勾股定理：悠悠4000年的故事(知名科普作家Eli Maor作品)
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勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理，从古巴比伦至今的悠悠4000年的历史长河里，它的身影若隐若现。许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹，甚至连邮票、t-恤、诗歌、散文、音乐剧中也能看到它的身影。
作者带领我们穿越历史的迷雾，从远古走来。欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何、爱因斯坦相对论，一个个我们熟悉的数学发现的背后无不渗透着勾股定理的影响，古典数学和现代数学的历史轨迹竟然一脉相承，从未走远。历史的变迁、科学史上的重要发现，都随着勾股定理的长袖善舞而一一展开。读者将为书中展现的壮丽史实而深深震撼，极大地丰富自己的视野。
作者带领我们穿越历史的迷雾，从远古走来。欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何、爱因斯坦相对论，一个个我们熟悉的数学发现的背后无不渗透着勾股定理的影响，古典数学和现代数学的历史轨迹竟然一脉相承，从未走远。历史的变迁、科学史上的重要发现，都随着勾股定理的长袖善舞而一一展开。读者将为书中展现的壮丽史实而深深震撼，极大地丰富自己的视野。
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本书提供作译者介绍
Eli Maor 知名科普作家，以色列理工学院博士，曾在芝加哥洛约拉大学教授数学史课程。著有畅销书《三角之美：边边角角的趣事》、《e的故事：一个常数的传奇》、《无穷之旅：关于无穷大的文化史》等。在各国期刊上发表过大矗论文，涉及应用数学、数学史和数学教育等领域。
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开篇语 1
第1章 美索不达米亚，公元前1800年 4
补充1 埃及人知道它吗 14
第2章 毕达哥拉斯 18
第3章 欧几里得的《几何原本》 35
补充2 艺术、诗和散文中的毕达哥拉斯定理 50
第4章 阿基米德 56
第5章 翻译者和注释者，500—1500年 64
第6章 弗兰索瓦·韦达创造历史 86
第7章 从无穷大到无穷小 93
补充3 欧拉的一个非同凡响的公式 106
第8章 371种证明及其他 110
补充4 折叠的袋子 127
补充5 爱因斯坦与毕达哥拉斯相遇 129
补充6 一个最不同凡响的证明 131
第9章 主旋律与变奏曲 135
补充7 毕达哥拉斯的珍品 154
补充8 滥用的例子 156
第10章 奇怪的坐标系 159
第11章 符号，符号，还是符号 172
第1章 美索不达米亚，公元前1800年 4
补充1 埃及人知道它吗 14
第2章 毕达哥拉斯 18
第3章 欧几里得的《几何原本》 35
补充2 艺术、诗和散文中的毕达哥拉斯定理 50
第4章 阿基米德 56
第5章 翻译者和注释者，500—1500年 64
第6章 弗兰索瓦·韦达创造历史 86
第7章 从无穷大到无穷小 93
补充3 欧拉的一个非同凡响的公式 106
第8章 371种证明及其他 110
补充4 折叠的袋子 127
补充5 爱因斯坦与毕达哥拉斯相遇 129
补充6 一个最不同凡响的证明 131
第9章 主旋律与变奏曲 135
补充7 毕达哥拉斯的珍品 154
补充8 滥用的例子 156
第10章 奇怪的坐标系 159
第11章 符号，符号，还是符号 172
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和绝大部分读者一样，我在中学也学过毕达哥拉斯定理，即勾股定理。 所以，在拿到这本书的时候，我猜测这本书可能会如以往的史书一样不厌其烦地讲解毕达哥拉斯定理的各种证明方法，也可能会以毕达哥拉斯定理为引子，讲解从毕达哥拉斯发现这一定理以来的数学史或科学史。
但是，仔细阅读之后，我发现我的想法错得离谱，同时也被本书震撼了。这根本不是一本简单的历史书，也不是简单地介绍毕达哥拉斯定理证明方法的图书。本书以毕达哥拉斯定理为线索，梳理了科学历史上一些重要的事件、发明和发现的来龙去脉，把欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何以及爱因斯坦的相对论串成一条逻辑清晰的演变轨迹。令我震撼的就是这一切都与毕达哥拉斯定理紧密相关，这是我之前从未意识到的。从书中，我们不仅可以看到这些课题的发展历程，更重要的是可以看到这些课题在整个科学、社会发展历史中的发展经纬、来龙去脉。读完本书，读者会有“哦，原来是这样！”的感慨，也会重新发现我们在中学所学的毕达哥拉斯定理及其思想在科学史上的重要作用。
