代数学I

　　代数学是数学的一个重要的基础的分支，历史悠久．我国古代在代数学方面有光辉的成就．一百多年来，尤其是20世纪以来，随着数学的发展以及应用的需要．代数学的研究对象以及研究方法发生了巨大的变革．一系列的新的代数领域被建立起来，大大地扩充了代数学的研究范围，形成了所谓近世代数学．它与以代数方程的根的计算与分布为研究中心的古典代数学有所不同，它是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律及各种代数结构——群、环、代数、域、格等的性质为其中心问题的．由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，也由于代数结构及其中元素的一般性，近世代数学的研究在数学中是具有基本性的．它的方法和结果渗透到那些与它相接近的各个不同的数学分支中，成为一些有着新面貌和新内容的数学领域——代数数论、代数几何、拓扑代数、Lie群和Lie代数、代数拓扑、泛函分析等．这样，近世代数学就对于全部现代数学的发展有着显著的影响，并且对于一些其他的科学领域(如理论物理学、计算机原理等)也有较直接的应用．.
　　历史上，近世代数学可以说是从19世纪之初发生的，Galois应用群的概念对于高次代数方程是否可以用根式来解的问题进行了研究并给出彻底的解答．他可以说是近世代数学的创始者．从那时起，近世代数学由萌芽而成长而发达．大概由19世纪的末叶开始，群以及紧相联系着的不变量的概念，在几何上、在分析上以及在理论物理上，都产生了重大的影响．深刻研究群以及其他相关的概念，如环、理想、线性空间、代数等，应用于代数学各个部分，这就形成近世代数学更进一步的演进，完成了以前独立发展着的三个主要方面——代数数论、线性代数及代数、群论的综合．对于这一步统一的工作，近代德国代数学派起了主要的作用．由Dedekind及Hilbert于19世纪末叶的工作开始，Steinitz于1911年发表的论文对于代数学抽象化工作贡献很大，其后自1920年左右起以Noether和Artin及她和他的学生们为中心，近世代数学的发展极为灿烂．
　　Van der Waerden根据Noether和Artin的讲稿写成《近世代数学》(Moderne Algebra)，综合近世代数学各方面工作于一书．全书分上、下两册，第一版于1930-1931年分别出版．自出版后，这本书对于近世代数学的传播和发展起了巨大的推动作用．到1959—1960年，上、下两册已分别出到第五版和第四版．时至今日，这本书仍然是在近世代数学方面进行学习和开展科学研究的一部好书．..
　　当然，近世代数学是不断向前发展的．20世纪30年代，当时所谓近世代数学的一些基本内容已经逐渐成为每个近代数学工作者必备的理论知识，所以本书从50年代第四版起就去掉“近世”两字而改名为《代数学》，同时做了较大的增补和改写，但仍保持着原来的基本内容和风格．至于Jacobson的《抽象代数学讲义》和Bourbaki的《代数学》等书，则出版较后而风格和内容亦有异．
　　本书的第二版曾有武汉大学故教授萧君绛先生译本，流传不广，文字亦较艰涩．华罗庚先生于1938-1939年在昆明西南联合大学讲授近世代数课程时，曾以本书上册为参考编写讲义，变动较大而非全文照译．1961年9月国内代数学工作者于北京颐和园举行座谈会时，皆认为此书新版有迅速译出之必要．经过一年，由曹锡华、万哲先、丁石孙、曾肯成、郝鈵新诸同志集体合作译出第一、二卷．今后当能对代数学的教学及科学研究起较大的推动作用．更希望国内代数学工作者在教学和科学研究实践中有自著的书籍写成出版．...
　　段学复
　　1962年10月11日
　　于北京大学数学力学系