矩阵计算六讲
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矩阵计算是科学与工程计算的基石。本书较系统地介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。
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《矩阵计算六讲》较系统地介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。全书共分6 讲，内容包括：标准schur 分解、广义schur 分解和周期schur 分解的计算，特征值的排序问题，多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问题的krylov 子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。
《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。
《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。
《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。
《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。
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《矩阵计算六讲》
前言
第一讲schur 分解的计算1
1.1 标准schur 分解的计算 1
1.1.1 householder 变换和givens 变换 1
1.1.2 schur 分解定理 5
1.1.3 实schur 分解 7
1.1.4 qr 方法 8
1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题 26
1.2 广义schur 分解的计算 28
1.2.1 广义schur 分解定理 28
1.2.2 广义实schur 分解 29
1.2.3 qz 方法 31
1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题 40
1.3 周期schur 分解的计算 42
1.3.1 周期schur 分解定理 42
1.3.2 周期实schur 分解 44
1.3.3 周期qz 方法 46
1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题 58
习题 61
前言
第一讲schur 分解的计算1
1.1 标准schur 分解的计算 1
1.1.1 householder 变换和givens 变换 1
1.1.2 schur 分解定理 5
1.1.3 实schur 分解 7
1.1.4 qr 方法 8
1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题 26
1.2 广义schur 分解的计算 28
1.2.1 广义schur 分解定理 28
1.2.2 广义实schur 分解 29
1.2.3 qz 方法 31
1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题 40
1.3 周期schur 分解的计算 42
1.3.1 周期schur 分解定理 42
1.3.2 周期实schur 分解 44
1.3.3 周期qz 方法 46
1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题 58
习题 61
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矩阵计算是科学与工程计算的基石, 有关的方法和理论已经十分丰富, 许多大师级人物的专著不断问世: 早在20 世纪60 年代就有Wilkinson 的The Algebraic Eigenvalue Problem; 70 年代有Stewart 的Introduction to Matrix Computation; 80年代有Golub 和Van Loan 的Matrix Computations; 90 年代有Demmel 的Applied Numerical Linear Algebra; 进入本世纪又有Stewart 的Matrix Algorithms.
既然已经有了如此多大师级人物的专著, 为什么我们还要撰写这本教科书呢? 其原因有二: 一是这些大型的专著一般并不适合作为教科书来使用; 二是近年来又有不少新的方法和新的理论出现, 而这些方法和理论对矩阵计算的发展和应用又是十分重要的. 因此, 我们写作本书的一个主要目的就是为与计算数学有关专业的研究生和高年级本科生提供一本比较合适的教学参考书, 希望通过本书的学习, 使学生既能学到矩阵计算这门学科的典型方法和理论, 又能了解这一领域的最新进展. 此外,我们的另一个目标是, 通过系统地阐述和展示这一领域的一些新方法的基本思路和具体实现的技巧与方法, 能够为有志从事科学与工程计算的科技工作者提供一些值得学习和借鉴的方法和理论.
全书共有六讲. 第一讲着重介绍著名的QR 方法. QR 方法是上个世纪计算数学的重大成就之一, 是用于计算一个矩阵之Schur 分解的. 这一讲可以看作是本书的基础, 特别是QR 方法是本书的基石, 在后续的几讲里经常用到它. 作为QR 方法的应用与推广, 我们还简要地介绍了计算广义Schur 分解的QZ 方法和计算周期Schur 分解的周期QZ 方法. 周期QZ 方法是20 世纪90 年代才发展起来的, 是研究周期系统的重要工具. 此外, 我们也讨论了各类Schur 标准形中对角块的重排问题.第二讲致力于多项式之根的快速求法. 多项式的求根问题是一个古老而又在实际应用中经常遇到的数学问题, 有关的研究已经相当深入, 而且已经有不少行之有效的数值方法. 在著名的软件包MATLAB 之中, 就有一个专门用于求多项式根的函数roots. 该函数所采用的算法就是将著名的QR 方法用到由多项式的系数所构成的友矩阵上而得到的. 由于这一方法并没有充分利用友矩阵所具有的特殊结构, 因此用其求一个n 次多项式的根所需的运算量为O(n3). 直到最近这方面的研究才有了突破性的进展, 人们终于找到了一种如何充分利用友矩阵之特殊结构的方法, 使QR 方法的代价从O(n3) 降到了O(n2). 本书将要介绍的快速QR 方法是去年才发表的最新方法.