现在，我把这本书翻译出来，推荐给初高中学生，希望他们了解所学的毕达哥拉斯定理在整个科学发展中的重要作用，切实体会科学发展中的思维过程；推荐给大学生，希望他们了解微积分、黎曼几何及相对论这些高深的科学课题中直观、初等、古老的知识所起的作用，从中体会科研的思维方式；推荐给我国科学史特别是数学史的学者们，希望他们借鉴本书作者对科学史的研究、组织和论述方法和思考角度，编写出我们自己的对科研发展起推动作用的优秀科学史书籍。
在中国，我们的祖先早就知道了勾股定理，比毕达哥拉斯发现这一结果要早上许久。为什么中国没能形成相似的演变轨迹呢？这一问题令我百思不得其解。
译者水平有限，误译之处，敬请读者指正、谅解。
但是，仔细阅读之后，我发现我的想法错得离谱，同时也被本书震撼了。这根本不是一本简单的历史书，也不是简单地介绍毕达哥拉斯定理证明方法的图书。本书以毕达哥拉斯定理为线索，梳理了科学历史上一些重要的事件、发明和发现的来龙去脉，把欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何以及爱因斯坦的相对论串成一条逻辑清晰的演变轨迹。令我震撼的就是这一切都与毕达哥拉斯定理紧密相关，这是我之前从未意识到的。从书中，我们不仅可以看到这些课题的发展历程，更重要的是可以看到这些课题在整个科学、社会发展历史中的发展经纬、来龙去脉。读完本书，读者会有“哦，原来是这样！”的感慨，也会重新发现我们在中学所学的毕达哥拉斯定理及其思想在科学史上的重要作用。
现在，我把这本书翻译出来，推荐给初高中学生，希望他们了解所学的毕达哥拉斯定理在整个科学发展中的重要作用，切实体会科学发展中的思维过程；推荐给大学生，希望他们了解微积分、黎曼几何及相对论这些高深的科学课题中直观、初等、古老的知识所起的作用，从中体会科研的思维方式；推荐给我国科学史特别是数学史的学者们，希望他们借鉴本书作者对科学史的研究、组织和论述方法和思考角度，编写出我们自己的对科研发展起推动作用的优秀科学史书籍。
在中国，我们的祖先早就知道了勾股定理，比毕达哥拉斯发现这一结果要早上许久。为什么中国没能形成相似的演变轨迹呢？这一问题令我百思不得其解。
译者水平有限，误译之处，敬请读者指正、谅解。
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直至今天，毕达哥拉斯定理仍然是整个数学中最重要的一个定理。
——布罗诺夫斯基，《人的跃升》，p.160
毕达哥拉斯定理虽然生根于几何学，但是，人们普遍认为，毕达哥拉斯发现的这个定理在科学的几乎所有分支都有其身影，无论是纯理论科学还是应用科学。至今为止已经知道了它有400多种证明方法，这一数字仍在增长。这其中有后来成为美国总统的人写下的原创证明，有爱因斯坦年仅十二岁时写下的证明，也有一位盲人姑娘的证明。有些证明简单得令人惊叹，有些证明却异常地复杂。这个定理本身也有好多名字，如毕达哥拉斯定理、斜边定理，或者简单地称为欧几里得I 47，之所以这样叫，是因为它是欧几里得《几何原本》卷I中的第47个命题。这一富有特色的图案（图P-1）当作人类的宇宙身份证，当我们寻找地球外生物时，可以使用这个身份证来自我介绍。这一定理在很多应用领域起着重要作用，当然其被滥用甚至误用的情况也时有发生。对一门学科来说，它有着无法比拟的魅力，它以各种方式进入我们的日常文化生活之中，它出现在邮票上、T-恤衫上、艺术和文学作品中，甚至出现在著名音乐剧的歌词之中。无论如何，它都是数学中最有名的定理。任何一个学生，不管对数学多么恐惧，都会记起他自己的学生时代曾学过这么一个定理。
今天，我们认为毕达哥拉斯定理是一个代数关系，a2+b2=c2，当已知直角三角形两个边的长度时，根据这个关系式可以求得这个直角三角形的第三条边的长度。但是，当年毕达哥拉斯却不这样看它，对他来说，这是一个关于面积的几何陈述。大约在公元1600年，随着现代代数学的出现，这个定理才拥有了我们现在所熟悉的代数形式。因此我们必须知道，从毕达哥拉斯首次证明它并由此确立其不朽的地位开始，探索这一定理已经经历了大约2500年的演变过程。其实他不是第一个发现这一定理的人，在他之前至少一千年，古巴比伦人就已经知道了这个定理，那时，中国人可能也已经知道。
很多作家都评论说毕达哥拉斯定理很美。1895年，查尔斯·路德维希·道奇森，也就是人们所熟悉的刘易斯·卡罗尔写道：“它如毕达哥拉斯最早发现它的时候一样美丽耀眼。”[1]他有资格这样说，因为他不但是写过《爱丽丝漫游奇境记》和《镜中奇缘》的知名作家，还是一位天才数学家。但是，有谁指出了它美丽所在吗？2004年，《物理世界》杂志要求读者写出科学世界中最美的20个方程。名列第一的是欧拉公式ei?+1=0，其后依次是麦克斯韦的4个电磁场方程、牛顿的力学第二定律F=ma，以及毕达哥拉斯定理a2+b2=c2，它仅赢得了第四名。[2]
