第1章 引论
我们从描述基本概念、基本问题以及求解的基本路线这样入门的一章开始. 一个偏微分方程是以形如
F(x,y,,u,ux,uy,,uxx,uxy,)=0(1)
?????????
的关系式给出的.这里,F是变量x,y,,u,ux,uy,,uxx,uxy,的函数;要寻
?????????
求的是自变量x,y,的那样的函数u(x,y,),当把u(x,y,)和它的偏导数
?????????
.u .u
ux=,uy=,,
. .x .y ??? .2u.2u
uxx=.x2 ,uxy=.x.y , ??? ,
??????????????????????????????
代入F时,能使得方程(1)对于这些自变量恒成立.
这种函数u(x,y,)叫做偏. 微. 分. 方. 程. (1) 的. 解.. 不仅要注意单. 个. 的.“特. 殊. ”解., 而
???
且要研究解. 的. 总. 体.,特别是要突出对(1)再增加若干条件时的个. 别. 解..当自变量的个数为一时,偏微分方程(1)就变成常微分方程.在微分方程中出现的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶..
经常把自变量x,y,限制在x,y,空间的一个特定域内;同样,也只在
??????
x,y,,u,ux,uy,空间的被限定的一部分内来考虑F.这种限制表明,只考虑在
??????
x,y,空间的基本域上满足对F的相应变元所设的条件的那些函数u(x,y,).
??????
由. 此. 规. 定., 今. 后. 的. 一. 切. 考. 虑. 都. 是. 对. 选. 取. 得. 足. 够. 小. 的. 区. 域. 而. 言. 的.. 同. 样., 除. 非. 有相. 反. 的. 声. 明., 总. 假. 定. 一. 切. 遇. 到. 的. 函. 数. 都. 是. 连. 续. 的. 并. 具. 有. 所. 遇. 到. 的. 各. 阶. 连. 续. 导. 数. ①..
如果F对于变量u,ux,uy,,uxx,uxy,是线性的且系数只依赖于自变量
??????
x,y,的话,微分方程就叫做线. 性. 的..如果F对于最高阶(n阶)导数是线性的,
???
而系数依赖于x,y,并可能依赖于u以及u的1到n. 1阶导数的话,那么微分
???
方程就叫做拟. 线. 性. 的..主要是讨论线性的或拟线性的微分方程,对于更一般的微分方程,通常都是把它们化为这种类型的方程再作讨论.
在只有两个自变量x,y的情形下,可以把微分方程(1)的解u(x,y)想象为一
张几何曲面――x,y,u空间中的一张“积分曲面”.
①在求解方程组时,我们也总是考虑一个点的邻域,在这个点处相应的Jacobi式不为零.
1.1 关于各种解的一般知识
1.1.1 例
对于一个n阶常微分方程来说,它的解的总体(除可能的“奇异”解外)是自变量x的函数,它还依赖于n个任意的积分常数c1,c2,,cn.反之,对于每一含n个参数的函数族???
u=φ(x;c1,c2,,cn),
???
有一个以u=φ为解的n阶常微分方程,这微分方程可由方程u=φ(x;c1,c2,,cn)和n个方程u. = φ.(x;c1,c2, ,cn), ???
???????????????????????????
u(n)= φ(n)(x;c1,c2,,cn)
???
消去参数c1,c2,,cn而得到.
???
对于偏微分方程来说,情形要复杂得多.这里也可以寻求解的总体或“一.般. 解. ”;也就是可以寻求这样的解,当某些“任意的”元素被固定后,它就表示每个个别的解(仍旧要把某些“奇异”解除外).在偏微分方程的情况中,这种任意元素不能再以积分常数的形式出现,而必定含有任意函数;一般说来,这些任意函数的个数等于微分方程的阶数.这些任意函数所依赖的自变量比解u少一个.这种状况的更确切的叙述包含于1.7的存在定理之中.在本节中,只通过探讨几个例子来罗列一些知识.
1)函数u(x,y)的微分方程uy=0
表明u不依赖于y,因此u=w(x),
这里w(x)是x的任意函数.2)对于方程uxy=0,
可立即得到一般解
u=w(x)+v(y).
3)同样,非齐次微分方程uxy=f(x,y)
??
的解是
. x . y
u(x,y)=f(ξ,η)dξdη+w(x)+v(y),
x0 y0
其中w和v是任意函数,x0和y0是常数.
