经典几何

　　 本书包括“几何基础”和“射影几何”(即高等几何)两大部分．“几何基
　　础”部分从介绍欧几里得“几何原本”出发，了解各种几何概念的渊源、几何学发展的历程以及当时已达到的成就．“高等几何”部分的重点是对仿射几何、射影几何等几种重要的经典几何予以详尽分析，搞清它们之间的不同几何性质．
　　 读者对象：高等院校数学专业本科生、研究生．
　　

第1章 欧氏几何与非欧几何
1．1 欧几里得几何原本及非欧几何的产生
1．2 hilbert的欧氏几何的公理体系
1．3 用hilbert公理体系的观点去看欧氏几何中的一些概念和定理
1．3．1 阿基米德命题和康托尔命题
1．3．2 绝对几何学中的几个定理
1．3．3 线段的长度
1．3．4 建立笛卡儿坐标系的依据
1．3．5 合同的实现方式
1．4 hilbert公理体系的合理性，欧氏几何的实数模型
1．5 非欧几何的公理体系，非欧几何的实现模型
1．5．1 klein模型
1．5．2 poincare上半平面模型
1．6 欧氏几何中的古希腊三大难题
1．6．1 把几何问题转化为代数问题
1．6．2 几个代数概念和结论
1．6．3 结论的证明
第1章复习自测题
第1章习题
第2章 仿射几何

　　 "几何基础"和"高等几何"是高等师范院校数学(应用数学)专业的基础课．'经典几何"是对原先的"几何基础"和"高等几何"两门课程作了较大幅度的改造、删繁就简，根据现代数学发展所形成的观点，合并而成的一门新的课程．通过本课程的学习，培养学生对空间几何对象的直观想像能力和处理手段，使学生能够得到抽象思维与逻辑推理能力的初步训练，为今后深入学习现代数学的其他课程打下基础．
　　 本课程包括"几何基础"和"射影几何"(即高等几何)两大部分．
　　 "几何基础"部分从介绍欧几里得"几何原本"出发，了解各种几何概念的渊源、几何学发展的历程以及当时已达到的成就．了解非欧几何出现的历史必然性及Hilbert几何公理化体系的重要性．对几何公理体系的分析，不片面强调公理体系之间的相容性、独立性、完备性的逐一逻辑论证，而是通过几何模型使学生得以直观地理解公理体系之间的内在联系．强调Klein的用变换群观点来理解和指导几何学的研究(即所谓的Klein的Erlangen纲领)．
　　 "高等几何"部分的重点是对仿射几何、射影几何等几种重要的经典几何所涉及的基本概念予以详尽分析，搞清它们之间的不同几何性质(包括诸如单比、交比等不变量的性质)．我们在Klein的Erlangen纲领的观点下说明射影几何的主要内容及该纲领在几何学发展中的地位．根据几何学科的发展，我们采用新的、统一的方法来处理射影几何中的一些经典定理(如帕普斯定理、帕斯卡定理等)．最后概述了现代几何学的进展以及物理学对几何学发展的影响．
　　 我们力图将抽象理论与具体应用紧密结合，既强调几何背景，注意培养学生的几何直观能力，又深入浅出介绍抽象理论，并注意论证严谨．
　　 在本教材的编写过程中，作者主要参考了傅章秀教授所著的"几何基础"和苏步青教授所著的"高等几何学五讲"两书，受益匪浅，特此致谢．
　　 编著者
　　 2004年1月31日
　　

　　 自20世纪90年代后期开始，我国的高等教育改革步伐日益加快．在实行5天工作制，教学总时数减少，而新的专业课程却不断出现的背景下，对传统的专业课程应该如何处置，这样一个不能回避的问题就摆在了我们的面前．而这时，教育部师范司启动了面向21世纪教学改革计划．在我们进行"数学专业培养方案"项目的研究过程中，这个问题有两种方案可以选择：一是简单化的做法，或者削减必修课的数量，将一些传统的数学课程从必修课的名单中去掉，变为选修课，或者少讲内容减少课时；二是对每门课程的教学内容进行优化、整合，建立一些理论平台，减少一些繁琐的论证和计算，以达到削减课时，同时又能保证基本教学内容的目的．我们选择了第二种方案．
　　 当我们真正进入实质性操作时，才感到这样做的困难并不少．首先，是教师对数学的认识需要改变．理论"平台"该不该建?在人们的印象中，似乎数学课程中不应该有不加证明而承认的定理，这样做有悖于数学的"严密性"．其实这种"平台"早已有之，中学数学中的实数就是例子．第二个困难是哪些内容属于整合对象，优化从何处下手．我们希望每门课程的内容要精练，尽可能地反映这门课程的基本思想和方法，重视数学能力和数学意识的培养，让学生体会数学知识产生和发展的过程以及应用价值，而不去过分地追求逻辑体系的严密性．
　　 教材从1998年开始编写，历时5年，经反复试用，几易其稿．在这期间，我们又经历了一些大事．1999年高校开始大幅度扩大招生规模，学生情况的变化，提示我们教材的编写要适应教育形势的变化，迎接"大众教育"的到来．2001年，针对教育发展的新形势，高教司启动了21世纪初高等理工科教育教学改革项目，在项目"数学专业分层次教学改革实践"的研究过程中，我们对"大众教育"阶段的学生状况有了更具体、更直接的了解．在经历大规模扩招后，在校学生的差距不断增大，我们应该根据学生的具体情况，实行分层次、多形式的培养模式势在必行，而每个培养模式应该有各自不同的教学和学习要求．此外，教材的内容还应该为教师提供多一些的选择，给学生有自我学习的空间，要反映学科的新进展和新应用，使所有学生都能学到课程的基本内容和思想方法，使部分优秀学生有进一步提高的空间．这个指导思想贯穿了本套教材的最后修改稿．
　　 在建立"理论平台"与打好数学基础之间如何进行平衡，也是本套教材编写中重点考虑的问题．其实任何基础都是随着时代的进步而变化的，面对科学技术的进步，对基础的看法也要"与时俱进"．新的知识充实进来，一部分老的知识就要被简化、整合，甚至舍弃．并且基础应该以创新为目标，并不是什么都是越深越好、越厚越好．在现实条件下，建立一些"课程平台"或"理论平台"是解决课时偏少的有效手段，也可以使数学教学的内容加快走向现代化．不然的话，100年以后，我们的数学基础大概一辈子也学不完了．
　　 本套教材的主要内容适合每周3学时，总共50学时左右的教学要求．同时，教材留有适量的选学内容，可以作为优秀学生的课外或课堂学习材料，教师可以根据学生情况决定．
　　 教材的编写和出版得益于国家理科基地的建设和教育部师范司、高教司教改项目的支持．我们还要对在本套教材出版过程中提供过帮助的单位和个人表示衷心的感谢．首先要感谢华东师范大学数学系的广大师生自始至终对教材编写工作的支持，感谢华东师范大学教务处领导对教材建设的关心．最后，感谢张奠宙教授作为教育部两个项目的负责人对本套教材提出的极为珍贵的意见和建议．
　　 尽管我们的教材经过了多次试用，但其中仍难免有疏漏之处，恳请广大读者批评指正．另外，如对书中内容的处理有不同看法，欢迎探讨．真诚希望大家共同努力将我国的高等教育事业推向一个新阶段．
　　 柴 俊
　　 2003年6月
　　 于华东师范大学