图P1 毕达哥拉斯定理：欧几里得的观点
注意，比赛所要角逐的是最美的方程，而不是它们所代表的定律或定理。当然，美是一种主观上的东西，但是对数学家来说，一个定理或证明有什么样的资格才称得上美，他们有相当一致的意见。首要的一条就是对称性。例如，考虑三角形的3条高，它们总是相交于一点（它的3条中线和3条角平分线也是如此）。以其彻底的对称性来说，这一陈述相当地优雅：没有哪条边或哪个顶点比其他边或顶点地位更高；所有要素之间都是完全平等的。再考虑这样的定理：过圆内一点P作一条弦AB，则积PA×PB是常数，即对所有过点P的弦这个积都是常数（图P-2）。同样，它们也完全平等：每一条弦都和与P相关的其他弦拥有完全相同的地位。
图P2 PA×PB=PC×PD
在这种意义下，毕达哥拉斯定理显然不是平等的。首先，它只适用一个非常特殊的情况，直角三角形；然后，它要挑出一条边——斜边，这条边的作用与其他两条边的作用完全不同。词hypotenuse（斜边）来自希腊语hypo（意思是“下面”、“底下”、“向下”）以及teinen（意思是“拉长”）。如果我们以它的斜边为底看这个直角三角形，那么它呈现在欧几里得《几何原本》中的模样确实还和这个词有点儿靠谱（参见图P-1）。中国人把它称之为“弦”，两点之间被拉紧的绳子（如同琵琶上的弦）。希伯来语中的斜边是’yeter，它可能来自于mei’ter（绳子）或yo’ter（更多），即比直角边更长。而我们即使用现代的眼光看这个三角形，把它的一条直角边平放，另一条直角边垂直放置（图P3），斜边上的正方形也以一个奇怪的角度而引人注目。这是一个美丽的定理吗？也许是吧。
图P3 毕达哥拉斯定理：现代观点
如果说毕达哥拉斯定理不是那样精致，那么是什么使得毕达哥拉斯定理得以吸引全世界的人？毫无疑问，一部分原因是几个世纪以来人们给出了大量的证明方法。卢米斯（1852—1940）是俄亥俄州的一位古怪的数学教师，他用毕生的精力收集了当时已知的所有证明，总共371个，并把它们编写成《毕达哥拉斯命题》（1927）一书。[3]卢米斯声称，在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，他说这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法。其中有些证明以相似三角形为基础，另一些证明基于割补法，还有一些证明则根据代数公式，也有少数证明使用了向量，甚至有一些“证明”（也许使用“演示”更好些）使用了物理方法。在以色列特拉维夫科学博物馆中，我看到了一个“演示”方法，在一个旋转的树脂玻璃制的直角三角形三条边上的正方形之间，让有色液体自由流淌，可以证明斜边上的正方形里的液体体积等于其他两个正方形里的液体体积之和。
毕达哥拉斯定理吸引人的另外一个理由是，它是整个数学中使用最频繁的定理。打开任意一本数学公式手册，你几乎在每一章中都可以看到表达式x2+y2，它通常是嵌在更大的表达式里面，而且几乎都是x2+y2，而不是x3+y3，或者这些变量的其他幂。这一表达式都直接或间接地与毕达哥拉斯定理相关。例如，三角学就是如此，这门学科中的公式好像多得没边。无论是sin2x+cos2x=1、1+tan2x=sec2x还是1+cot2x=csc2x，这些等式都像是毕达哥拉斯定理的幽灵一样——实际上，它们就是被称为毕达哥拉斯等式。数学的其他分支也同样如此，从数论和代数学到微积分和概率论，在所有这些学科中，毕达哥拉斯定理担负着重要的角色。
本书中，我将从4000年前的古巴比伦开始叙述，一直到我们生活的今天，一路追寻毕达哥拉斯定理的演变，探讨它对数学及我们的文化所带来的普遍影响。我没有打算全面讲述这几百个证明，这几乎是不可能完成的任务，也是一件徒劳的工作，因为有些证明之间差异很小。就连卢米斯的杰出编撰也不完整，自从1940年（他去世的那年）他那本书的第二版出版后，新的证明又不断涌现出来，甚至就在我写这本书的时候，还有新的证明出现。[4]
与我之前的几本书一样，本书的读者应是对数学史感兴趣的人。只需要有高中代数、几何知识以及一些粗浅的微积分知识就足以读懂。几个需要更深数学知识的课题归入到附录中。因为我要偶尔引用我之前写过的几本书，这里给出它们的书名：《无穷之旅：关于无穷的文化史》（1991），《e的故事：一个常数的传奇》（1994），《三角之美：边边角角的趣事》* （1998；这3本书都是由普林斯顿大学出版社出版的）。其他两本经常提到的文献是霍华德·伊夫斯（Howard Eves）的《数学史概论》（Saunders，1992）和大卫·尤金·史密斯（David Eugene Smith）的《数学史》《卷1：初等数学史概况》和《卷2：初等数学的特别话题》（Dover，1958）。引用时只写伊夫斯（Eves）和史密斯（Smith）。
