哈代数论:第6版(数论领域的传世名著)

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本书是一本经典的数论名著，取材于作者在牛津大学、剑桥大学等大学授课的讲义。主要包括素数理论、无理数、费马定理、同余式理论、连分数、用有理数逼近无理数、不定方程、二次域、算术函数、数的分划等内容。每章章末都提供了相关的附注，书后还附有译者编写的相关内容的最新进展，便于读者进一步学习。[BR>本书可供数学专业高年级学生、研究生、大学老师以及对数论感兴趣的专业读者学习参考。

G.H.Hardy （1877-1947）20世纪上半叶享有世界声誉的数学大师，是英国数学界和英国分析学派的领袖，对数论和分析学的发展有巨大的贡献和重大的影响。除了自己的研究工作之外，他还培养和指导了众多数学大家，包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚。
E.M.Wright （1906-2005） 英国著名数学家，毕业于牛津大学，是G.H.Hardy的学生。生前担任英国名校阿伯丁大学校长多年。爱丁堡皇家学会会士、伦敦数学会会士。曾任Journal of Graph Theory和Zentralblatt fur Mathematik名誉主编。

第1章　素数(1)[BR]第2章　素数(2)[BR]第3章　Farey数列和Minkowski定理[BR]第4章　无理数[BR]第5章　同余和剩余[BR]第6章　Fermat定理及其推论[BR]第7章　同余式的一般性质[BR]第8章　复合模的同余式[BR]第9章　用十进制小数表示数[BR]第10章　连分数[BR]第11章　用有理数逼近无理数[BR]第12章　k(l),k(i),k(ρ)中的算术基本定理[BR]第13章　某些Diophantus方程[BR]第14章　二次域(1)[BR]第15章　二次域(2)[BR]第16章　算术函数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)[BR]第17章　算术函数的生成函数[BR]第18章　算术函数的阶[BR]第19章　分划[BR]第20　章用两个或四个平方和表示数[BR]第21章　用立方数以及更高次幂表示数[BR]第22章　素数(3)[BR]第23章　Kronecker定理[BR]第24章　数的几何[BR]第25章　椭圆曲线[BR]参考书目[BR]附录[BR]特殊符号以及术语索引[BR]常见人名对照表[BR]总索引[BR]《哈代数论(第6版)》补遗

