普林斯顿微积分读本

.2.3　三角函数的图像　29　
2.4　三角恒等式　32　
第3章　极限导论　34　
3.1　极限：基本思想　34　
3.2　左极限与右极限　36　
3.3　何时不存在极限　37　
3.4　在∞和-∞处的极限　38　
3.5　关于渐近线的两个常见错误认知　41　
3.6　三明治定理　43　
3.7　极限的基本类型小结　45　
第4章　如何求解涉及多项式的极限问题　47　
4.1　包含当x→a时的有理函数的极限　47　
4.2　当x→a时的涉及平方根的极限　50　
4.3　当x→∞时涉及的有理函数的极限　51　
4.4　当x→∞时的多项式型函数的极限　56　
4.5　当x→-∞时的有理函数的极限　59　
4.6　包含绝对值的极限　61　
第5章　连续性和可导性　63　
5.1　连续性　63　
5.1.1　在一点处连续　63　
5.1.2　在一个区间上连续　64　
5.1.3　连续函数的例子　65　
5.1.4　介值定理　67　
5.1.5　一个更难的ivt例子　69　
5.1.6　连续函数的最大值和最小值　70　
5.2　可导性　71　
5.2.1　平均速率　71　
5.2.2　位移和速度　72　
5.2.3　瞬时速度　73　
5.2.4　速度的图像解释　74　
5.2.5　切线　75　
5.2.6　导函数　76　
5.2.7　作为极限比的导数.78　
5.2.8　线性函数的导数　80　
5.2.9　二阶导数和更高阶导数　80　
5.2.10　导数何时不存在　81　
5.2.11　可导性和连续性　82　
第6章　如何求解微分问题　84　
6.1　使用定义求导　84　
6.2　求导(好方法)　87　
6.2.1　函数的常数倍　88　
6.2.2　函数和与函数差　88　
6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数　88　
6.2.4　通过商法则求商函数的导数　90　
6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数　91　
6.2.6　一个令人讨厌的例子　94　
6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由　96　
6.3　求切线方程　98　
6.4　速度和加速度　99　
6.5　导数伪装的极限　102　
6.6　分段函数的导数　104　
6.7　直接画出导函数的图像　107　
第7章　三角函数的极限和导数　111　
7.1　涉及三角函数的极限　111　
7.1.1　小数情况　111　
7.1.2　问题的求解——小数的情况　113　
7.1.3　大数的情况　117　
7.1.4　“其他的”情况　120　
7.1.5　一个重要极限的证明　121　
7.2　涉及三角函数的导数　124　
7.2.1　求三角函数导数的例子　127　
7.2.2　简谐运动　128　
7.2.3　一个好奇的函数　129　
第8章　隐函数求导和相关变化率　132　
8.1　隐函数求导　132　
8.1.1　技巧和例子　133　
8.1.2　隐函数求二阶导　137　
8.2　相关变化率　138　
8.2.1　一个简单的例子　140　
8.2.2　一个稍难的例子　141　
8.2.3　一个更难的例子　142　
8.2.4　一个非常难的例子　144　
第9章　指数函数和对数函数　148　
9.1　基础知识　148　
9.1.1　指数函数的回顾　148　
9.1.2　对数函数的回顾　149　
9.1.3　对数函数、指数函数及反函数　150　
9.1.4　对数法则　151　
9.2　e的定义　153　
9.2.1　一个有关复利的例子　153　
9.2.2　我们的问题的答案　154　
9.2.3　关于e和对数函数的更多内容　156　
9.3　对数函数和指数函数求导　158　
9.4　如何求解涉及指数函数和对数函数的极限　161　
9.4.1　涉及e的定义的极限　161　
9.4.2　指数函数在0附近的行为　162　
9.4.3　对数函数在1附近的行为　164　
9.4.4　指数函数在∞或-∞附近的行为　165　
9.4.5　对数函数在∞附近的行为　167　
9.4.6　对数函数在0附近的行为　169　
9.5　对数函数求导　170　
9.6　指数的增长和衰退　174　
9.6.1　指数增长　175　
9.6.2　指数衰退　176　
9.7　双曲函数　178　
第10章　反函数和反三角函数　182　
10.1　导数和反函数　182
10.1.1　使用导数证明反函数存在　182　
10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题　183　