我要感谢我的妻子Dalia，写这本书的时候她一直鼓励我，并认真地校对手稿；感谢Robert Langer对这本书所给出的意见和非常有价值的建议；感谢Vickie Kearn，她是普林斯顿大学出版社本书的编辑，自始至终对我给予支持和鼓励；感谢Debbie Tegarden、Carmina Alvarez、Dimitri Karetnikov以及出版社其他成员在这本书出版过程中对手稿的呵护；感谢Alice Calaprice，她是过去15年来我忠实的技术编辑；感谢Joseph L.Teeters，他为我提供了某些难寻的文献信息；感谢Howard Zvi Weiss，他翻译了书中几首德语诗；感谢Barbara Niemic、Jeff Niemic和Deborah Ward所付出的特殊努力，他们在爱尔兰都柏林找到了那块匾并给它拍了照片（见图11-1），这是用来纪念William Rowan Hamilton爵士发现四元数乘法定律的；还要感谢伊利诺伊州Skokie市公共图书馆的全体工作人员，他们为找到相当数量的难寻的文献而付出了努力。对他们的帮助表示由衷的感谢。
2006年7月
[1] A New Theory of Parallels (1895)。
[2] 《纽约时报》，2004年10月24日，p.12。
[3] （全美数学教师学会，1968）关于这本书的更多内容可以在第8章中找到。
[4] 有几个专门为毕达哥拉斯定理开设的网站，给出很多最新证明。本书参考书目中列出了部分网站。
——布罗诺夫斯基，《人的跃升》，p.160
毕达哥拉斯定理虽然生根于几何学，但是，人们普遍认为，毕达哥拉斯发现的这个定理在科学的几乎所有分支都有其身影，无论是纯理论科学还是应用科学。至今为止已经知道了它有400多种证明方法，这一数字仍在增长。这其中有后来成为美国总统的人写下的原创证明，有爱因斯坦年仅十二岁时写下的证明，也有一位盲人姑娘的证明。有些证明简单得令人惊叹，有些证明却异常地复杂。这个定理本身也有好多名字，如毕达哥拉斯定理、斜边定理，或者简单地称为欧几里得I 47，之所以这样叫，是因为它是欧几里得《几何原本》卷I中的第47个命题。这一富有特色的图案（图P-1）当作人类的宇宙身份证，当我们寻找地球外生物时，可以使用这个身份证来自我介绍。这一定理在很多应用领域起着重要作用，当然其被滥用甚至误用的情况也时有发生。对一门学科来说，它有着无法比拟的魅力，它以各种方式进入我们的日常文化生活之中，它出现在邮票上、T-恤衫上、艺术和文学作品中，甚至出现在著名音乐剧的歌词之中。无论如何，它都是数学中最有名的定理。任何一个学生，不管对数学多么恐惧，都会记起他自己的学生时代曾学过这么一个定理。
今天，我们认为毕达哥拉斯定理是一个代数关系，a2+b2=c2，当已知直角三角形两个边的长度时，根据这个关系式可以求得这个直角三角形的第三条边的长度。但是，当年毕达哥拉斯却不这样看它，对他来说，这是一个关于面积的几何陈述。大约在公元1600年，随着现代代数学的出现，这个定理才拥有了我们现在所熟悉的代数形式。因此我们必须知道，从毕达哥拉斯首次证明它并由此确立其不朽的地位开始，探索这一定理已经经历了大约2500年的演变过程。其实他不是第一个发现这一定理的人，在他之前至少一千年，古巴比伦人就已经知道了这个定理，那时，中国人可能也已经知道。
很多作家都评论说毕达哥拉斯定理很美。1895年，查尔斯·路德维希·道奇森，也就是人们所熟悉的刘易斯·卡罗尔写道：“它如毕达哥拉斯最早发现它的时候一样美丽耀眼。”[1]他有资格这样说，因为他不但是写过《爱丽丝漫游奇境记》和《镜中奇缘》的知名作家，还是一位天才数学家。但是，有谁指出了它美丽所在吗？2004年，《物理世界》杂志要求读者写出科学世界中最美的20个方程。名列第一的是欧拉公式ei?+1=0，其后依次是麦克斯韦的4个电磁场方程、牛顿的力学第二定律F=ma，以及毕达哥拉斯定理a2+b2=c2，它仅赢得了第四名。[2]
图P1 毕达哥拉斯定理：欧几里得的观点
注意，比赛所要角逐的是最美的方程，而不是它们所代表的定律或定理。当然，美是一种主观上的东西，但是对数学家来说，一个定理或证明有什么样的资格才称得上美，他们有相当一致的意见。首要的一条就是对称性。例如，考虑三角形的3条高，它们总是相交于一点（它的3条中线和3条角平分线也是如此）。以其彻底的对称性来说，这一陈述相当地优雅：没有哪条边或哪个顶点比其他边或顶点地位更高；所有要素之间都是完全平等的。再考虑这样的定理：过圆内一点P作一条弦AB，则积PA×PB是常数，即对所有过点P的弦这个积都是常数（图P-2）。同样，它们也完全平等：每一条弦都和与P相关的其他弦拥有完全相同的地位。
