历史上最伟大的10个方程

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　　本书按方程出现的时间顺序，依次介绍了毕达哥拉斯定理、欧拉公式、麦克斯韦方程组和海森堡不确定性原理等10个历史上最伟大的方程。作者以科学历史学家和哲学家的双重视角，采用跨学科式的写作技巧，告诉读者任何一个重要方程的出现都不是哪个天才一时兴起想出的，而是经过数年、数十年甚至数百年的文化发展才达到的顶峰。他还告诉人们，方程所影响的不仅是科学和数学，它们甚至会改变人们的思维方式。
　　 本书适合对科学史、数学和物理学感兴趣的各层次读者。

1 文明的基础 毕达哥拉斯定理 1
茶歇 数学的法则、证明和魔力 20
2 经典力学的灵魂 牛顿第二定律 28
茶歇 自然之书 44
3 科学革命的制高点 牛顿万有引力定律 51
茶歇 牛顿的苹果 67
4 数学之美的黄金标准 欧拉公式 73
茶歇 标志性的方程 86
5 科学上的莎士比亚剧 热力学第二定律 91
茶歇 不可能的科学 106
6 19世纪最重要的事件 麦克斯韦方程组 110
茶歇 克服病觉缺失，恢复人文活力 127
7 方程中的“名流” 爱因斯坦质能方程 133
茶歇 疯狂的想法 153
8 金蛋 爱因斯坦的广义相对论方程 161
茶歇 科学评论家 182
9 量子论的基本方程 薛定谔方程 189
茶歇 科学家的双重意识 203
10 与不确定性同行 海森堡不确定性原理 209
茶歇 神秘莫测的量子论 231

　　多数人学到的第一个方程 便是1+1=2。它虽然简单得不能再简单，却有巨大的影响力。它给出了加法的定义：1加1等于2。它有用的另一原因是，算术、整个数学领域、物理学和其他科学分支领域中的所有方程，都是这种形式。方程把各项进行合理的安排，指出这些项之间的某种特定关系。1+1=2这个方程很小、很简单，也很基本，但它却像一把魔杖，开启了许许多多领域的大门。1+1=2是开启知识之门的小小第一步，却也是后面成千上万步的基础。加拿大卡尔加里皇家山学院的诗人和英语教师理查德·哈里森（Richard Harrison）在给我的信中曾提到这一表达式的深远影响。
　　1+1=2是数学中的童话，是我教儿子的第一个方程，也是揭示人类具有改变现实世界的神奇力量的第一个表达式。我还记得儿子在学习这个表达式时伸出两只手的食指——代表1，脸上满是惊奇的表情。他发现被自己身体分开的两个手指，通过头脑中的一个概念就能联系起来。这或许是他第一次真正意义上的哲学探索。当发现儿子的思维能够理解“1+1”所代表的不仅仅是“1+1”的时候，我把这个小小的方程视为儿子认识自我和他人而不是神奇外部世界的金钥匙。
　　哈里森的描述提醒我们，即使是像1+1这样非常基本的方程，学习的过程实际上也是一段“旅程”。这段“旅程”包括三个阶段：一开始我们很幼稚，不知道方程的存在；通过学校的教育、偶然的习得、好奇心或是有目的的学习，我们开始逐渐理解方程，这期间少不了不满足和挫折感；最后，我们对于世界的体验因为学习的经历发生转变，变得对世界充满好奇，这种转变自然无痕，虽然有时候只是暂时的。
　　本书要讲的就是这些“旅程”。
　　人们最初并不知道方程，它们好像也没有存在的必要。不管是在“伊甸园”里，还是“知识树”上，都找不到方程的影子。无论是苏美尔人的天堂迪尔蒙（Dilmun）里，还是中国传说中盘古开天劈地的宇宙大蛋里，亦或是其他各种创世神话中所描述的人类最早出现的地方，都看不到方程的影子。那时候的人没有方程的概念。方程的思想是人发明出来的，是人类努力认识世界的结果。即便如此，方程也绝不是人们哪天早上醒来后一时兴起就决定发明的。随着时间的流逝，人们有了对于方程的需求，真正科学技术意义上的方程概念是出现在人类历史较晚的时候。
