微分几何与拓扑学习题集（第2版）

　　本书是俄罗斯莫斯科大学经典数学教材《微分几何与拓扑学教程》（а. с. 米先柯、а. т. 福明柯著）的配套习题集。
　　 本习题集由两部分内容组成。第一部分包含关于微分几何与拓扑学的标准章节的习题。第二部分包含为深入掌握近代几何及其应用所需的习题。全书内容涵盖：曲线论、曲面论、坐标系、黎曼几何、古典度量、拓扑空间、流形、二维曲面的拓扑、三维欧几里得空间中的二维曲面、李群和李代数、向量场和张量、微分形式、联络和平行移动、测地线、曲率张量、代数拓扑基础。大多数题目或附有详细解答和提示，或附有答案。许多题目附有插图。
　　 本书可供数学、力学、物理及相关专业的本科生、研究生、教师和研究人员参考使用。

《俄罗斯数学教材选译》序
前言
第2版前言
第一部分
1．坐标系
2．曲线和曲面的方程
3．球面和罗巴切夫斯基平面上的经典度量，它们的性质
4．曲线理论
5．黎曼度量
6．第二基本形式，高斯曲率和平均曲率
7．流形
8．张量
9．向量场
10．联络和平行移动
11．二维曲面上的测地线
12．曲率张量
13．微分形式和德拉姆上同调
14．拓扑
15．同伦，映射度和向量场的指标
第二部分

　　这本《微分几何与拓扑学习题集》(下称《习题集》)预期的目标是满足大学和高等师范学校的数学和力学专业的微分几何与拓扑学课程教学的需要．无论在新大纲方面，还是在数学的其他课程及物理和力学方面，《习题集》都力图反映微分几何与拓扑学课程的本质需求．此外，《习题集》使得广大的数学工作者容易懂得在微分几何、拓扑学、代数和力学领域研究主要学问的新的科学方法．
　　《习题集》可以作为大学和高等师范学校的数学和力学专业的微分几何与拓扑学课程的习题课的基础．无论在俄罗斯，还是独联体国家——诸如白俄罗斯、乌克兰、哈萨克斯坦、土库曼斯坦、立陶宛——近年来预定这类习题集的定单纷至沓来．
　　本书还可以用来作为学习涉及近代几何及其在力学和数学物理中的应用的众多内容的多门专业课程的辅助读物．
　　《习题集》由两部分组成．第一部分包含关于微分几何与拓扑学的标准章节的习题，这些材料超过标准几何与拓扑学课程所要求的必须的最低限度的习题．第二部分包含为深入掌握近代几何及其应用所需的习题．
　　书中涵盖下列题材：曲线论(包括渐屈线和渐伸线)、曲面论、坐标系、黎曼几何、古典度量(球面，罗巴切夫斯基平面上的，等等)、拓扑空间、流形(包括纤维丛(空间)、相空间和构形空间初步)、二维曲面的拓扑、三维欧几里得空间中的二维曲面、李群和李代数(包括低维李群及其经常用于力学的参数表示)、向量场和张量、微分形式(包括积分和德拉姆理论)、联络和平行移动、测地线、曲率张量、代数拓扑基础(欧拉示性数、向量场的指标、相交指数等)．
　　书中同样包含与第一部分题材有关的补充习题，VASt涉及更深刻的微分几何与拓扑学问题新的题材的习题．出现在第二部分的新题材包括：计算机几何和拓扑学、运动学和几何、几何结构(节、施蒂费尔流形和格拉斯曼流形等)、李导数、包装问题、平面上和空间里的组合几何、哈密顿力学基础．
　　本习题集是2000年再版的A．C．米先柯和A．T．福明柯的教科书《微分几何与拓扑学教程》的自然补充．在相当大的程度上《习题集》以A．C．米先柯、ю．п索洛维约夫和A．T．福明柯编写的《微分几何与拓扑学习题集》一书为基础，后者在1981年由莫斯科大学出版社出版．应当指出，多年以后，在1998年，A．A．奥舍姆可夫制作了上述习题集的电子版本．尔后在1998-1999年间在莫斯科大学数学力学系，由微分几何及其应用教研室发起组织了特别的科学方法讨论班，旨在编纂新的《微分几何与拓扑学习题集》．A．C．米先柯、ю．п索洛维约夫教授和A．T．福明柯院士领导了讨论班．有鉴于此，书的封面列出这三位为编著者．但事实上，《习题集》的成书凝聚了在近代几何、拓扑、代数、力学及其应用诸多领域的许多著名学者和杰出专家的集体智慧：俄罗斯科学院B．B．科兹洛夫院士、B．B．费道尔丘科教授、A．B．波尔希诺夫教授、э．P．罗则道尔恩教授、B．B．特罗菲莫夫教授、A．A．包里森科教授(哈尔柯夫)、и．X．撒比托夫教授、E．B．特洛伊茨基教授、A．O．伊万诺夫教授、A．A．图日林教授、г．B．诺索沃斯基高级研究员、A．и．沙伐莱维奇研究员、A．A．奥舍姆可夫副教授、ф．ю．鲍别兰斯基初级研究员、E．A．库德里亚夫采娃助教．
　　讨论班事务、习题的拟定及其解答的最积极的参与者事实上是莫斯科大学数学力学系微分几何及其应用教研室的所有大学生和研究生．我们对他们表示深深谢意．
　　在微分几何与拓扑学领域有不少习题集、教科书和教学参考书．在书末我们列出了其中最著名的出版物的一个不大的目录．
　　应当指出，近年出版的微分几何与拓扑学习题集的种类很少，所以实际上业已青黄不接．更早出版、印数较多的书也几乎售罄，变得稀少．此外，某些书的内容已显陈旧，需要更新．这关系到数学课程大纲的完善，也关系到使用和依赖微分几何与拓扑学方法的其他课程，这些课程有了显著的改变，并且加强了对于几何课程的要求．所有这些使得《习题集》的出版显得格外迫切．
　　我们从广大“名不见经传”的数学界人士那里收集科学方法的素材．“名不见经传”有种种原因，主要的是以下几条．首先，许多习题出现在前面提到的讨论班的参加者的个人科学研究过程中．其次，有些习题产生于讨论班进程中互相切磋的结果．最后，相当大量的习题取自古老的数学文献，它们散落在较早的书刊中而很少被提及，当代的学生和教师也就无从知晓．
　　我们正是以这种方式搜集了科学方法的素材，并形成了本《习题集》．
　　我们特别要指出：ф．D．鲍别兰斯基在准备本书出版过程中绝对不可估量的作用．他在习题的整理、习题的条件和解答的审查，乃至文本的排版等等方面所完成的工作纷繁浩大，多亏他的不懈努力，终于促成本书的问世．
　　A．C．米先柯
　　ю．п．索洛维约夫
　　A．T．福明柯
　　莫斯科，莫斯科大学，2000年5月
　　《微分几何与拓扑学习题集》的第2版呈现在读者面前．它的第1版于2001年由数学物理文献出版社出版．在随后的两年里，为改进这本习题集我们做了很多积极的工作，特别是莫斯科大学数学力学系微分几何及其应用教研室的各位同仁的积极参与．我们考虑了在课堂上使用第1版的教师和学生的许多需求，改正了已发现的印刷错误和不妥之处，补充了新的习题．这主要涉及习题集的第一部分，这是在莫斯科大学数学力学系必修课程古典微分几何和微分几何与拓扑学的习题课上使用最多的部分．我们还改变了某些节的结构并且补充了新的节，力图更合理地按题材分配习题．此外补充了许多插图，以便提高直观性．
　　尽管微分几何是一门成熟的学科，习题集的完善过程却不曾停顿．我们的工作越是深入，我们就发现越多既比较基本又最有教益、在习题集中非选不可的题目．我们自觉中止了这个过程，力求达到用合理的篇幅包含丰富的内容．此外，我们也清楚把现代几何的丰富宝藏都反映在一本书里实际上是不可能的．虽然如此，我们还是认为，对于大学微分几何与拓扑学课程，这一版的习题集不仅是最紧跟时代的，其内容也是最完备的．
　　A．T．福明柯