图P2 PA×PB=PC×PD
在这种意义下，毕达哥拉斯定理显然不是平等的。首先，它只适用一个非常特殊的情况，直角三角形；然后，它要挑出一条边——斜边，这条边的作用与其他两条边的作用完全不同。词hypotenuse（斜边）来自希腊语hypo（意思是“下面”、“底下”、“向下”）以及teinen（意思是“拉长”）。如果我们以它的斜边为底看这个直角三角形，那么它呈现在欧几里得《几何原本》中的模样确实还和这个词有点儿靠谱（参见图P-1）。中国人把它称之为“弦”，两点之间被拉紧的绳子（如同琵琶上的弦）。希伯来语中的斜边是’yeter，它可能来自于mei’ter（绳子）或yo’ter（更多），即比直角边更长。而我们即使用现代的眼光看这个三角形，把它的一条直角边平放，另一条直角边垂直放置（图P3），斜边上的正方形也以一个奇怪的角度而引人注目。这是一个美丽的定理吗？也许是吧。
图P3 毕达哥拉斯定理：现代观点
如果说毕达哥拉斯定理不是那样精致，那么是什么使得毕达哥拉斯定理得以吸引全世界的人？毫无疑问，一部分原因是几个世纪以来人们给出了大量的证明方法。卢米斯（1852—1940）是俄亥俄州的一位古怪的数学教师，他用毕生的精力收集了当时已知的所有证明，总共371个，并把它们编写成《毕达哥拉斯命题》（1927）一书。[3]卢米斯声称，在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，他说这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法。其中有些证明以相似三角形为基础，另一些证明基于割补法，还有一些证明则根据代数公式，也有少数证明使用了向量，甚至有一些“证明”（也许使用“演示”更好些）使用了物理方法。在以色列特拉维夫科学博物馆中，我看到了一个“演示”方法，在一个旋转的树脂玻璃制的直角三角形三条边上的正方形之间，让有色液体自由流淌，可以证明斜边上的正方形里的液体体积等于其他两个正方形里的液体体积之和。
毕达哥拉斯定理吸引人的另外一个理由是，它是整个数学中使用最频繁的定理。打开任意一本数学公式手册，你几乎在每一章中都可以看到表达式x2+y2，它通常是嵌在更大的表达式里面，而且几乎都是x2+y2，而不是x3+y3，或者这些变量的其他幂。这一表达式都直接或间接地与毕达哥拉斯定理相关。例如，三角学就是如此，这门学科中的公式好像多得没边。无论是sin2x+cos2x=1、1+tan2x=sec2x还是1+cot2x=csc2x，这些等式都像是毕达哥拉斯定理的幽灵一样——实际上，它们就是被称为毕达哥拉斯等式。数学的其他分支也同样如此，从数论和代数学到微积分和概率论，在所有这些学科中，毕达哥拉斯定理担负着重要的角色。
本书中，我将从4000年前的古巴比伦开始叙述，一直到我们生活的今天，一路追寻毕达哥拉斯定理的演变，探讨它对数学及我们的文化所带来的普遍影响。我没有打算全面讲述这几百个证明，这几乎是不可能完成的任务，也是一件徒劳的工作，因为有些证明之间差异很小。就连卢米斯的杰出编撰也不完整，自从1940年（他去世的那年）他那本书的第二版出版后，新的证明又不断涌现出来，甚至就在我写这本书的时候，还有新的证明出现。[4]
与我之前的几本书一样，本书的读者应是对数学史感兴趣的人。只需要有高中代数、几何知识以及一些粗浅的微积分知识就足以读懂。几个需要更深数学知识的课题归入到附录中。因为我要偶尔引用我之前写过的几本书，这里给出它们的书名：《无穷之旅：关于无穷的文化史》（1991），《e的故事：一个常数的传奇》（1994），《三角之美：边边角角的趣事》* （1998；这3本书都是由普林斯顿大学出版社出版的）。其他两本经常提到的文献是霍华德·伊夫斯（Howard Eves）的《数学史概论》（Saunders，1992）和大卫·尤金·史密斯（David Eugene Smith）的《数学史》《卷1：初等数学史概况》和《卷2：初等数学的特别话题》（Dover，1958）。引用时只写伊夫斯（Eves）和史密斯（Smith）。
我要感谢我的妻子Dalia，写这本书的时候她一直鼓励我，并认真地校对手稿；感谢Robert Langer对这本书所给出的意见和非常有价值的建议；感谢Vickie Kearn，她是普林斯顿大学出版社本书的编辑，自始至终对我给予支持和鼓励；感谢Debbie Tegarden、Carmina Alvarez、Dimitri Karetnikov以及出版社其他成员在这本书出版过程中对手稿的呵护；感谢Alice Calaprice，她是过去15年来我忠实的技术编辑；感谢Joseph L.Teeters，他为我提供了某些难寻的文献信息；感谢Howard Zvi Weiss，他翻译了书中几首德语诗；感谢Barbara Niemic、Jeff Niemic和Deborah Ward所付出的特殊努力，他们在爱尔兰都柏林找到了那块匾并给它拍了照片（见图11-1），这是用来纪念William Rowan Hamilton爵士发现四元数乘法定律的；还要感谢伊利诺伊州Skokie市公共图书馆的全体工作人员，他们为找到相当数量的难寻的文献而付出了努力。对他们的帮助表示由衷的感谢。
