数学那些事儿:思想、发现、人物和历史(作者William Dunham是世界知名的数学史专家)

　　本书依字母a 到z 的顺序组织了一系列小短文, 从算术、伯努利试验、圆、微分学讲到xy 平面、复数, 全面覆盖了初等数学的内容, 展示了魅力无穷的数学的概貌。书中还介绍了数学史上很多有趣的故事和鲜为人知的事实, 讨论了一些神秘的事件, 并给出了很多伟大的数学家的简短的人物传记。
　　 本书兼具趣味性和学术性, 对专业背景要求不高, 是贡献给数学爱好者的一道美味佳肴。

a 算术 (arithmetic)　　　1
b 伯努利试验 (bernoulli trial)　　　　14
c 圆 (circle)　　　　28
d 微分学 (di.erential calculus)　　　42
e 欧拉 (euler)　　　　55
f 费马 (fermat)　　　　70
g 希腊几何 (greek geometry)　　　 83
h 斜边 (hypotenuse)　　　　97
i 等周问题 (isoperimetric problem)　　　　111
j 论证 (justiˉcation)　　　　122
k 牛顿爵士 (knighted newton)　　　137
l 被遗忘的莱布尼茨 (lost leibniz)　　　153
m 数学人物 (mathematical personality)　　　　169
n 自然对数 (natural logarithm)　　　179
o 起源 (origins)　　　 192
p 素数定理 (prime number theorem)　　　207
q 商 (quotient)　　　216
r 罗素悖论 (russell's paradox)　　　229
s 球面 (spherical surface)　　243
t 三等分 (trisection)　　　256