　　拉丁词aequare的意思是保持平衡或者相等。现在的许多英语词汇都是从这个词根衍生出来的，包括adequate（合适的）、equanimity（平静）、equality（平等）、equilibrium（平衡）、egalitarian（平等主义）、equivalence（相等）和equivocation（模棱两可）。“方程”（equation）一词本身的含义很简单：就是分成相等的两份。再如，地理学家为将地球分成大致相等两半，想象出来的一条线叫做赤道（equator）。equation一词被中世纪的占星家用来说明沿着太阳和其他行星的轨道将天空分成面积相等的块的做法，每块分别由一个星座掌管[1]。
　　与此同时，数字和计数法在人们生活中也变得日益重要。商人将数字和计数法用于记账、财务和预算，宗教机构用它们记录年代、季节和生死嫁娶等，而政府官员将其用于人口普查、土地测量和税收[2]。这样就产生了发明符号来表示数字和数量的需求[3]。公元前3世纪，希腊数学家丢番图更进一步，他采用符号代表未知量，并给出了操作这些量的方法，包括加减。他不仅说明了如何用符号表示未知数，以便通过已知数将其求出（对应于定方程），还指出符号可以描述无穷多解的情形（对应于丢番图方程，或称不定方程）。不过这与现代的方程思想仍相去甚远。甚至连伽利略和牛顿在表述他们各自的重要结果，即伽利略自由落体定律和牛顿运动定律时，也仍旧采用文字叙述的方式来表示比例，而不是采用如今理科生都很熟悉的方程。直到18世纪，自然科学家们才普遍采用我们今天所熟知的方程形式来表述他们的结论。
　　因此，即使要写出最简单的方程，也得经历一番概念形成的发展历程。1910年，历史上两位著名的数学家，阿尔弗莱德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）和伯特兰·罗素（Bertrand Russell）出版了著名的三卷系统教科书《数学原理》（Principia Mathematica）。该书以纯逻辑方式从头推导出了数学的基础。即便要找到1+1=2这样一个简单的方程，也得翻到第一卷的后半部分去[4]！
　　经过这段漫长的历程，“方程”一词最终才有了专业的意义，成为特殊人造语言的一部分。用它可以描述两个相同的量，或者两个相同的可测量集合（严格地说，表述不相等关系的不等式不能算作方程）。这种像密码一样的人造语言对于现代数学和科学是不可或缺的。这种语言的符号代表了其他事物的集合。我们可以对这些符号进行各种操作，最简单的是加减乘除。[5]
　　在这种特殊的专业语言发明之后，每个方程都具有两种不同类型的变形。它是由最初将方程引入人类文明的人发现的。自此以后，所有学习过方程的人都会发现这一点。
　　方程的发现背景与历史上其他转折点的发生背景不同。在血腥的战场和激烈的政治冲突中是不会有方程出现的。它的出现需要不受世事纷扰的安静环境，比如书房或图书馆。麦克斯韦在书房中写出了他革命性的方程；海森堡则在孤岛上将点滴碎片统一了起来。科学家在这样的环境里可以设法消除不满足感，对付痛苦。这种痛苦的出现是因为手头的点滴碎片不能很好地统一起来，而需要作出调整或者加入新元素。如此一来，科学家就可以把精力集中到某些描述得很简单，其实迷域性却很强的问题上。例如，直角三角形某条边的长度是多少？天体之间引力的大小是多少？电是如何流动的？一对看似矛盾的理论可以被统一起来吗？这些有意义吗？
　　只要答案一出现，它似乎就是符合逻辑的，甚至是必然的。罗杰·科茨（Roger Cotes）曾在牛顿的大作《自然哲学的数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）第2版的前言中写道，该工作“得到了广泛的认同”[6]。发现者往往是偶然发现了业已存在的事实。这些方程就像宝藏，在尚未成形时被有洞察力的科学家发现。科学家随后对它进行研究，最后放到知识的大宝库中去，从此代代相传。这种方法对于呈现科学发现极为方便，多为教科书所采用，不妨称为宇宙藏宝图。这张图为我们一一展现了发现方程的艰难历程，以及方程的发明者、发现时间和地点，通常还有起因和目的等。有时候，一个很长的发现历程经过提炼后，会浓缩成某个事件，例如苹果的下落。历代学者在批评这种模式和完善这张图的过程中赚足了名声。看来“藏宝图”真是对人人都有益！