10.1.3　求反函数的导数　184　
10.1.4　一个重要的例子　186　
10.2　反三角函数　188　
10.2.1　反正弦函数　188　
10.2.2　反余弦函数　191　
10.2.3　反正切函数　193　
10.2.4　反正割函数　195　
10.2.5　反余割函数及反余切函数　196　
10.2.6　计算反三角函数　197　
10.3　反双曲函数　199　
第11章　导数和图像　203　
11.1　函数的极值问题　203　
11.1.1　全局极值和局部极值　203　
11.1.2　极值定理　204　
11.1.3　怎样求全局最大值和全局最小值　205　
11.2　罗尔定理　208　
11.3　中值定理　210　
11.4　二次导数及图像　213　
11.5　对于导数为零点的分类　215　
11.5.1　一次导数的应用　216　
11.5.2　二阶导数的应用　217　
第12章　如何绘制函数图像　220　
12.1　怎样建立符号表格　220　
12.1.1　制作一次导数的符号表格　222　
12.1.2　制作二次导数的表格　223　
12.2　绘制函数图像的完全方法　225　
12.3　例题　226　
12.3.1　一个不使用导数的例子　226　
12.3.2　使用完全方法绘制函数图像：例1　229　
12.3.3　例2　230　
12.3.4　例3　233　
12.3.5　例4　236　
第13章　最优化和线性化　240　
13.1　最优化问题　240　
13.1.1　一个简单的最优化例子　240　
13.1.2　最优化问题：通常的方法　241　
13.1.3　一个最优化的例子　242　
13.1.4　另一个最优化的例子　244　
13.1.5　在最优化问题中使用隐函数的求导方法　247　
13.1.6　一个较难的最优化例题　247　
13.2　线性化　250　
13.2.1　线性化的归纳　251　
13.2.2　微分　253　
13.2.3　线性化的总结和例子　255　
13.2.4　在我们估算过程中的误差　256　
13.3　牛顿方法　258　
第14章　洛必达法则及极限问题综述　264　
14.1　洛必达法则　264　
14.1.1　类型a：0/0　264　
14.1.2　类型a：±∞/±∞　267　
14.1.3　类型b1(∞-∞)　268　
14.1.4　类型b2(0×±∞)　270　
14.1.5　类型c(1±∞, 00或∞0)　271　
14.1.6　洛必达法则类型的总结　273　
14.2　关于极限的总结　274
第15章　积分　277　
15.1　求和符号　277　
15.1.1　一个有用的求和　280　
15.1.2　伸缩求和法　281　
15.2　位移和面积　284　
15.2.1　三个简单的例子　284　
15.2.2　一段更常规的旅行　286　
15.2.3　有正负的面积　288　
15.2.4　连续的速度　289　
15.2.5　两个特别的估算　292　
第16章　定积分　295　
16.1　基本思想　295　
16.2　定积分的定义　299　
16.3　定积分的特性　303　
16.4　求面积　307　
16.4.1　求非代数和面积　308　
16.4.2　求解两条曲线之间的面积　310　
16.4.3　求曲线与y轴所围成的面积　312　
16.5　估算积分　315　
16.6　积分的平均值和中值定理　318　
16.7　不可积的函数　321　
第17章　微积分基本定理　323　
17.1　以其他函数为积分的函数　323　
17.2　微积分的第一基本定理　326　
17.3　微积分的第二基本定理　330　
17.4　不定积分　331　
17.5　怎样解决问题：微积分第一基本定理　333　
17.5.1　变形1：变量是积分下限　334　
17.5.2　变形2：积分上限是一个函数　334　
17.5.3　变形3：积分上下限都为函数　336　
17.5.4　变形4：极限伪装成导数　337　
17.6　怎样解决问题：微积分第二基本定理　337　
17.6.1　计算不定积分　338　
17.6.2　计算定积分　340　
17.6.3　非代数和面积和绝对值　343　
17.7　技术上的观点　346　
17.8　微积分第一基本定理的证明　347　
第18章　积分的方法：第一部分　349　
18.1　替代法　349　
18.1.1　换元法和定积分　352　
18.1.2　怎样决定替代公式　355　
18.1.3　换元法的理论解释　357　
18.2　分部积分法　358　
18.3　部分分式　363　
18.3.1　部分分式的代数运算　363　
18.3.2　对每一部分积分　367　