由于矩阵的奇异值分解的应用十分广泛, 因此如何更好、更快地求出给定矩阵之奇异值分解的问题就成为科学与工程计算领域中研究的一个热门课题, 吸引了众多的有关专家致力于这方面的研究, 涌现出了各种各样奇妙的方法. 早在20 世纪60年代就有Golub 和Kahan 的工作, 巧妙地将对称QR 方法应用到了奇异值分解的计算上, 开发出了所谓的Golub-Kahan SVD 算法; 之后, 又有Ming Gu 和Eisenstat 的工作, 改进和完善了分而治之法, 使其大大地优于Golub-Kahan SVD 算法; 最近, 又有Drma·c 和Veselic 的工作, 将古老的Jacobi 方法返老还童变成了一个速度快、计算精度高的实用方法, 该方法获得了“2009 SIAM Activity Group on Linear AlgebraPrize”. 本书第三讲中我们将系统地介绍这些算法的设计思想和具体实现的方法与技巧.
由于目前计算机存储空间和运算速度的限制, QR 方法以及由其导出的各类方法只适用于小型矩阵特征值和特征向量的计算, 并不适用于求解大型矩阵的特征值问题. 对于大型稀疏矩阵的特征值问题, 目前较为有效和实用的一种求解方法就是Krylov 子空间方法. 特别是近几年, 随着重新启动技术的不断完善, 使得这类方法的效率越来越高, 适用范围越来越广. 因此, 本书的第四讲我们将介绍与Krylov 子空间方法有关的一些基本概念和重要理论, 并且详细地阐述目前这方面较为成熟的重启Arnoldi 方法和重启Lanczos 方法.
第五讲是第四讲的继续, 我们将着重介绍求解大型稀疏线性方程组的Krylov 子空间方法, 内容包括: 共轭梯度法、极小剩余法、广义极小剩余法、拟极小剩余法和正交投影类方法.
众所周知, 目前共轭梯度法已经成为求解对称正定线性方程组和非线性优化问题的最常用方法之一. 然而随着Krylov 子空间方法的兴起, 这几十年里用共轭梯度法来求解特征值问题的思想和方法已经几乎被大家遗忘了. 最近, 随着需要求解的特征值问题的规模的快速增长, 共轭梯度法因其所需存储量极少的缘故而又重新引起了大家的关注, 并且有关的方法和理论又有了新的进展. 本书第六讲我们将介绍用共轭梯度法来求解特征值问题的一些有关的基本概念和主要方法, 并且详细地阐述最近发展起来的梯度型子空间迭代法及其漂亮的收敛性理论.
本书在选材上，在注重基础性和实用性的前提下, 重点放在了反映该学科的最新进展上; 在内容的处理上, 在介绍方法的同时, 尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据, 并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明; 在叙述表达上, 力求清晰易读, 便于教学与自学. 此外, 书中每讲都安排了几道难易程度不同的习题,目的是为学生提供一些练习和实践的素材, 以便学生复习、巩固和拓广从课堂所学的知识.学习本书的先行课程是线性代数、数学分析和初等数值代数. 本书各讲相对独立, 读者可以选择其中任何一讲来阅读, 不会受其他部分内容的影响. 本书第一作者曾经用该书的原稿给北京大学计算数学专业的研究生和高年级本科生讲授过两次.