　　但是不管宇宙藏宝图多么有用，这些方程也不过是对宇宙基本特征的描述，而不是人类的创造。的确，我们降生到这个世界之前，这些方程就已经存在了。这也正是方程有时看似并非由人力产生的原因。据说，方程很早以前就存在了，创世第八天，上帝创造了方程，以它们作为工作的蓝图。正如伽利略所写的那样，“自然之书”就是用数学符号写成的。
　　但是所有的方程又都有人的参与。每个方程都是由特定的人，在特定的时间和地点提出来的。他感到有必要对手头上不令人满意的资料进行解释，不过有时可能仅是为了使过于复杂的知识变得更容易理解一些。这种创新的过程有时候是隐含在过去的资料中的，例如毕达哥拉斯定理 早在毕达哥拉斯之前很早就已为人所知。还有些时候，多亏有方程发明者的信件、手稿和笔记，我们才能了解到创新过程的细节，牛顿和爱因斯坦提出的方程就是如此。但不管是哪一种情况，任何一个方程的发现，都不能归功于某一个人。因为哪怕科学家是一个人独立工作的，他也需要与同行进行充分的对话交流，来共同理解和解释世界。
　　当英国科学家奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）把麦克斯韦的工作整理成现在人们所熟知的形式——现在所谓的“麦克斯韦方程”时，他说自己只是想要试着更清楚地理解麦克斯韦的工作。这种动机——想要更好地表述已知的，但并不是特别明白的东西，可以说是所有方程提出者的共性。
　　在有人针对基本问题提出新方程，解决了自己之前的不满意之处后，人们和世界也会随之改变。这些方程并非只是告诉人们如何去做计算，或者仅仅是作为新增的工具，它们有着更加深远的意义。就像哈里森所指出的那样，他的儿子学习1+1=2之后，并非仅仅输入一个新数据点，而是通过这种学习，孩子对世界有了更加深入的把握。当然，伴随着这种把握而来的还有迷惑和新的不满足[7]。
　　最后，哈里森告诉人们方程可以激发好奇心。科学研究不是我们冷眼看世界的活动，而是一种很微妙的情感生活方式。获得新发现或取得新成绩，谁都会高兴雀跃，加以庆祝，这是很自然的。但如果做科研的人只想着高兴，把科学发现作为获取功名的手段，那就大错特错了。功成名就不仅人数寥寥可数，而且实现起来也是遥遥无期。幸运的是，科学所涉及的情感要广泛而深厚得多。科学研究的过程就是时时刻刻表露情感的过程——疑虑、困惑、好奇、渴望和想要找到答案的迫切心情，进展停滞时的厌倦情绪和挫败感，以及进入正轨后的激动心情。这样的情绪是时刻存在着的，又并非隐藏在内心深处，常常会被疏忽，不过只要稍加留意就会发现它们的存在。
　　人们一旦理解了某个重要方程，就能窥见比我们感知的更深层面上的世界结构，揭示世界本身与人们经验之间的深层联系。这种时刻，人们的反应并不仅仅是“对，可以理解了”，更常听到的则是“啊哈，原来如此”。后一种是伴随着知识藏宝图的获得而来的，它把获得发现后的情感简化和浓缩成了一个瞬间。而真正的情感——好奇心，则更加细腻、丰富和持久。
　　当科学家专注于世界，对世界产生兴趣时，他们会很自然地失去对于方程的好奇心，不再那么注意当初公布发现的方程时的情景。的确，人们对于自己非常熟悉的仪器或事物常会失去好奇心。方程可能被看作是人们了解和发现世界的工具，也可能被看作是不得不学的烦琐事物。
　　马克·吐温（Mark Twain）在《密西西比河上的生活》（Life on the Mississippi）一书中写道，领航员对船越来越熟悉，却常常需要经历一种令人遗憾的转变。随着对河流解读技术的增长，他们慢慢地不再感受得到河流的美丽和诗情画意。漂浮着木筏的河面，水面上的倾斜标记，还有一片片的水纹，曾一度激起他们的好奇和敬畏。如今，他们对河的欣赏却越来越机械，河的用处好像只是领航。人们看待方程的态度也是这样。

　　“渴望获得科学知识的读者会发现这是一本非常好的入门书。”
　　——《出版人周刊》
　　“该书对物理史和数学史的评述非常精彩。”
　　——亚马逊读者评论