18.3.3　方法和一个完整的例子　369　
第19章　积分的方法：第二部分　374　
19.1　应用三角函数公式的积分　374　
19.2　关于三角函数的幂的积分　377　
19.2.1　sin或cos的幂　377　
19.2.2　tan的幂　379　
19.2.3　sec的幂　380　
19.2.4　cot的幂　382　
19.2.5　csc的幂　383　
19.2.6　递归公式　383　
19.3　关于三角换元法的积分　385　
19.3.1　类型1：？a2-x2　385　
19.3.2　类型2：？x2+a2　387
19.3.3　类型3：？x2-a2　388　
19.3.4　配方和三角换元法　389　
19.3.5　关于三角换元法的总结　390　
19.3.6　平方根的方法和三角换元法　390　
19.4　积分技巧综述　392　
第20章　反常积分：基本概念　394　
20.1　收敛和发散　394　
20.1.1　关于反常积分的一些例子　396　
20.1.2　其他的破裂点　398　
20.2　关于无穷区间的积分　399　
20.3　比较判别法(理论)　401　
20.4　极限比较判别法(理论)　403　
20.4.1　函数互为渐近线　403　
20.4.2　关于判别法的陈述　405　
20.5　p判别法(理论)　406　
20.6　绝对收敛判别法　408　
第21章　反常积分：如何解题　411　
21.1　如何开始　411　
21.1.1　拆分积分　411　
21.1.2　如何处理负函数值　412　
21.2　积分判别法总结　414　
21.3　∞和-∞附近的常见函数　415　
21.3.1　∞和-∞附近的多项式和多项式型函数　416　
21.3.2　∞和-∞附近的三角函数　418　
21.3.3　∞和-∞附近的　指数　420　
21.3.4　∞附近的对数　423　
21.4　常见函数在0附近的情形　427　
21.4.1　0附近的多项式和多项式型函数　427　
21.4.2　0附近的三角函数　428　
21.4.3　0附近的指数函数　429　
21.4.4　0附近的对数函数　431　
21.4.5　0附近的更一般函数　432　
21.5　如何应对不在0或∞处的瑕点　433　
第22章　数列和级数：基本概念　435　
22.1　数列的收敛和发散　435　
22.1.1　数列和函数的联系　436　
22.1.2　两个重要数列　438　
22.2　级数的收敛与发散　439　
22.3　第n项判别法(理论)　443　
22.4　无穷级数和反常积分的性质　444　
22.4.1　比较判别法(理论)　444　
22.4.2　极限比较判别法(理论)　445　
22.4.3　p判别法(理论)　446　
22.4.4　绝对收敛判别法　447　
22.5　级数的新判别法　448　
22.5.1　比式判别法(理论)　448　
22.5.2　根式判别法(理论)　450　
22.5.3　积分判别法(理论)　451　
22.5.4　交错级数判别法(理论)　454　
第23章　如何求解级数问题　457　
23.1　如何求几何级数的值　457　
23.2　如何应用第n项判别法　459　
23.3　如何应用比式判别法　460　
23.4　如何应用根式判别法　463　
23.5　如何应用积分判别法　464　
23.6　如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法　466　
23.7　如何应对含负项的级数　470　
第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　475　
24.1　近似值和泰勒多项式　475　
24.1.1　重访线性化　476　
24.1.2　二次近似　476　
24.1.3　高阶近似　477　
24.1.4　泰勒定理　478　
24.2　幂级数和泰勒级数　481　
24.2.1　一般幂级数　482　
24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数　484　
24.2.3　泰勒级数的收敛性　485
24.3　一个重要极限　488　
第25章　如何求解估算问题　490　
25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　490　
25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　491　
25.3　用误差项估算问题　494　
25.3.1　第一个例子　495　
25.3.2　第二个例子　497　
