数学建模（原书第3版）

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数学建模这门课程在数学及其在各个领域的应用之间架起一座桥梁。本书介绍了整个建模过程的原理，通过本书的学习，学生将有机会在设计创造性模型和经验模型、进行模理分析以及模型研究中得到亲身实践，增强解决问题的能力。
■论证了离散动力系统、离散优化等技术对现代应用数学的发展的促进作用
■强调通过模型设计提高学生的创造性和展现模型构建的艺术特性，用大量篇幅阐述了经验建模和模拟建模的思想
■在设计创造性模型和经验模型，模型分析以及模型研究中融入个人项目和小组项目，并且包含大量的例子和习题
■原书光盘包含相关软件、附加的建模情景和实际课题，以及以往美国大学生数学建模竞赛的题目，以上内容请登录华章网站下载。

Frank R．Giordano毕业于美国西点军校，1975年开始在西点军校教授数学课程。他曾先后担任数学科学系副主任和主任。
Maurice D．Weir是卡内基—梅隆大学硕士，1963年在惠特曼大学开始他的教学生涯，1969年成为美国海军研究生院数学教授，从1995年起担任教学副院长。他的研究和教学兴趣包括战斗系统建模和模拟、数学教育、数学建模以及微分方程等。
William P. Fox自1998年在弗朗西斯·马里恩大学数学系任教，在此之前他曾在西点军校数学科学系工作长达12年。

译者序
前言
第1章 对变化进行建模
例1 测试比例性
1．1 用差分方程对变化进行建模
例1 储蓄存单
例2 抵押贷款买房
1．2 用差分方程近似描述变化
例1 酵母培养物的增长
例2 再论酵母培养物的增长
例3 接触性传染病的传播
例4 血流中地高辛的衰减
例5 冷冻物体的加热
1．3 动力系统的解法
例1 再论储蓄存单
例2 污水处理
例3 地高辛处方
例4 投资年金
例5 活期储蓄账户
例6 再论投资年金

　　 数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经渗透到各种领域，可以毫不夸张地说，数学和数学建模无处不在．甚至报刊中也越来越多地出现数学建模、建模和数学模型这样的术语(包括它们的英文名称Mathematical Modeling、Modeling和Mathematical Model)，它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的术语．
　　 纵观历史，任何成功的技术必定会进入到培养人才的教育领域，高等教育更应该与时俱进，及时反映社会发展的需要.近年来符号和模型的作用已经成为数学教育所关注的中心议题，世界各国越来越多的大学(甚至中学)开设了数学建模的必修或选修课．数学教育界的一些有识之士认为，应该尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法，而且正在努力身体力行．实际上，这样做不仅有利于培养学生解决实际问题的能力和创新精神，而且会使学生对数学有更深的理解，从而增强他们学好数学的积极性和主动性，其结果必然是大大增强他们面对21世纪严峻挑战的竞争力．
　　 在我国，从上世纪80年代初开始就有一些大学开设数学建模课程．上世纪90年代初开始举办的全国大学生数学建模竞赛更是取得了极大的成果，并推动了我国的数学教育改革．我国数学教育界越来越多的人士也在研究如何尽早地让学生接触到数学建模的思想和方法．在教育部的领导下，由全国大学生数学建模竞赛组委会组织和实施的研究课题"将数学建模思想和方法融人大学数学主干课程教学中的研究与试验"正是这种努力的一部分．
　　 然而，要确有成效地实现尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法，必须真正做到"以学生为中心、教师是关键、领导是保证"．就教师是关键而言，如果没有教师自身和集体的钻研和实践，以及结合学生实际情况的因材施教，也不可能完成上述任务．
　　 我们翻译的这本书反映了美国几位教授、专家在传播数学建模的思想和方法方面所做的努力．该书的作者Frank R．Giordano教授曾任西点军校(美国军事学院United States Military Academy)数学系系主任，多年来一直是美国大学生数学建模竞赛(MCM)的主要组织者，他是美国大学生数学建模竞赛组委会的主任，另一位作者William P．Fox教授是美国中学生数学建模竞赛(HiMCM，即由COMAP于1999年开始组织的美国中学生数学知识应用竞赛)组委会的主任．三位作者在数学建模和微积分的教学方面富有经验并有多部受到欢迎的著作．
　　 本书可以作为我国从事数学建模教学的教师学习和钻研的素材．由于本书对于用到的数学 知识力求深入浅出，涉及的应用领域又相当广，因此也适合作为高职高专院校数学教师的教学参考书和学生的课外读物．
　　 本书由以下几位教授共同翻译．前言、第1、2章由叶其孝翻译，第3、4章由孙山泽翻译，第5、6章和附录A、B由姜启源翻译，第7、12章和附录C由谢金星翻译，第8、9章由王强翻译，第10、11章由唐云翻译．叶其孝教授通校了全部译文．
　　 感谢机械工业出版社华章分社在引进本书以及编辑、出版过程中所做的努力．
　　 译 者
　　 2004年5月于北京
　　