　　Hardy 和Wright 的这本书① 初版于1938 年, 是作者多年间在英国牛津大学、剑桥大学、阿伯丁大学以及其他大学所作的若干数论讲座的讲稿汇编. 这本中文版是以原书英文第6 版作为蓝本翻译的.
　　2008 年, 这本书问世整整70 年了. 在这70 多年中, 数论这个数学分支已经有了长足的进展, 它的理论和方法都有了巨大的发展和进步, 并且人们在解析数论、代数数论、超越数论以及计算数论等所有重要分支的许多重大问题的研究中取得了令人瞩目的成果, 全部或者部分解决了一批著名的数论难题(例如关于超越数的Hilbert第七问题、Waring 问题、Gauss 关于二次域的类数猜想、Goldbach 猜想和孪生素数猜想、Fermat 大定理、Riemann 猜想和广义Riemann 猜想, 等等等等). 从这个意义上说, Hardy 和Wright 这本书中的某些内容随着原著作者的去世, 早已落后于当代数学科学的发展, 这是任何经典著作都无法避免的窘境. 然而, 鉴于这部书是有关数论基础知识的导引性著作, 它所讲述的基本内容都没有过时, 更由于作者引人入胜、深入浅出的书写风格, 使得本书历经70 余年的考验, 至今仍然是为数不多且具有重要参考价值的数论初等教程之一. (另一部出版较早且值得一提的数论初等教程是已故中国数学家华罗庚先生的名著《数论导引》.)
　　原著者G. H. Hardy 是20 世纪在英国乃至全世界享有盛誉的数学家, 他单独或者与他人合作出版过多部数学史上不朽的经典著作, 发表过许多重要的研究论文. 他的许多著作至今仍极有参考价值. 此外, 他还在数学的众多分支, 特别是数论这个分支的研究中, 取得过超出当代数学家的杰出成就. 例如, 他和印度数学家S. A. Ramanujan等人所创立的圆法在解决许多解析数论重大难题的过程中成为不可或缺的方法之一,他的数学理论和思想至今仍是当代数学家们研究的对象和源泉. 此外, Hardy 对于中国数学界的影响也远不止于他的著作和研究. 众所周知, 由于美国著名数学家、控制论创始人、也曾是Hardy 学生的N. Wiener 的推荐, 正值青年的华罗庚于1936 年受到Hardy 的邀请到剑桥大学作访问学者. 华罗庚在剑桥大学得到以Hardy 为核心的数学研究集体中许多年轻数学家的帮助, 在与他们的交流中获益匪浅. 在留学期间,他至少在国际一流期刊发表了15 篇论文, 这对他本人后来研究工作的深入和发展显然有巨大的作用和影响. 这一事实表明：Hardy 本人对于华罗庚个人一生的学术成就以及华罗庚归国后对于培养整整一代新中国数学家所作的贡献都有着重大而直接的影响. 从这个意义上说, 我们中国数学界今天无论怎样感谢Hardy 都不为过.
　　按照Hardy 本人的建议, 这部《哈代数论》既不是数论的系统教科书, 也不是一本数论的通俗读物. 它是为具有大学数学系一年级以上水平且希望学习数论的学生,① 本版书名为《哈代数论(第6 版)》, 上一版书名为《数论导引(第5 版)》, 二者有所不同.
　　以及感兴趣的数学家编写的. 上一版共24 章, 经修订, 本版著者英国牛津大学教授D.R. Heath-Brown 以及美国布朗大学教授J. H. Silverman 新增一章专门介绍椭圆曲线理论. 现在, 这本第6 版共25 章, 分别介绍了素数理论、数的几何、同余式理论、二次剩余和二次互反律、连分数、有理数逼近无理数、二次域、不定方程、算术函数、数的分划、一致分布以及椭圆曲线等方面的基本概念、初等理论和方法以及相关的问题. 在每一章的末尾, 都有一个关于本章内容的附注, 介绍相关问题的起源、发展历史以及相应的参考资料等. 为了使读者了解书中所涉及的某些重要的数论问题的最新进展(到2010 年3 月5 日止), 我们编写了一个简短的附录作为补遗予以介绍. 希望这本中文版的出版能对中国未来的年轻数论爱好者有相当的帮助和教益. 译者中的一位年长者
　　一个在差不多四十年前黑暗的\文化大革命" 时期生活在充满阶级斗争氛围中看不到前途和光明、由于无法实现自己的人生价值而在痛苦中挣扎的青年,正是靠着这本著作和其他数学著作的指引, 才找到了思想的乐趣, 摆脱了人生的苦恼,最终走上了学习和研究数论的人生旅程.
　　在第6 版的翻译过程中, 我们将发现的一些问题提交给参与英文第6 版编著工作的几位作者, 得到了他们的大力帮助. 例如, George E. Andrews 给我来信解答了有关第19 章附注中的一处疑问; Joseph H. Silverman 的来信肯定了我在新增的第25 章及其附注中发现的所有涉及数学以及英文方面的错误(读者通过将英文第6 版与中文译本对照, 即可发现这些错误之处), 他还给我指出了第25 章中某些需要更改的地方(指的是根据他的建议在中文译本中取消了定理478?481 这四处的星号).对于上述各位以及为这部中文译本付出辛勤劳动的北京图灵文化发展有限公司的诸位编辑, 谨此表示我衷心的感谢!
　　张明尧
　　2010 年3 月4 日于上海
　　

