数学分析八讲(伟大的数学教育家辛钦潜心编著的经典教材)

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本书通过八讲内容：连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开和微分方程，概述了数学分析中易于了解和记忆的基本思想、基本概念和基本方法，使读者可在短时间内对数学分析的全貌有初步的了解，并学会掌握数学分析的精髓。
本书虽是给那些想提高自己数学分析水平的工程师写的，但对于经济学家、数学教师、数学系的学生等，都具有非凡意义。
短短八个讲座，让你不仅了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓。这本由伟大的数学教育家辛钦潜心编著的经典教材，思路清晰、引人入胜，全面梳理了数学分析的主要内容。
本书是作者在国立莫斯科大学为工程师授课的教案，书中选材独到，叙述深入浅出，娓娓道来。即使是只学过最简单的数学分析课程的人也能容易地阅读理解。在此基础上，你可以进而深入学习本课程的任何专题。无论你是工程师、经济学人、数学教师，还是数学系的学生，阅读本书都能收益匪浅。

Α.Я.辛钦（1894－1959） 前苏联数学家、数学教育家。现代概率论的奠基人之一，莫斯科概率学派的开创者。1939年当选为苏联科学院通讯院士，1944年当选为俄罗斯教育科学院院士。他1941年获前苏联国家奖金，并多次获列宁勋章、劳动红旗勋章、荣誉勋章等奖章。辛钦共发表150多篇数学及数学史论著，在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等方面都有重要的研究成果。在数学中以他的名字命名的有：辛钦定理、辛钦不等式、辛钦积分、辛钦条件、辛钦可积函数、辛钦转换原理、辛钦单峰性准则，等等。

第一讲 连续统 1
第二讲 极限 15
第三讲 函数 31
第四讲 级数 51
第五讲 导数 73
第六讲 积分 99
第七讲 函数的级数展开 127
第八讲 微分方程 150
译后记 169

　　第3版前言
　　第3 版相比第1 版变化不多，其中最主要的是我从基本引理中删去了“归纳法原理”，因此所有依赖此原理进行的证明都代之以其他. 我期望对于大多数读者而言能因此而更易于掌握本书，因为依我看来，这个原理以及赖以进行的研究，在逻辑方面对读者提出的要求，比起本书中一般采用的要更高一些.其他变化中值得一提的，只有泰勒公式的新解释以及有界变差函数这一节.
　　第1版前言
　　高等数学教程在相当多的高等院校里或多或少要讲授.所有的工科院校以及大部分军事院校、农业院校和经济院校的学生们都了解数学分析的基础,更不用说综合大学以及师范院校专门系科的学生了.所有这些在各类学校讲授的教程不仅在其范围上,而且在其赖以建立的原则、思想以及逻辑的基础上都十分不同.另一方面,从本质上讲,只有综合大学的教程才达到了较为可靠的科学水平,其余的则不得不进行压缩,只能满足或局限于科学观远远落后于现代科学的思想——逻辑基础,而有时由于大纲的限制,只能满足于有限的教学要求.
　　然而我们却时常遇到这样的情况：工程师、教师、经济学家原来是依照那种简易的教程来学习高等数学的,现在开始感觉需要拓宽自己的数学知识,且先要有更加牢固的基础.这种需要可能产生于该专家在其专业领域内的某个具体的研究,或者是由于一般的拓宽科学和生活视野而必然提出来的——不管怎样,这个要求当然应当得到满足.乍看起来做到这一点很简单：拿一本完整的数学分析教程,如Nemycki.i① 的或者Fihtengolьc② 的,然后凭借自己已有的不太牢固、不太深刻的知识来系统地钻研它.但是,经验表明,这个看似自然的途径几乎从来就不能达到目的,除少数例外,都会让学习者失望,时常就放弃了按此既定方向继续尝试.问题在于,一方面,我们的学生为了自己提出的目标一般只安排了十分有限的时间,因此研究多卷的大教程是不可能的.另一方面,可能是最重要的,他还没有坚实的科学基础且不是专业的数学家,没有人指导,不可能自己从研究中区分出哪些是原则的内容,因而可能会以全部精力注意于没有实质意义的微不足道的小事上,最终迷失方向.就像俗话所说的,只见树木,不见森林.
　　然而要完全满足这类学生的要求和需要,其实所需非常有限.几年前,我有机会讲授了一门国立莫斯科大学专门为此目的而设的课程,总共12讲,每讲两小时,学员是想要提高自己数学水平的工程师们.应当承认,起初我对此项任务几乎毫无信心,然而后来我不得不承认,我的课程满足了学员的要求,尽管它很简略.取得这个成功的诀窍在于,我找到了解决摆在我面前的教学难题的秘诀：从一开始就拒绝了充分详细地讲授哪怕只是阐述本课程某一章的想法,而只限于讲授那些具有原则性、扼要、突出、具体且使人有难忘印象的发展.我讲的更多的是关于目的和趋势、问题和方法、基本的分析概念之间的以及它们与应用之间的关系,而不是个别的定理及其证明.我宁愿在许多情况下抛开不具有原则意义的证明细节(有时是一连串定理及其证明),而让我的学员去看教科书.但要是为阐明某个有着主导作用和原则意义的概念、方法或者思想,我则不吝时间,力求用各种手段,通过各种各样的表述、直观形象等,尽可能明白而有效地把这些基本内容灌输给我的学员.我坚信：有了这种修养,他们每一个人在需要更深入地研究数学分析的某一章节时,就能够独立地找到他所需的材料,然后进行研究.就是说,可以自立地区分主要和次要、本质和非本质.
　　通过同个别学员或一组学员进行的许多次谈话以及课堂授课,使我确信自己所选择的道路是唯一正确的道路.我愿借此机会指出：大课堂上坐满了学习本课程的工程师,他们大多数直到课程结束都没有退席,这充分证明了工程师们广泛存在着要求提高自己数学知识水平的愿望.
　　这本书与我刚刚提到的那门课程都是为了同一目的,并且力求以同样的方法来实现它.因而一开始就应当告知读者：你在这里找不到大学分析教程的完整表述,或者哪怕是本课程个别选定章节的完整表述.我给自己提出的任务仅仅是给出数学分析的一般的、尽可能容易了解和记忆的基本思想、基本概念和基本方法的概述.这种概述对任何人都是容易阅读和掌握的,即使是只学过最简单的数学分析课程的人.而且一旦掌握了它,就能使你任意并独立地研究本课程的任何一部分、任何一章的所有细节.
　　我相信,国立大学数学系的许多学生阅读本书也能带来实质性的收益.问题在于,无论是教科书还是讲演者,自然要受到时间和大纲的限制,不可能充分注意原则问题的讨论,因此对阐述具体问题的所有细节必然有所限制.然而,谁都知道,有时撇开树木来观察森林是多么有好处.我希望本书能对某些未来的数学家,首先是着手研究数学分析的人有所帮助.
　　② x等,《数学分析教程》,卷I～II,国家技术理论文献出版社,1944.
　　②x,《微积分学教程》,卷I,国家技术理论文献出版社,1947.第6版有中译本,高等教育出版社,2006.——译者注