考研数学应试导引与进阶——微积分（上）

    书籍
    数学书籍
本书是作者根据2005年最新考试大纲，结合多年的教学经验和考研辅导经验精心编写而成。主要内容包括函数、极限与连续、导数与微分、原函数与不定积分、定积分、常微分方程等，每部分均按照“知识综述与导引”、“问题集粹”、“模拟与自测题”等内容进行编排。
本书针对的主要对象是参加研究生入学考试的理工类与经济类考生，同时可作为大学本科和专科学生的教学辅导用书。

刘坤林，清华大学数学科学系教授，清华大学考研辅导班领军人物，全国考研数学辅导资深专家。清华大学考研辅导班主讲，清华大学MPA辅导班主讲，先后七次获国家及省市部级科学技术进步奖，把握教学方向非常准确，教学用题代表性极强，屡屡命中考研真题，主编《大学数学——概念、方法与技巧》、《高等数学典型题题典——考研数学应试能力进阶》等教材，讲课特点：富有启发性，对概念的阐述生动形象，精辟准确，得到同学们的高度评价。

第1讲 预备知识与序列极限
知识综述与导引
1．1 预备知识
1．2 序列极限
问题集粹
模拟与自测题

第2讲 函数的极限与连续性
知识综述与导引
2．1 函数极限定义及等价性描述
2．2 极限的性质 复合极限定量
2．3 重要极限及等价无穷小量
2．4 函数在一点处连续的概念--微观性态
2．5 函数在闭区间上连续的概念--全局性态
问题集粹
模拟与自测题