根据我们的教学实践, 如果不讲第一讲, 讲授其余五讲大约需要60 学时.
本书第一作者有幸受美国Texas 大学Arlington 分校李仁仓教授的邀请于2009年初访问他两个月, 这段时间的学习、工作以及与李仁仓教授的讨论是促成本书的主要原因. 其实, 本书中一些新方法的有关信息都是在本书第一作者与李仁仓教授的讨论过程中获得的, 大部分相关资料都是李仁仓教授帮助收集的. 因此, 借本书出版之际, 特向李仁仓教授表示衷心的感谢!
北京大学数学科学学院科学与工程计算系的研究生梁鑫和施德才曾仔细阅读了全部书稿并指正了原稿中存在的不少错误, 梁鑫还对本书的部分算法进行了数值测试, 书中的例2.2.1 和例3.4.3 就是他给出的, 高等教育出版社的赵天夫编辑为本书的出版付出了辛勤的劳动, 在此一并表示诚挚的谢意.
限于水平, 书中的不当乃至错误之处难免, 恳请读者批评指正.
作者
2011 年1 月
既然已经有了如此多大师级人物的专著, 为什么我们还要撰写这本教科书呢? 其原因有二: 一是这些大型的专著一般并不适合作为教科书来使用; 二是近年来又有不少新的方法和新的理论出现, 而这些方法和理论对矩阵计算的发展和应用又是十分重要的. 因此, 我们写作本书的一个主要目的就是为与计算数学有关专业的研究生和高年级本科生提供一本比较合适的教学参考书, 希望通过本书的学习, 使学生既能学到矩阵计算这门学科的典型方法和理论, 又能了解这一领域的最新进展. 此外,我们的另一个目标是, 通过系统地阐述和展示这一领域的一些新方法的基本思路和具体实现的技巧与方法, 能够为有志从事科学与工程计算的科技工作者提供一些值得学习和借鉴的方法和理论.
全书共有六讲. 第一讲着重介绍著名的QR 方法. QR 方法是上个世纪计算数学的重大成就之一, 是用于计算一个矩阵之Schur 分解的. 这一讲可以看作是本书的基础, 特别是QR 方法是本书的基石, 在后续的几讲里经常用到它. 作为QR 方法的应用与推广, 我们还简要地介绍了计算广义Schur 分解的QZ 方法和计算周期Schur 分解的周期QZ 方法. 周期QZ 方法是20 世纪90 年代才发展起来的, 是研究周期系统的重要工具. 此外, 我们也讨论了各类Schur 标准形中对角块的重排问题.第二讲致力于多项式之根的快速求法. 多项式的求根问题是一个古老而又在实际应用中经常遇到的数学问题, 有关的研究已经相当深入, 而且已经有不少行之有效的数值方法. 在著名的软件包MATLAB 之中, 就有一个专门用于求多项式根的函数roots. 该函数所采用的算法就是将著名的QR 方法用到由多项式的系数所构成的友矩阵上而得到的. 由于这一方法并没有充分利用友矩阵所具有的特殊结构, 因此用其求一个n 次多项式的根所需的运算量为O(n3). 直到最近这方面的研究才有了突破性的进展, 人们终于找到了一种如何充分利用友矩阵之特殊结构的方法, 使QR 方法的代价从O(n3) 降到了O(n2). 本书将要介绍的快速QR 方法是去年才发表的最新方法.
由于矩阵的奇异值分解的应用十分广泛, 因此如何更好、更快地求出给定矩阵之奇异值分解的问题就成为科学与工程计算领域中研究的一个热门课题, 吸引了众多的有关专家致力于这方面的研究, 涌现出了各种各样奇妙的方法. 早在20 世纪60年代就有Golub 和Kahan 的工作, 巧妙地将对称QR 方法应用到了奇异值分解的计算上, 开发出了所谓的Golub-Kahan SVD 算法; 之后, 又有Ming Gu 和Eisenstat 的工作, 改进和完善了分而治之法, 使其大大地优于Golub-Kahan SVD 算法; 最近, 又有Drma·c 和Veselic 的工作, 将古老的Jacobi 方法返老还童变成了一个速度快、计算精度高的实用方法, 该方法获得了“2009 SIAM Activity Group on Linear AlgebraPrize”. 本书第三讲中我们将系统地介绍这些算法的设计思想和具体实现的方法与技巧.