　　从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材．这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才．到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用．客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的．
　　改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的欧美数学教材，大家眼界为之一新，并得到了很大的启发和教益．但在很长一段时间中，尽管苏联的数学教学也在进行积极的探索与改革，引进却基本中断，更没有及时地进行跟踪，能看懂俄文数学教材原著的人也越来越少，事实上已造成了很大的隔膜，不能不说是一个很大的缺憾．
　　事情终于出现了一个转折的契机．今年初，在由中国数学会、中国工业与应用数学学会及国家自然科学基金委员会数学天元基金联合组织的迎春茶话会上，有数学家提出，莫斯科大学为庆祝成立250周年计划推出一批优秀教材，建议将其中的一些数学教材组织翻译出版．这一建议在会上得到广泛支持，并得到高等教育出版社的高度重视．会后高等教育出版社和数学天元基金一起邀请熟悉俄罗斯数学教材情况的专家座谈讨论，大家一致认为：在当前着力引进俄罗斯的数学教材，有助于扩大视野，开拓思路，对提高数学教学质量、促进数学教材改革均十分必要．《俄罗斯数学教材选译》系列正是在这样的情况下，经数学天元基金资助，由高等教育出版社组织出版的．
　　经过认真选题并精心翻译校订，本系列中所列入的教材，以莫斯科大学的教材为主，也包括俄罗斯其他一些著名大学的教材．有大学基础课程的教材，也有适合大学高年级学生及研究生使用的教学用书．有些教材虽曾翻译出版，但经多次修订重版，面目已有较大变化，至今仍广泛采用、深受欢迎，反射出俄罗斯在出版经典教材方面所作的不懈努力，对我们也是一个有益的借鉴．这一教材系列的出版，将中俄数学教学之间中断多年的链条重新连接起来，对推动我国数学课程设置和教学内容的改革，对提高数学素养、培养更多优秀的数学人才，可望发挥积极的作用，并起着深远的影响，无疑值得庆贺，特为之序．
　　李大潜
　　2005年10月