2006年7月
[1] A New Theory of Parallels (1895)。
[2] 《纽约时报》，2004年10月24日，p.12。
[3] （全美数学教师学会，1968）关于这本书的更多内容可以在第8章中找到。
[4] 有几个专门为毕达哥拉斯定理开设的网站，给出很多最新证明。本书参考书目中列出了部分网站。
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当我在2001年开始做OGRE项目的时候，我的初衷只是想做一些可以帮助开发者（当然首先也是为了我自己）尽可能减少实时3D的开发难度而同时又增加开发灵活性的事情。这在那个时候确实不是什么宏伟的计划，而仅仅是出于个人角度的原本应该做的事情，而最终却被全世界范围内大量开发者所支持，这着实令我惊讶。我以前从没有想过OGRE能在当今如此流行，更没有想到我能有幸被邀请为本书做一个简短的序言。即使我无从阅读一本用中文撰写的书籍，我依然非常欣慰地看到，在地球的另一侧会有这样一群人满怀激情地加入到OGRE事业中，并且投入大量时间来完成此书，更重要的是，有这样一群人，比如你，出于对OGRE的热衷，来阅读此书。
因此我要感谢本书作者为此而做出的不懈努力，并且希望你能从本书中收获对OGRE更多的满意，就像我设计之初所希望的那样。哪天我们真应该见个面，或许你还可以教我一些有关3D的中文词汇。
Since I began the Ogre project in 2001, my primary goal was to create something that helped developers (and by that I mean myself first of all!), to do what they wanted to with real-time 3D, with as little difficulty and with as much flexibility as possible. There really wasn't a grand plan at the time, just a personal vision of how I thought things should be done, which as it happens turned out to be very compatible with the visions of a lot of other people around the world too. This was a surprise to me - I never imagined Ogre would become as popular as it is today, and as such I'm very honoured to have been invited to write a small foreword for this book. Even though I won't be able to read it - since I can't read Chinese - it's very pleasing to know that there are people on the other side of the world who care enough about the project I started to invest their own time in writing such a book, and that there are people, like you, who want to read about it.
So my thanks go to the authors for their efforts, and I hope you all get as much satisfaction out of using Ogre as I did creating it. Should we meet one day, perhaps you can teach me some 3D-related words in Chinese.
I hope that sounds ok.
Good look with the book!