　　 为及早向学生传授建模的知识，本教材的第1版是为了在讲授商业或工程微积分基础课程的同时或紧随其后开设数学建模课而构思设计的．在第2版中，我们加进了讨论离散动力系统、线性规划和数值搜索法以及概率建模等内容．此外，我们扩写了有关模拟的引论这一节．在本版(第3版)中，我们把某些动力系统的求解方法列入本书以揭示解的长期行为．我们在利用微分方程进行建模这一章中加进了基本的数值解法．本教材重新组织为两大部分：第一部分，离散建模(1～8章)，以及第二部分，连续建模(9～12章)．这种组织结构可以在不要求用微积分的第一部分的基础上教授完整的建模课程．第二部分处理基于最优化和微分方程的连续建模，可以和大学一年级的微积分课程同时讲授．本教材给予学生涉及建模过程中所有阶段的机会．所附的新制作的光盘包括了软件、额外的建模情景和实际课题，以及和美国大学生数学建模竞赛(MCM，Mathematical Contest in Modeling)过去赛题的链接．我们要感谢数学及其应用联合会(COMAP，Consortium for Mathematics and its Applications)的Sol Garfunkel和职员为制作光盘所做的工作以及对本前言后面标题为"资料的来源"一节中提及的建模活动的支持．
　　 目标和定位，
　　 本课程一直是学习数学和数学在各领域中的应用之间的桥梁．本课程向学生提供了在学习数学的早期就了解应用问题的各部分是怎样捏合在一起的机会．学生将研究选自数学科学、运筹学、工程、管理和生命科学等许多学术领域中常见的有意义和实际的问题．
　　 本教材介绍完整的建模过程．学生有机会实践建模的以下各个方面并能增强解决问题的能力：
　　 1．创造性和经验模型的构建：给定一种现实情景，学生要学习识别问题、做出假设和收集数据、提出模型、测试假设、必要时精炼模型，在情况适宜时看看模型和数据是否一致，以及分析模型的基本数学结构以评价当并不精确地满足假设时对结论的敏感性．
　　 2．模型分析：给定一个模型，学生要学会反向推理以揭示那些不一定是显式表示的基本假设，审慎严谨地评估这些假设和手头要处理的情景相符合的程度，并估计当并不精确地满足假设时对结论的敏感性。
　　 3．模型研究：研究一个特定的领域以获得对某些行为更深入的理解并学会使用早已创建或公诸于世的模型．
　　 对学生基础知识的要求和课程内容
　　 因为我们的愿望是尽可能早地在课程中向学生传授建模的经验，所以仅在第9、10和11章需要学生对一元微积分有基本了解。尽管在建模过程的组成部分中也要教某些不熟悉的数学概念和思想，但重点是应用中学毕业生早已了解的数学知识，第一部分尤其如此．建模课程将激励学生去学习诸如线性代数、微分方程、最优化和线性规划、数值分析、概率论和统计那样的更高级的课程．这些课程的作用贯穿全书都作了提示．
　　 此外，本教材中的情景和习题不是作为特定的数学方法的应用而设计的．这些情景和习题要求学生具有创造性智慧，能运用基本概念去求得没有确定答案的问题的合理解决方案．本教材没有详细讲解某些数学方法(例如，蒙特卡罗模拟、曲线拟合和量纲分析)，因为它们常常不是大学教材的正式内容．教师应该发现本教材在通过习题和实际课题来满足学生的特殊需要方面有很大的灵活性．我们用本书既教过本科生的课程也教过研究生的课程，甚至用作教师讨论班的基本内容．
　　 本教材的内容组织
　　 借助于图1能最好地了解本教材的内容组织．前八章组成第一部分，只要求预微积分