一般说来,
可以用二重积分来代替这个积分,只要取,如图1-1所示的“三角形”作为积分域.这域的曲边是曲线C:y=g(x)或x=h(y),它与直线x=常数,或y=常数中的任一条相交不超过一次.这样一来,就有图1-1
u(x,y)=f(ξ,η)dξdη+w(x)+v(y),
. y . x (1)ux=f(x,η)dη+w.(x),uy=f(ξ,y)dξ+v.(y).
g(x)h(y)
当w(x)=v(y)=0时微分方程的特解对曲线C上所有点(x,y)满足条件u=ux=uy=0.4)偏微分方程ux=uy,
经变量代换
x + y = ξ, x . y=η,u(x,y)=ω(ξ,η)
变为方程
2ωη=0.这个变换后的方程的“通解”为ω=w(ξ),所以u=w(x+y).同样,如果α和β是常数,那么微分方程αux+βuy=0
的通解就是
u=w(βx. αy).5)根据微分学的基本定理,当g(x,y)是x,y的任意已给函数时,偏微分方程uxgy. uygx=0.(u,g)
表示u,g关于x,y的Jacobi式.(x,y)等于零.这就意味着u依赖于g,即
u=w[g(x,y)],(2)其中w是量g的任意函数.反之,由于每个形如(2)的函数u都满足微分方程uxgy. uygx=0,所以取w为任意函数就得到解的总体.值得注意的是,对于更一般的――拟线性的微分方程uxgy(x,y,u). uygx(x,y,u)=0有同样的结果,这里g不仅明显地依赖于x,y,而且也依赖于未知函数u(x,y).因为任何解u(x,y)及γ(x,y)=g[x,y,u(x,y)]的Jacobi式为零,这是由于uxγy. uyγx=uxgy. uygx+uxguuy. uyguux=0的缘故.所以,在此情形下,方程的解由关系式u(x,y)=W[g(x,y,u)](3)给出,这是用任意函数W规定的u的隐函数.例如,微分方程α(u)ux . β(u)uy =0
的解是用
u=W[α(u)y+β(u)x](4)(或用α(u)y+β(u)x=w(u))规定的隐函数,所以u以更隐晦的方式依赖于任意函数W(在1.7.1中将给出一个应用).方程
uy+uux=0是微分方程α(u)ux. β(u)uy=0的一种特殊情形;隐函数
u = W (.x + uy)
给出它的解,其中W是任意函数.如果把u=u(x(y),y)解释成在点x=x(y)处的质点随时间y运动的速度,那么上述微分方程就说明一切质点的加速度都等于零.6)二阶偏微分方程uxx. uyy=0
经过作变换
x + y = ξ, x . y=η,u(x,y)=ω(ξ,η)后,变为4ωξη=0.
??
因此,根据例2),它的解是u(x,y)=w(x+y)+v(x. y).7)仿此可知,微分方程1 uxx. t2 uyy=0对于参数t的任何值有通解u=w(x+ty)+v(x. ty).特别是,函数u=(x+ty)n
和
u =(x . ty)n 都是解; 也就是
2
tuxx. uyy对于一切x,y以及一切实的t都等于零.
8)根据初等代数,如果一个t的多项式对于一切实的t都为零,那么它对于一切复的t值也为零.因此,如果作代换t=i=√.1,则7)中的微分方程变为势. 方. 程.Δu ≡ uxx + uyy =0.
对于这个方程, 我们得到形如
(x+iy)n =Pn(x,y)+iQn(x,y),
(x . iy)n =Pn(x,y). iQn(x,y)的解,这里Pn及Qn是具有实系数的多项式,它们本身必定都满足位势方程① , 令
n取遍0,1,2,等数,就得到势方程的无穷多个解,但与前面的例子相比所不同
???
的是,到此为止只有可数个解.使用由x=rcosθ,y=rsinθ规定的极坐标r,θ则得Pn(x,y)=rn cosnθ,Qn(x,y)=rn sinnθ.(5)对于任何实的α,函数Pα(x,y)=rα cosαθ,Qα(x,y)=rα sin αθ
①这些解说明一个复变量x+iy的解析函数的实部与虚部都满足势方程,即它们是“调和”函数.
在x,y平面的除去原点x=y=0的任何域上,也都满足势方程.在把Δu变换为极坐标(参考卷I)：
ur 1
Δu=urr++uθθ
rr2 之后立即就可以验证这一点.如果选取两个函数w(α)及v(α)使得积分
. b w(α)rα cosαθdα和. b v(α)rα sinαθdα
aa
的一阶及二阶导数能够在积分号下微分而得到,那么就能造出依赖于两个任意函数w和v的解族,它的形式是
. b
r α(w(α)cosαθ+v(α)sinαθ)dα.
a
9) 作为高阶微分方程的例子, 考虑
uxxyy=0,
它的通解是
u(x,y)=w(y)+xw1(y)+v(x)+yv1(x).
10)如果自变量的个数大于2,那么在通解中就会出现依赖于两个或更多个变量的任意函数.例如,关于u(x,y,z)的微分方程
uz =0
的通解是
u=w(x,y).
1.1.2 已给函数族的微分方程
在1.1.1中说过,能够造出为一个已给的依赖于几个任意参数的函数族所满足的常微分方程.现在提出如下的问题：能否造出一个含n个自变量的偏微分方程,为一个依赖于任意函数(n. 1 个自变量的函数) 的函数族所满足呢？
作为例子,考虑形如u=f[x,y,w(g(x,y))](6)
的函数集合,其中f是变元x,y,w的已知函数,g(x,y)是x,y的已知函数,例如g=xy.要想得到一个关于这个函数集的偏微分方程,将方程(6)对x和y微分：
ux=fx+fww.gx,
