几何与拓扑的概念导引

　　 《几何与拓扑的概念导引》致力于对几何与拓扑的基本概念的解释及基本理论的综述，内容涉及古典几何、微分流形与李群、微分几何、拓扑学、代数曲线。
　　 《几何与拓扑的概念导引》叙述较为细致，语言较为通俗，需要的预备知识较少，特别注意从直观的几何现象人手讲解抽象的概念，尽量介绍本学科与其他学科的关系，以便照顾更多的读者群体。
　　 《几何与拓扑的概念导引》是了解近代几何与拓扑学的导引，可作为大学数学系及其他有关专业的研究生的公共课教材，也可以用作自学者的入门读物。

《几何与拓扑的概念导引》
第1章 变换群与几何学
§1.1 引言
§1.2 仿射坐标变换
§1.3 超平面
§1.4 二次超曲面
§1.5 仿射变换群
§1.6 仿射几何学大意
§1.7 等距变换群
§1.8 体积问题
§1.9 射影平面
§1.10 射影变换
§1.11 群在集合上的作用
第2章 微分流形
§2.1 引言
§2.2 rn中的映射的连续概念
§2.3 rn中的映射的微分概念
§2.4 隐函数定理
§2.5 正则超曲面
§2.6 微分流形

　　 视觉占用了大脑皮层的80％或90％。……因此spatial intuition或者spa—tial perception是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用。我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉。我们的直觉是我们最有力的武器。
　　 (M．P．阿蒂亚，2000年在南开大学的报告)
　　 几何学(正如上面阿蒂亚所指的，这里是指广义的几何学，它包括狭义的几何学与拓扑学)在20世纪基础数学中的重要地位已是公认的事实，只需列举近50年来菲尔兹奖得主的获奖工作便可得知。从这些工作中还可以看到物理学与几何学之间的更密切的关系已被人们所认识；另外，由于信息科学等学科的飞速发展，在物理学之外的许多新兴学科中也出现了对几何知识系统应用的现象。例如：在量子计算机领域中，人们使用许多拓扑学的概念和知识；在机器人理论领域中，人们需要关于李群的系统的几何与拓扑知识；在编码学和信息安全领域中，人们需要使用深刻的代数曲线理论，等等。另一方面，由于历史的原因，在几何方面我国的大学数学教育比较薄弱，这就更需要在传播几何与拓扑学知识方面做大量的基础性工作。对于一个从事实际工作的人来说，他的当务之急可能是尽快地建立起有关的基本概念，熟悉若干基本结论，然后才谈得上做出新的工作。比如在编码学中使用代数曲线时，一些深刻的定理几乎是无法绕过去的，而为了理解它们，仅靠纯代数的描述对于没有受过几何学训练的人来说这无疑是天书。我们在教学和科研工作中经常遇到这类情形，深感有必要将自己的学习心得写出来，为大家提供参考。
　　 写作的机会缘于2002年。从那一年起，我每年为我校的硕士研究生讲授名为“几何与拓扑”的公共基础课。考虑到听课的研究生来自不同的(包括非数学系的)专业，加之目前国内大学本科阶段的数学课程中几何类课程很少，所以最初在草拟教学大纲时就尽量安排基础性的材料，而且覆盖面要适当地宽，以便使各专业的选课者均能在不太长的时间内对几何与拓扑学的基本概念和基本结论有一个大致的了解，为他们今后进一步的学习打下基础。因为一时没有找到与此目标相适应的教科书，我就开始自己编写讲义，边写边讲，边讲边改，逐渐积累形成了《几何与拓扑的概念导引》的雏形。
　　 《几何与拓扑的概念导引》是为理工科(包括非数学专业)研究生介绍几何学与拓扑学的入门读物。在内容安排和叙述方式上作了如下考虑：内容的选择既注重基本概念和基本理论，又尽可能多地涉及当前应用领域所需的几何与拓扑的不同分支：在叙述方式上，尽量多用实例来解释概念和结论，在这方面使用的篇幅特别大；对于有较强的普遍性的问题，多从原始的模型讲起，以帮助读者加深印象；对于有重要意义而又不难接受的数学推理和计算，采用正规的数学方式表达，对于有重要意义而较难接受的数学推理和计算，则利用实例进行解释，但是结论(如定理、推论等)的叙述仍是严格的。