　　(precalculus)课程的数学知识作为必须的预备知识．我们从应用简单的有限差分方程对变化进行建模的思想开始．对学生来说，这种方法是相当直观的，而且为我们提供了若干模型来继续支持第2章对建模过程的讨论．我们在第2章中对模型进行分类、分析建模过程以及构建在后两章中要再讨论的若干比例模型或子模型．第3章向学生讲述用特殊类型的曲线去拟合所收集数据集的三个准则．第4章讲述怎样抓住所收集数据集的趋势的问题．在这种经验模型的构建过程中，我们从用简单的单项模型去近似地拟合所收集数据集开始，并逐渐地过渡到更为复杂的插值模型，包括多项式光滑模型和三次样条模型．第5章讨论了模拟模型．用一个经验模型来拟合某些收集到的数据，然后用Monte Carlo(蒙特卡罗)模拟来复制正在考察的行为．这种表述方式最终促进了对概率和统计的学习．
　　 第6章提供了概率建模的一个引论．在前讲过的情景和分析的基础上介绍了Markov(马尔科夫)过程、可靠性以及线性回归等论题．第7章利用第3章提出的另外两个准则讲述了寻求最优拟合模型的问题．线性规划是用准则之一来寻求"最优"模型的方法，对于另一个准则可以用数值搜索方法．本章以介绍包括二分法和黄金分割法在内的数值搜索方法来结束．第一部分的最后一章，第8章，专讲在物理科学和工程中的重要论题--量纲分析．
　　 第二部分用来学习连续模型．第9章讨论连续图形模型的构建以及探究所构建的模型对作为这些模型基础的假设的敏感性．在第10和11章中我们对动态的(随时间变化的)情景进行建模．这两章是建立在第1章讲述的离散分析的基础上的，但现在考虑的是时间连续变化的情景．第12章专讲连续优化．学生有机会来求解只用到初等微积分的连续优化问题，本章还介绍了约束优化问题．
　　 学生实践课题
　　 学生实践课题是任何建模课程必不可少的组成部分．本教材包括了创造性和经验的模型构建、模型分析和模型研究方面的实践课题． 因此我们建议将包括建模所有三个方面的实际课题组合构成一门课程．如果课题提出的情景没有唯一解，那么这些课题就是最有启发性的．某些课题用到真实的数据，这些数据或者是提供给学生的，或者是学生不难收集到的．把个人和小组的实践课题结合起来也是很重要的．在教师希望开发学生个人建模技巧的课程的那些部分，采用个人实践课题是合适的．在课程的较早阶段，采用小组课题，将会提高学生为解决难题而举行"自由讨论会"的积极性．本教材推荐了多种多样的实践课题，诸如构建各种情景的模型，完成UMAP的教学单元，或研究教材或课堂中作为例子讲述的模型等．对于每个学生来说，在整个课程中接受模型构建、模型分析和模型研究的多样性实践课题的组合并建立起信心是重要的，学生也可能会选择一个特别感兴趣的情景研制模型，或分析在另一门课程中的模型．在典型的建模课程中我们推荐5到8个短小的实践课题．
　　 就本教材涉及的情景、家庭作业习题和实践课题而言，我们发现采用精心且完整地研制过的不多几个实践课题来做，效果会更好．为了能在更大范围内选择许多应用领域中的问题，我们还提供了比可以合理指派的习题和课题更多的习题和课题．
　　 计算的作用
　　 尽管本教材的许多章不要求计算能力，但是在任何真正的建模过程中，计算起着重要的作用．我们发现在整个课程中图形计算器和计算机的结合使用是很有好处的． 在第1、5和7章中使用电子数据表格(spreadsheet)软件会很有帮助的，而且每当数据给定时，数据的显示功能是极其有用、甚至是必需的．学生会发现在转换数据、最小二乘曲线拟合、划分差分表和三次样条、编程模拟模型、线性规划和数值搜索法以及微分方程的数值解中，计算也是很有用的．本教材所附的光盘提供了某些基本的技术工具，学生可以把它们当作使用技术手段来建模的基础． 为执行第4章中讲述的方法我们提供了某些FORTRAN程序．该光盘还包括了计算机代数系统MAPLE的一个辅导教材以及在本教材中的用法．