25.3.3　第三个例子　498　
25.3.4　第四个例子　499　
25.3.5　第五个例子　501　
25.3.6　误差项估算的一般方法　502　
25.4　误差估算的另一种方法　502　
第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题　505　
26.1　幂级数的收敛性　505　
26.1.1　收敛半径　505　
26.1.2　如何求收敛半径和收敛区域　507　
26.2　由旧泰勒级数求新泰勒级数　511　
26.2.1　代换和泰勒级数　512　
26.2.2　泰勒级数求导　514　
26.2.3　泰勒级数求积分　515　
26.2.4　泰勒级数相加和相减　517　
26.2.5　泰勒级数相乘　518　
26.2.6　泰勒级数相除　519　
26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　520　
26.4　利用麦克劳林级数求极限　522　
第27章　参数方程和极坐标　526　
27.1　参数方程　526　
27.2　极坐标　531　
27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换　532　
27.2.2　极坐标系中画曲线　534　
27.2.3　求极坐标曲线的切线　537　
27.2.4　求极坐标曲线围成的面积　538　
第28章　复数　541　
28.1　基础　541　
28.2　复平面　544　
28.3　复数的高次幂　547　
28.4　解zn=w　548　
28.5　解ez=w　553　
28.6　一些三角级数　555　
28.7　欧拉等式和幂级数　557　
第29章　体积、弧长和表面积　559　
29.1　旋转体的体积　559　
29.1.1　圆盘法　560　
29.1.2　壳法　561　
29.1.3　总结和变式　563　
29.1.4　变式1：区域在曲线和y轴之间　563　
29.1.5　变式2：两曲线间的区域　565　
29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　567　
29.2　一般固体体积　569　
29.3　弧长　573　
29.4　旋转体的表面积　577　
第30章　微分方程　581　
30.1　微分方程导论　581　
30.2　可分离变量的一阶微分方程　582　
30.3　一阶线性方程　584　
30.4　常系数微分方程　588　
30.4.1　解一阶齐次方程　589　
30.4.2　解二阶齐次方程　589　
30.4.3　为什么特征二次方程适用　590　
30.4.4　非齐次方程和特解　591　
30.4.5　求特解　592
30.4.6　求特解的例子　593　
30.4.7　解决yp和yh间的冲突　596　
30.4.8　ivp　596　
30.5　微分方程建模　598　
附录a　极限及其证明　601　
a.1　极限的正式定义　601　
a.1.1　小游戏　601　
a.1.2　真正的定义　603　
a.1.3　应用定义的例子　604　
a.2　由原极限产生新极限　605　
a.2.1　极限的和与差及证明　605　
a.2.2　极限的乘积及证明　606　
a.2.3　极限的商及证明　607　
a.2.4　三明治定理及证明　609　
a.3　极限的其他情形　609　
a.3.1　无穷极限　610　
a.3.2　左极限与右极限　611　
a.3.3　在∞及-∞处的极限　611　
a.3.4　两个涉及三角函数的例子　613　
a.4　连续与极限　615　
a.4.1　连续函数的复合　615　
a.4.2　介值定理的证明　617　
a.4.3　最大-最小定理的证明　618　
a.5　重返指数函数和对数函数　619　
a.6　微分与极限　621　
a.6.1　函数的常数倍　622　
a.6.2　函数的和与差　622　
a.6.3　乘积法则的证明　622　
a.6.4　商法则的证明　623　
a.6.5　链式求导法则的证明　624　
a.6.6　极值定理的证明　624　
a.6.7　罗尔定理的证明　625　
a.6.8　中值定理的证明　625　
a.6.9　线性化的误差　626　
a.6.10　分段函数的导数　627　
a.6.11　洛必达法则的证明　628　
a.7　泰勒近似定理的证明　630　
附录b　估算积分　633　
b.1　使用条纹估算积分　633　
b.2　梯形法则　636　
b.3　辛普森法则　638　
b.4　近似的误差　640　
b.4.1　估算误差的例子　641　
b.4.2　误差项不等式的证明　642　
符号列表　644　
索引　647