Best regards Steve
前 言
2006年，我们翻译了“PRO OGRE 3D PROGRAMMING”这本书，创建了OGRE 3D引擎的中文社区（http://ogre3d.cn），并把这本书的电子版本提供给国内的朋友下载学习。几年之后，OGRE 3D图形引擎在中国已经遍地开花，包括九城、久游、吉比特、搜狐畅游、麒麟游戏，以及网域等游戏公司都在不同程度地使用这款图形引擎，同时也有越来越多的朋友开始关注它。得到电子工业出版社的首肯，笔者有幸能撰写一本关于Ogre3D使用开发的图书。
本书缘起
从2006年我们建立OGRE 3D中文社区开始，不断地得到热心朋友的帮助，翻译了大量的OGRE 3D相关文档，其中包括《Ogre手册》、《基础教程》、《中级教程》，以及相关的一系列文章，以至于今天笔者准备从头撰写一本OGRE 3D相关知识的书籍时，竟然发现大部分的知识内容已经可以在网络上找到，几乎不可能再原创一本专注于OGRE 3D使用的书籍。
笔者绝对不敢冒险东拼西凑提供一本“学术腐败”的论文集给大家看，与其重复那些网络上已有的知识，不如另辟蹊径，即从代码入手讲解如何通过游戏开发框架，在学会OGRE 3D引擎之后进一步完成完整的游戏。
这本书不会告诉读者图形引擎的基础，而是希望告诉读者在了解一款图形引擎之后还缺少哪些工具来完成一个完整的游戏。本书定位于希望进一步了解如何以OGRE 3D为基础开发一款完整游戏的朋友们。
我们在光盘中提供了“PRO OGRE 3D PROGRAMMING”中文版本的下载地址，那里详细地介绍了OGRE 3D相关的知识和细节。希望读者可以结合这两本书来阅读。在这里需要感谢我的编辑袁金敏女士，正是因为她的肯定才让笔者有信心来完成这本书。
基于以上定位，这本书应该是学习OGRE 3D游戏开发的第2本书，帮助读者从一位引擎研究者成为一位可以实战的游戏开发人员。读者可能还没有接触OGRE 3D图形引擎，偶然在书店中看到这本书，正在决定是否加入OGRE 3D的开发人员队伍中来。这本书的第1章将会帮助读者解决疑惑，从一个宏观的角度来描述OGRE 3D图形引擎的发展史及相关资源。我们尽量做到简短和精辟，让读者站在书店的书架旁边就能看完，决定是否有必要学习OGRE 3D，以及是否需要掏钱买这本书。如果发现其中有您感兴趣的游戏开发工具，那么本书一定在某一天会给您的工作带来“雪中送碳”的效用。
本书阅读指南
这本书的最大特点是依赖代码来推进进度。从第2章开始的几乎每一个课程都有相关的代码工程提供给读者参考，这样做可以让读者更直观地了解本书介绍的内容。
网上说行为学的研究表明，如果坚持21天，你就很可能改变或养成一个新的习惯。虽然我不是这方面的专家，但是还是按照《21天精通XXX》书籍的惯例把这个章节的课程划分到3个星期中。每周讲解一个完整工程，至少这样做可使读者很方便地安排自己的阅读时间。
在每个星期的第1天（星期日），我们会讲解一下本周课程的具体内容和背景知识，在接下来的星期一～星期六的课程中会把一个完整的工程分解成为6个部分逐渐完善并依次讲解。
OGRE 3D把自身定位成一个纯粹的图形引擎，优秀的独立性带来的副作用是如果需要完成一款完整的游戏，OGRE 3D并不足够，还需要类似音频引擎、网络引擎、输入引擎等功能性库，以及一个高效稳定且功能强大的框架。不论读者是否做过完整的游戏，都应该能感觉到一个好的框架对于一款游戏是多么重要。本书将着重介绍这方面的知识，在第2章第1周的课程中，我们介绍读者熟悉的OGRE 3D演示程序所使用的框架，并完成一款《打地鼠》游戏。虽然这个框架不足以强壮到完成一款商业游戏，但是至少可以帮助读者了解框架在游戏开发中的重要作用。
因此我要感谢本书作者为此而做出的不懈努力，并且希望你能从本书中收获对OGRE更多的满意，就像我设计之初所希望的那样。哪天我们真应该见个面，或许你还可以教我一些有关3D的中文词汇。
Since I began the Ogre project in 2001, my primary goal was to create something that helped developers (and by that I mean myself first of all!), to do what they wanted to with real-time 3D, with as little difficulty and with as much flexibility as possible. There really wasn't a grand plan at the time, just a personal vision of how I thought things should be done, which as it happens turned out to be very compatible with the visions of a lot of other people around the world too. This was a surprise to me - I never imagined Ogre would become as popular as it is today, and as such I'm very honoured to have been invited to write a small foreword for this book. Even though I won't be able to read it - since I can't read Chinese - it's very pleasing to know that there are people on the other side of the world who care enough about the project I started to invest their own time in writing such a book, and that there are people, like you, who want to read about it.
So my thanks go to the authors for their efforts, and I hope you all get as much satisfaction out of using Ogre as I did creating it. Should we meet one day, perhaps you can teach me some 3D-related words in Chinese.
I hope that sounds ok.
Good look with the book!