　　 我一直很欣赏那种对概念解释得很细的书，比如伍鸿熙教授等写的[33]与[34]，苏竞存教授写的[30]，以及T．Needham教授写的[19]等，这些都使人从中受到极大的教益，也让人感受到作者诲人不倦的精神。《几何与拓扑的概念导引》既然把重心放在概念的导引上，我想更应该向这个方向努力，当然不敢预言效果如何，只有请读者来评说了。
　　 《几何与拓扑的概念导引》的第1章利用变换群的语言介绍古典几何学，这一部分既是几何学发展的源头，同时也仍然是有实用价值的基础理论。第2章的目标是详细解释微分流形及相关的概念，以及围绕这些概念的最基本的结论。掌握它们是学习现代几何与拓扑学时首先要做的事。研究微分流形的基本方法是研究它上面定义的函数(映射)，其中一种是向量场，在第3章介绍；另一种是微分形式，在第4章介绍。第5章是对几何学中无法回避的一个基本概念——李群的简单介绍。第6章介绍微分几何中两个核心的概念，即联络与曲率，并借此机会介绍纤维丛方面的入门知识。拓扑学是现代几何学的一个既庞大又重要的部分，我们仅在第7章中介绍拓引；学的核心内容之一，即同调论的基础知识。按照当今的惯例，代数几何已经是与几何学、拓扑学并列的独立学科，不过，像阿蒂亚说的，代数几何“屡屡成为现代微分几何的巨大动力” (见《数学译林》第23卷，第2期)，而且在当今的数学应用中也占有重要地位，所以我们在最后一章里介绍了该学科的基本研究对象，即代数曲线的入门知识。
　　 考虑到《几何与拓扑的概念导引》是为多种专业的读者准备的，我们尽可能地减少了对预备知识的要求，只要求读者预先掌握大学理工科的微积分、线性代数及解析几何的基本内容；了解微分方程、抽象代数和复变函数的初步知识。对于有些较深而又必不可少的预备知识，我们放在正文中的适当位置介绍，以便于初学者学以致用。这里特别对第8章要多说几句话，学习代数几何有两条路径，一是代数方法，一是超越方法。在《几何与拓扑的概念导引》的前面几章中已对超越方法的基础作了较多的介绍，它对于理解代数几何的直观意义很有益处；但是就目前许多技术领域的读者来说，他们在接触代数几何(主要是代数曲线)的时候，见到的多是代数的处理方式。这样就可能发生两方面的困难，一是代数知识不足，而且在短时间内不易单独补充这些知识；二是代数的处理方式比较缺乏直观性，不易理解。鉴于上述考虑，我们对第8章的处理采用了两种方式并用的办法。
　　 全书内容大致可以分成两大部分，第一部分由前四章组成，它们是学习几何与拓扑的必备知识。正因为是必备知识，所以在许多几何教科书上都能找到。如果要问《几何与拓扑的概念导引》的这一部分有什么特别之处，我觉得可以提到的是，其中稍微多写了几笔关于微分与导数的概念的演化线索，它是我学习的体会，也许对读者理解相关的内容有用。第二部分包括后面的四章，这部分可以全读，也可以根据需要选读其中的某几章。后四章中的每一章都对应着独立的一门几何学分支，这四章只能说是这些分支的概览，所以如果读者看过之后，有兴趣去看专门的教科书，那就是对我的努力的最好奖赏了。
　　 把自己的数学功底与《几何与拓扑的概念导引》各章内容对照，我总有自不量力之感，所以书中的不当、甚至谬误之处一定难免，请专家及各位读者发现后及时指正。
　　 在《几何与拓扑的概念导引》即将出版之际，我首先要感谢我的导师——南开大学的周学光教授，他引导我走进了几何与拓扑学的宏伟殿堂，而且一直关注着我的学习与工作；也要感谢母校的林金坤和周性伟等教授，他们讲授的高质量的课程使我有了继续学习的可能。我还要感谢在学术活动中认识的许多数学家，特别是姜伯驹教授、李邦河教授、林己玄教授、虞言林教授、孙以丰教授、吴振德教授、许以超教授，他们主讲的多门精彩课程及平时的指导使我受益匪浅。最后，我要感谢南京航空航天大学研究生院和数学系对出版《几何与拓扑的概念导引》的支持，感谢高等教育出版社的李鹏先生的热情帮助。
　　 古志鸣
　　 2010年6月25日 于钟山麓