由于目前计算机存储空间和运算速度的限制, QR 方法以及由其导出的各类方法只适用于小型矩阵特征值和特征向量的计算, 并不适用于求解大型矩阵的特征值问题. 对于大型稀疏矩阵的特征值问题, 目前较为有效和实用的一种求解方法就是Krylov 子空间方法. 特别是近几年, 随着重新启动技术的不断完善, 使得这类方法的效率越来越高, 适用范围越来越广. 因此, 本书的第四讲我们将介绍与Krylov 子空间方法有关的一些基本概念和重要理论, 并且详细地阐述目前这方面较为成熟的重启Arnoldi 方法和重启Lanczos 方法.
第五讲是第四讲的继续, 我们将着重介绍求解大型稀疏线性方程组的Krylov 子空间方法, 内容包括: 共轭梯度法、极小剩余法、广义极小剩余法、拟极小剩余法和正交投影类方法.
众所周知, 目前共轭梯度法已经成为求解对称正定线性方程组和非线性优化问题的最常用方法之一. 然而随着Krylov 子空间方法的兴起, 这几十年里用共轭梯度法来求解特征值问题的思想和方法已经几乎被大家遗忘了. 最近, 随着需要求解的特征值问题的规模的快速增长, 共轭梯度法因其所需存储量极少的缘故而又重新引起了大家的关注, 并且有关的方法和理论又有了新的进展. 本书第六讲我们将介绍用共轭梯度法来求解特征值问题的一些有关的基本概念和主要方法, 并且详细地阐述最近发展起来的梯度型子空间迭代法及其漂亮的收敛性理论.
本书在选材上，在注重基础性和实用性的前提下, 重点放在了反映该学科的最新进展上; 在内容的处理上, 在介绍方法的同时, 尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据, 并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明; 在叙述表达上, 力求清晰易读, 便于教学与自学. 此外, 书中每讲都安排了几道难易程度不同的习题,目的是为学生提供一些练习和实践的素材, 以便学生复习、巩固和拓广从课堂所学的知识.学习本书的先行课程是线性代数、数学分析和初等数值代数. 本书各讲相对独立, 读者可以选择其中任何一讲来阅读, 不会受其他部分内容的影响. 本书第一作者曾经用该书的原稿给北京大学计算数学专业的研究生和高年级本科生讲授过两次.
根据我们的教学实践, 如果不讲第一讲, 讲授其余五讲大约需要60 学时.
本书第一作者有幸受美国Texas 大学Arlington 分校李仁仓教授的邀请于2009年初访问他两个月, 这段时间的学习、工作以及与李仁仓教授的讨论是促成本书的主要原因. 其实, 本书中一些新方法的有关信息都是在本书第一作者与李仁仓教授的讨论过程中获得的, 大部分相关资料都是李仁仓教授帮助收集的. 因此, 借本书出版之际, 特向李仁仓教授表示衷心的感谢!
北京大学数学科学学院科学与工程计算系的研究生梁鑫和施德才曾仔细阅读了全部书稿并指正了原稿中存在的不少错误, 梁鑫还对本书的部分算法进行了数值测试, 书中的例2.2.1 和例3.4.3 就是他给出的, 高等教育出版社的赵天夫编辑为本书的出版付出了辛勤的劳动, 在此一并表示诚挚的谢意.
限于水平, 书中的不当乃至错误之处难免, 恳请读者批评指正.
作者
2011 年1 月
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