Best regards Steve
前 言
2006年，我们翻译了“PRO OGRE 3D PROGRAMMING”这本书，创建了OGRE 3D引擎的中文社区（http://ogre3d.cn），并把这本书的电子版本提供给国内的朋友下载学习。几年之后，OGRE 3D图形引擎在中国已经遍地开花，包括九城、久游、吉比特、搜狐畅游、麒麟游戏，以及网域等游戏公司都在不同程度地使用这款图形引擎，同时也有越来越多的朋友开始关注它。得到电子工业出版社的首肯，笔者有幸能撰写一本关于Ogre3D使用开发的图书。
本书缘起
从2006年我们建立OGRE 3D中文社区开始，不断地得到热心朋友的帮助，翻译了大量的OGRE 3D相关文档，其中包括《Ogre手册》、《基础教程》、《中级教程》，以及相关的一系列文章，以至于今天笔者准备从头撰写一本OGRE 3D相关知识的书籍时，竟然发现大部分的知识内容已经可以在网络上找到，几乎不可能再原创一本专注于OGRE 3D使用的书籍。
笔者绝对不敢冒险东拼西凑提供一本“学术腐败”的论文集给大家看，与其重复那些网络上已有的知识，不如另辟蹊径，即从代码入手讲解如何通过游戏开发框架，在学会OGRE 3D引擎之后进一步完成完整的游戏。
这本书不会告诉读者图形引擎的基础，而是希望告诉读者在了解一款图形引擎之后还缺少哪些工具来完成一个完整的游戏。本书定位于希望进一步了解如何以OGRE 3D为基础开发一款完整游戏的朋友们。
我们在光盘中提供了“PRO OGRE 3D PROGRAMMING”中文版本的下载地址，那里详细地介绍了OGRE 3D相关的知识和细节。希望读者可以结合这两本书来阅读。在这里需要感谢我的编辑袁金敏女士，正是因为她的肯定才让笔者有信心来完成这本书。
基于以上定位，这本书应该是学习OGRE 3D游戏开发的第2本书，帮助读者从一位引擎研究者成为一位可以实战的游戏开发人员。读者可能还没有接触OGRE 3D图形引擎，偶然在书店中看到这本书，正在决定是否加入OGRE 3D的开发人员队伍中来。这本书的第1章将会帮助读者解决疑惑，从一个宏观的角度来描述OGRE 3D图形引擎的发展史及相关资源。我们尽量做到简短和精辟，让读者站在书店的书架旁边就能看完，决定是否有必要学习OGRE 3D，以及是否需要掏钱买这本书。如果发现其中有您感兴趣的游戏开发工具，那么本书一定在某一天会给您的工作带来“雪中送碳”的效用。
本书阅读指南
这本书的最大特点是依赖代码来推进进度。从第2章开始的几乎每一个课程都有相关的代码工程提供给读者参考，这样做可以让读者更直观地了解本书介绍的内容。
网上说行为学的研究表明，如果坚持21天，你就很可能改变或养成一个新的习惯。虽然我不是这方面的专家，但是还是按照《21天精通XXX》书籍的惯例把这个章节的课程划分到3个星期中。每周讲解一个完整工程，至少这样做可使读者很方便地安排自己的阅读时间。
在每个星期的第1天（星期日），我们会讲解一下本周课程的具体内容和背景知识，在接下来的星期一～星期六的课程中会把一个完整的工程分解成为6个部分逐渐完善并依次讲解。
OGRE 3D把自身定位成一个纯粹的图形引擎，优秀的独立性带来的副作用是如果需要完成一款完整的游戏，OGRE 3D并不足够，还需要类似音频引擎、网络引擎、输入引擎等功能性库，以及一个高效稳定且功能强大的框架。不论读者是否做过完整的游戏，都应该能感觉到一个好的框架对于一款游戏是多么重要。本书将着重介绍这方面的知识，在第2章第1周的课程中，我们介绍读者熟悉的OGRE 3D演示程序所使用的框架，并完成一款《打地鼠》游戏。虽然这个框架不足以强壮到完成一款商业游戏，但是至少可以帮助读者了解框架在游戏开发中的重要作用。
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“这是一部优秀的勾殷定理传记，像是用线和圆编织的思想史，从古代泥板书一直写到爱因斯坦时代的黑板……看到一个真理被全方位地层示出来，真是令人兴奋，这给我们带来了数小时上佳的数学消遣。”
——Ben Longstaff，《新科学家》
“Maor的这本书就是一部勾股定理简史，我们在此认识了相关的数学家，了解了地域文化．这是一本精彩绝伦的书，列举了中国、阿拉伯以及欧洲文献中记载的证明和例子，讲述了这些独特文化对勾股定理的理解和运用，并深入评述了这个迷人定理与诸多文化的历史联系。”
——Michael C．Fish，《数学教师》
“这本书超越了定理本身及其证明，它将在历史长河中焕发光芒。”
——Eric S．Rosenthal，《数学杂志》
“这是一本写给高中生、高中教师和数学爱好者的绝佳补充读物……作者对这个主慧的热情贯穿全书。”
——James J．Tattersull，《数学评论》
——Ben Longstaff，《新科学家》
“Maor的这本书就是一部勾股定理简史，我们在此认识了相关的数学家，了解了地域文化．这是一本精彩绝伦的书，列举了中国、阿拉伯以及欧洲文献中记载的证明和例子，讲述了这些独特文化对勾股定理的理解和运用，并深入评述了这个迷人定理与诸多文化的历史联系。”
——Michael C．Fish，《数学教师》
“这本书超越了定理本身及其证明，它将在历史长河中焕发光芒。”
——Eric S．Rosenthal，《数学杂志》
“这是一本写给高中生、高中教师和数学爱好者的绝佳补充读物……作者对这个主慧的热情贯穿全书。”
——James J．Tattersull，《数学评论》
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