　　很多孩子都是从简单的字母书开始学习阅读。舒舒服服地坐在大 人温暖的大腿上, 随着字母表的展开, 孩子们从“A 代表 alligator (鳄 鱼)”到“Z 代表 zebra (斑马)”, 静静地聆听着。这样的书也许不是什 么伟大的文学著作, 但却是教孩子认识字母、词汇和语言的有效启蒙 读物。
　　效仿孩子们的这些字母读物, 本书依字母 A 到 Z 的顺序组织了一 系列小短文, 以这种形式来尝试解释数学的基本原理。不过, 本书的内 容相对要深奥一些, D 在这里代表 di.erential caculus (微积分) 而不是 doggie (小狗), 因而, 是不是坐在温暖的腿上也就无所谓了。但是, 按 照字母顺序周游知识世界的基本思想还是一致的。
　　这样的组织方式要求极其严格, 读者需要一页一页从头读到尾, 但 数学原理毕竟不可能依照拉丁字母的顺序展开它的逻辑进程。因此, 有 时候章与章之间的衔接会有些生硬。另外, 某些字母可能包含很多题 材, 而有些字母的题材却相当地生僻。这种状况在孩子们的字母读本 中也会出现, 比如“C 代表 cat (猫)”而轮到 X 却是“X 代表 xenurus (犰狳)”。读者会发现, 有些话题是硬塞进来的, 很像把 16 码的大脚硬 生生地挤进 8 码的小靴子里。设计一个与字母表顺序一致的主题顺序, 确实是对逻辑组织能力的一个不小的挑战。
　　本书从算术这个 (看似) 简单的主题开始。后面章节依次探讨各个 主题, 这些主题可能会有所重复, 而不同的主题也常常交织在一起。有 时候, 前后相继的几章会一起讨论同一个领域, 例如 G, H, I 这三章讨 论的是几何, 而 K 和 L 这两章讲述的是 17 世纪牛顿与莱布尼茨这两 个死对头。有些章专门讨论某一位数学家, 比如 E 章的欧拉, F 章的费 马和 R 章的高斯。有些章陈述特定结果, 例如, 等周问题及球面的曲面面积的阿基米德确定法; 有的章则关注一些更宽泛的主题, 如数学人 物和这一学科中的女性等。无论是什么样的主题, 每一章都讲述了大 量的历史事实。
　　顺着这样一条路线, 我们将展示数学各主要分支的概况 (从代数 到几何, 乃至于概率和微积分)。这些章节的设计, 着眼于解释关键数 学思想, 采用了不那么正统的教科书的形式, 行文间时而会出现一些实 际的证明 (至少是“小证明”)。例如, D 和 L 这两章分别介绍微分和 积分, 因此少不了要多涉及一些数学运算。
　　然而, 在多数章中, 我们会尽力减少过多的技术性推理。事实上, 本书的主题还都是初等数学范畴内的。也就是说, 本书把主要内容框 定于高中代数和高中几何。数学专业人士在这些章节中不会发现什么 新奇的东西。本书针对的是那些对数学有浓厚的兴趣, 而且还有一定 专业背景的人。
　　有几个中心思想会不断出现。例如, 数学这门学科虽然古老, 但却 极为重要; 它既涵盖了人们日常生活的方方面面, 又深入到那些抽象的 神秘领域; 数学是一门博大精深的学问。而按照字母表的顺序来组织 内容并展示这门大学问的精髓正是本书追求的目标。 在此, 有必要提一下保罗斯 (John Allen Paulos) 的著作《超越 数》(Beyond Numeracy, Knopf 出版社, 纽约, 1991 年), 保罗斯把这 本书描述成“部分是字典, 部分是数学短文集, 还有部分则是数学研究 者的思考”。保罗斯这本生动的著作同样从字母 A 到字母 Z 描绘了数 学的历程, 他从 algebra (代数) 开始一直写到 (数学家) Zeno (芝诺)。 对某些字母他安排了多个条目, 因此他那本书的覆盖面更宽；而我选 择通过少而长的短文来增加深度。我希望这两本都按字母顺序编排但 风格各异的书能够相得益彰。
　　当然, 任何作者都没有办法做到面面俱到, 不可能讨论到所有关键 要点、介绍到所有重要人物, 或涉及所有急待解决的数学问题。每次 都必须做出选择, 而这些选择又要受到内在一致性、题材的复杂程度、 作者的兴趣和专业知识的限制, 还要受到完全人为的字母顺序的限制。这类书的选题策划方案决定了它难免挂一漏万, 而大量的好素材最终 都不得不忍痛割爱了。
　　这样一来, 本书就成为一个人只身面对浩瀚数学宇宙的感悟。跟 随本书在数学知识的海洋中遨游, 只能经历无数条路径中的一条, 而且 我也自认为我所选择的由 A 到 Z 的顺序并不是最完美的路径。 抛开限制不谈, 我仍然希望本书至少能够展示这门魅力无穷的学 科的概貌。正如 19 世纪数学家索菲亚.柯瓦列夫斯卡娅所说：“许多 无缘更深入认识数学的人士, 把数学与算术混为一谈, 而且还误认为它 是一门枯燥无味的科学。然而实际上, 它是一门需要最强大想象力的科 学。”①也许这本书能够再现 15 世纪希腊哲学家普罗克洛斯 (Proclus) 的高尚情怀：“单凭数学便能重振生机, 唤醒灵魂..赋予其生命, 能 够化想象为现实, 能够变黑暗为智慧的光芒。”②
　　① Ann Hibler Koblitz, A Convergence of Lives, Birkh.auser, Boston, 1983, p. 231.
　　② Proclus, A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, trans. Glenn R. Morrow, Princeton U. Press, Princeton, NJ, 1970, p. 17.
　　

　　“贯穿全书，作者都保持着一种谈天说地的韵味，即便是在谈及图表、方程和严格的数学定理证明时也能游刃有余。”
　　“这本书一直在我心中占据着一个特别的位置，它是我顿悟的催化剂。……如果你对数学真有一点兴趣的话，我就极力向你推荐这本书，它决不会让你失望。”