第3讲 导数的概念与计算
知识综述与导引
3．1 导数概念

　　 全国硕士研究生入学统一考试是一种选拔性考试，不同于等级考试(如英语四级、六级考试)．命题工作人员的任务是结合对基本知识点的理解与不同知识点的交叉运用能力，在试题中设置不同深度的"陷阱"，以求把庞大的考试队伍从能力水平上区分出档次，进而实现国家选拔人才的目的．作为一名考生的任务则是：在全面准确理解知识系统的前提下，努力提高识破命题陷阱的能力，力争在考场上以居高临下的知识洞察力与良好的应试状态一举成功．
　　 学习数学需要培养悟性，应试考研数学需要一定的数学知识洞察力，就像一个习练气功的学员，需要一个师父带他进人状态，学会套路．所谓悟性或洞察力，是指对数学基本概念的深入理解与准确把握，而这种理解与把握，首先要求对基本概念与基本知识点的理解要做到把握其准确性与完整性，进一步才是掌握知识的系统性、交叉性与灵活性．没有对基本概念与基本知识点理解的准确性与完整性，就谈不上掌握知识的系统性与交叉灵活运用的能力，当然更谈不上解题的思路与技巧．
　　 本套《全国硕士研究生入学统一考试应试导引与进阶丛书》(以下简称《导引与进阶丛书》)的宗旨是："为考生面对考试造就一种居高临下的知识洞察力和感觉良好的临场状态．"这也就是清华大学考研辅导班一直遵循的教学宗旨．
　　 我们一贯强调，首先注重知识的基础性、系统性与完整性．在考试中，完全基础性题目一般占60分以上(满分150分)，并且，基本知识点在综合题目中也占有重要的分量，基础性知识点的失误往往导致对一个综合题目的切人点错误，最后造成的是全局性错误．以一种加权的估计来分析，基本知识点在全部试卷中所占的比重可高达120分，以数学为例，微积分中的所谓基本知识点包括初等函数的初等性质，极限存在的命题形式及命题属性(充分的?必要的?还是充要的?)，极限的保序性及运算法则，函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质，构造导数定义的标准极限模式及其变形，一阶线性微分方程解的公式，常系数线性微分方程解的结构，多元函数的极限、连续与可微性的定义及其相互关系，各类积分的背景与性质等．线性代数中的基本知识点包括：行列式、逆矩阵与伴随矩阵的计算及它们之间的相互关系，齐次与非齐次线性微分方程解的结构，矩阵的初等变换与秩的概念，向量组的线性相关与无关，向量组的秩与线性方程组解的结构之间的关系，特征值与特征向量的概念，线性变换、正交变换及二次型的标准化等．概率统计中的基本知识点包括：随机事件的运算，五个古典概率的基本公式，独立性的概念，分布率，分布密度与分布函数的性质及其相互之间关系．复合随机函数的概念，数字特征的定义、背景与基本运算公式，简单随机样本及其数字特征等．
　　 在考试中，考生出现的大量错误是由于对基本概念与知识点理解的不准确或不完整，甚至是对基本知识点理解的扭曲所造成的.
　　 例如，许多学生都会背出一个结论：一个函数的导数大于零时，该函数单调增加，而函数的导数小于零时，该函数单调减少．但他们却忘记或忽略了这一结论描述的是一个函数的全局性质，即该结论的前提是在一个区间上考虑问题．事实上只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性．由函数在一点的导数值正负号只能决定函数的局部性质：函数在该点的值与该点两侧近旁某邻域内的函数值有大小的比较关系结论，即下述性质(可用导数定义与极限的保序性进行证明)：
　　 "设函数f(x)连续，且f'(0)](0)，则存在]0，使得对任意的x (0，)，有f(x)]f(0)，对任意的x (-，0)，有f(x)[f(0)．"
　　 再比如，极限运算法则是所有学过微积分的人所熟悉的内容．考虑命题：
　　 "若在某一趋向下，两个函数都有极限，则这两个函数的和与差都有极限"，
　　 这一命题的属性是：前者是后者的充分条件，当前者不成立时，后者结论不一定没有．在考试中，大量考生在极限运算法则这个频繁考点上犯错误．原因就是他们对这类基本概念与基础知识点的理解不准确或不完整，甚至是对基本知识点的理解有所扭曲．
　　 《导引与进阶丛书》以最简洁的篇幅梳理数学三个学科中的若干基本知识点，以及不同知识点之间的内在联系，配合适量典型的基本题型与知识交叉运用题型，引导读者与考生高效率做到对基本概念与基础知识点理解的准确性、完整性，并逐渐过渡到掌握知识的系统性与交叉运用能力的训练．对基本题目涉及的方法与技巧多做总结与分析，对综合题目中知识点交叉的模式要有具体的了解与熟悉，直到具有敏感性．这样的训练会使你遇到个别难题时容易找到切人点与思路．
　　 本套教材每个章节均按如下格式进行编排：
　　 知识综述与导引 依据国家考研大纲中要求的重点，对知识模块给予简短综述，突出重点，详解难点，指出读者与考生容易忽略的薄弱环节与存在的弱点，必要时给出识破命题陷阱的重要提示．
　　 问题集粹 以学生提问的方式，由编者设计覆盖基本知识点与概念交叉运用能力的若干问题，配以解答与导引，同时针对此类问题，配合若干典型例题，力图使读者牢固掌握对相应知识点与相关题型的处理能力．
　　 模拟与自测题 每一章后，以典型练习题方式留给读者用以训练发挥的空间，强调教学双向互动过程．在书后给出答案与提示．(做题时请不要先看答案与提示)
　　 书中所有例题与练习题，都是经过编者精心研究与讨论，进而设计与编排所成．这一工作是基于作者在清华大学与清华大学考研辅导班的多年教学经验积累，以及对国家考试要求与试题类型深入研究的结果，具有重要的典型性与代表性．对于这些例题与练习题，读者可视自身情况选读或选做，但应注意两点：一是立足于独立思考与亲自动手练习，二是应将每一个题目作为一类问题，以达到触类旁通，以一当十，以不变应万变的目的，相信你自己会造就出属于你自己的居高临下的知识洞察力，在考场上去面对你并不陌生的试卷．
　　 "天行健，君子应自强不息；地行坤，君子以厚德载物"(出自《易经》--中国十三经之一)．国学大师梁启超先生于1925年从中摘出"自强不息，厚德载物"八个字作为清华大学校训，一直延续至今．"自强不息"，无需再释．"厚德载物"乃以丰厚道德追求业务精益求精．多年来，清华大学的教师以此作为他(她)们对待工作的行为准则，尤其是对待学生.
　　 参与本书编写的老师，均为清华大学在职教师，他(她)们是一个教学与研究成绩卓著的教授群体，长期担任清华大学考研辅导班主讲，突出特点是具有双向了解：最了解国家考试大纲与命题走向，最了解考生的状况与需求，有许多教材与专著出版，广大考生给了他(她)们很高的评价．同时，他(她)们也愿做广大考生和学生的良师益友．基于长期丰富的教学研究与授课经验的积累，通过对全国硕士研究生入学考试大纲与辅导教学进行长期专门的深入研究，倾心编写出这套《导引与进阶丛书》，真诚希望这套教材能为广大考生考试成功奉献一份智慧，为在读大学生的学习提供一份帮助．
　　 《导引与进阶丛书》的读者包括参加全国硕士研究生入学统一考试的考生，包括数学试卷一、二、三、四全体应试者以及大学本科在读学生，也可作为成人自考学员的参考书．
　　 应特别指出的是，不少人认为，经济类考生只学经济类高等数学就够了．其实这是误导．试卷三、四的历年题目表明，除个别题目有一点经济术语之外，绝大部分题目的题型与难度都与试卷一、二相当，与试卷一、二共用部分题目，也是历年常有之事．那些少量含有经济术语的题目不会成为答卷障碍，少量涉及一些经济术语的题目，如最大利润、最小成本等，不过是一般理工科数学教学中的普通例题而已，一个考生如果有较好的理工科数学基础，应答试卷三、四，将不会遇到任何困难．