，为从事数学以及信息处理的广大科技工作者奉献一部内容新颖、方法实用、理论先进的小波变换理论与工程应用的专著。
　　 本书作为我们近几年研究工作的总结，内容主要包括：小波的基础理论、多采样率滤波器组与多带小波的设计、离散变换与小波的整数实现算法：作为应用，本书较详细地讨论了小波与离散变换在图像压缩、数字水印以及小波变换在电磁场数值计算、信号处理中的应用。全书共分7章，第2章至第5章由成礼智执笔，第6章与第7章由郭汉伟执笔，第1章由成礼智与郭汉伟共同执笔。全书具体内容安排如下：
　　 第1章：连续小波变换。主要讨论小波变换与傅里叶变换的异同，连续小波变换的性质与计算，小波的离散化。
　　 第2章：多分辨分析与小波构造。主要介绍多分辨分析的概念及其信号分解和重构，基于Daubechies方法的正交小波构造和对称双正交小波构造，有理化系数小波构造等。
　　 第3章：多采样率滤波器组与M带小波的设计。主要介绍正交滤波器组的设计，M带正交镜像滤波器组(QMF)的构造，M带正交与对称双正交小波的构造方法。
　　 第4章：离散变换与小波的整数实现算法。主要研究基于提升分解的各种整数离散变换与整数小波变换理论以及上述变换在图像压缩中的应用。
　　 第5章：数字水印。首先介绍基于空间域方法的数字水印技术，重点讨论基于DCT和小波的数字水印方法，以及基于整数DCT、整数小波同Rijndael加密技术相结合的各种不同类型的脆弱水印算法。
　　 第6章：小波分析在电磁场数值计算中的应用。首先介绍小波矩量法原理及其应用，应用小波变换和小波包变换求解矩阵方程，重点论述时域小波--Galerkin方法及其应用，并推导乐多分辨分析(MRTD)原理，证明了MRTD与时域有限插分法(FDTD)的关系。
　　 第7章：小波分析在信号理中的应用。处主要介绍小波变换检测信号的奇异性，信号参数方面的应用。以合成孔径雷达(SAR)信号处理为背景，利用小波变换方法提取载机运动参数，辅助SAR快速成像。
　　 本书作者长期从事小波变换和快速算法研究，本书的出版得到国家自然科学基金项目(No：10171109)的资助。书中包含许多作者的研究成果。例如，本书第3章到第5章的部分内容为作者与钟广军博士以及博士研究生罗永、王红霞等人合作的成果；本书第6章部分内容是第二作者在攻读硕士学位期间(电磁场与微波技术专业)，在何建国教授、刘克诚教授和尹家贤教授的指导下完成的，第6章另一部分内容是作者与国防科大电子工程学院刘培国副教授合作的成果。电子科学与工程学院董臻和黄晓涛副教授在信号处理理论和工程实践中给予作者许多指导。另外，与超宽带实验室师兄弟之间的交流也让作者获益匪浅。
　　 在写作本书的过程中，作者始终得到导师梁甸农教授的指导和支持，本书的顺利出版与导师在学业和生活上给予作者的关怀是密不可分的，在此衷心地感谢导师梁甸农教授。国防科技大学电子科学与工程学院陆中良教授审阅了本书的全部内容，刘克诚教授审阅了第7章的内容，两位教授提出了宝贵的修改意见；另外，蒋咏梅副教授也提出了一些修改建议。此一并表示衷心的感谢。
　　 本书可供从事应用数学、计算数学或有关工程研究的科技和工程人员参考，也可以作为相关专业的硕士研究生或博士研究生的教材或参考书。
　　 读者可以从小波学术站点http：//guohanwei．51．net自由下载本书的源代码，或发邮件至wavelet_support@163．com与作者进行交流讨论。最后欢迎各位读者对本书内容提出批评、指正。
　　 成礼智 郭汉伟
　　 2004年5月于长沙国防科技大学