　　本书是根据最近十年间在若干所大学的讲座内容逐渐累积而形成的, 与许多由讲座形成的书很相似, 本书没有确定的内容规划.
　　从任何意义上讲, 本书都不是一本系统的数论专著(专家学者只要看一看本书的目录就会明白这一点). 它甚至并不包括数论诸多理论中任何一个方面的完整合理的介绍, 只不过作为导引来轮流阐释几乎所有这些方面的内容. 我们对若干个论题中的每一个都作一些介绍, 虽然人们通常并不把它们合起来放在单独的一本书之中. 同时,我们也对某些并不总是被视为数论的内容作了一些探讨, 例如第12 到15 章属于数的\代数的" 理论; 第19 到第21 章属于数的\加性的" 理论; 第22 章属于\解析的"理论; 而第3 章、第11 章、第23 章以及第24 章处理的内容通常是归属在\数的几何" 或者\Diophantine 逼近" 这一范畴. 我们所规划的内容极其丰富, 但少有深度,因为在区区四五百页的篇幅里完全不可能对这么多问题中的任何一个论题加以深入研究.
　　本书有很大的漏洞, 任何一位专家学者都能轻易指出来. 最显而易见的一个问题是对于二次型的理论没有任何介绍. 这个理论比数论的任何其他部分都有更为系统的发展, 而且在常见的书中对此都有完善的讨论. 我们不得不略去某些东西, 因为我们对那部分理论的现存结果没有什么新鲜内容可以添加.
　　我们经常根据个人的兴趣来决定写作计划, 选取某些论题, 很少是因为这些问题的重要性(尽管其中大多数问题都很重要), 而是因为它们很合我们的心意, 也因为其他作者给我们留下了写作的空间. 我们最初的目的是写一本有趣的书, 一本独具匠心的书. 或许我们已经取得了成功, 成功的代价是书中有太多的怪异之处; 或许我们已经失败了, 但是我们不会彻底失败, 因为所研究的论题是如此的引人入胜, 故而只有非同一般的无能才会使得它变得枯燥乏味.
　　这本书是为从事数学工作的人写的, 并不要求读者具备任何高深的数学知识或者技巧. 在前18 章里我们只需要读者具备中学程度的数学知识, 任何聪明的大学生都会发现本书易于读懂. 后6 章要难一些, 需要读者具备稍微多一点的预备知识, 但也绝不超出比较简单的大学课程的内容.
　　本书书名与L. E. Dickson 教授的一本非常有名的书同名(而本书与他的书几乎没有共同之处). 有一段时期我们打算更名为An introduction to arithmetic (算术导引), 这是一个更为新颖且在某些方面来说也更加合适的书名, 但是有人指出用这个书名可能会使人对书的内容产生误解.
　　有多位朋友在本书的准备过程中给予了帮助. H. Heibronn 博士阅读了全部手稿以及印刷文本, 他的批评和建议使本书有了许多重要的改进, 其中最重要的一些已在正文中予以致谢. H. S. A. Potter 博士和S. Wylie 博士阅读了书中的证明, 并帮助我们去掉了许多错误以及含糊不清之处. 他们还对每一章后面附注中的大部分参考文献进行了检查. H. Davenport 博士和R. Rado 博士也阅读了本书的一部分内容,特别是最后一章, 这一章由于他们以及Heibronn 博士的建议, 与原稿相比几乎焕然一新.
　　我们还从参考目录中所列举的其他书籍中(特别是从Landau 和Perron 的著作中) 不受限制地借用了许多东西. 特别是对于Landau, 我们与数论方面所有求上进的学生一样, 无论如何感谢他都是应该的
　　G. H. H.E. M. W
　　1938 年8 月于牛津
　　

　　这本引人入胜的书对这一学科进行了生动、详尽的叙述，而且没有用到太多高深的理论。——《数学公报》（Mathematical Gazette）
　　……一本非常重要的著作……它一定能继续保持长久、旺盛的生命力……——《数学评论》（Mathematical Reviews）