复分析导论(第一卷)单复变函数(第4版)

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数学书籍
　　复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论，其应用领域极为广泛，在其他数学分支和物理学中均起着重要的作用。
　　 《复分析导论》（二卷本）根据作者在莫斯科大学讲授的讲义编写而成，分别涉及复分析必修课程和专业基础课的基本内容。本书是第一卷，给出了单复变函数理论的基本概念的完整叙述，并从一开始引入高维复分析中的许多重要思想，并通过单变函数的内容加以解释，为第二卷讲述高维复分析的内容做了必要铺垫。书中配备许多问题和练习，并列举了许多应用例子，有助于读者的学习。本书文字叙述极具特色，素材丰富，内容包括全纯函数及其性质、解析延拓、几何理论的基础、解析方法、调和与次调和函数等。
　　 本书可供高等学校数学、物理、力学及相关专业的本科生、研究生、教师，以及相关领域的研究人员参考使用。

《俄罗斯数学教材选译》序
第一版序言
第一章 全纯函数
§1．复平面
1．复数
2．复平面的拓扑
3．道路与曲线
4．区域
§2．单复变函数
5．函数的概念
6．可微性
7．几何的以及流体力学的解释
§3．分式线性函数的性质
8．分式线性函数
9．几何性质
10．分式线性同构与自同构
11．罗巴切夫斯基几何的模型
§4．初等函数
12．几个初等函数
13．指数函数

　　不进入复数领域而要对函数性质进行详尽的分析是难以想象的．这里有一个简单的例子：函数 在数轴的每一点上都有同样的好性质(无穷次可微)，但是它的泰勒级数 当不再收敛．停留在实数领域中并不能了解到个中原因：事实上，该级数的收敛与发散集合的分界点x=±1完全没有什么特别之处．然而只要进到复数领域情况立即就清楚了：在圆上有点在其上函数f变为无穷大，因此级数不再收敛．
　　在许多问题中必须转向考虑复变量的函数，这自然等于是从实数域转向了代数闭的复数域．令人惊讶的是，按照著名的弗罗贝尼乌斯(Frobenius)定理(1878年)，复数域是实数域的保持其代数性质的唯一可能的扩张；从而对于复数域上的函数成功构造出了一个与实变分析—样完全和严谨的分析学．
　　转向复分析便有了更深入研究初等函数并建立它们之间有趣联系的可能性．像三角函数：它们原来只个过是指数函数的简单组合，譬如cosx＝1/2这样—些在实的与“虚”的量之间的出乎意料的并且非凡的关系便显示了出来，譬如说在实分析中，仅仅对于单值函数发展了一套严谨的理论，而多值情形却常常带来了许多麻烦．复分析则解释厂多值性的本质所在，从而建立了多值函数的完美理论．
　　复分析还给出了积分计算的有效方法从而得到了渐近估值，也给出了研究微分方程解的方法，等等：能用复分析为工具来解决的问题还可以罗列出很多．另外还必须提及复变函数能够描述平面向量场，更有甚者，在复分析中特别地可以选取出那些函数，使它们对应于在应用中最感兴趣的，同时为位势的和无源的场(即散度为零的场)．因此复分析在极不相同的领域中都找到了许多的应用．
　　复分析的独有的且吸引人的特征之一是它真正的复合性．在其中分析与几何，绝对经典的与全新的课题结合了起来．各种数学分支与各种应用学科在复分析中碰在了一起．它的一些概念成了在若干领域中的许多研究课题的模型、源泉和起点，这些领域包括了泛函分析、代数、拓扑学、代数几何和微分几何、偏微分方程以及其他的数学分支．
　　复分析的原始思想出现在18世纪后半叶，首要是与列昂纳多．欧拉的名字相联系的．而大量基础性的理论则主要是由柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯在19世纪的工作所创建的．在我们当代，复分析的比较经典的部分，即单复变函数的理论，已经取得了完全现代的形式．但总又出现一些与新提出的数学课题相关的，以及与应用相关的没有解决的问题．而在相对年轻点的部分，即多复变函数理论，仍然有着相当多的空白点．这个领域与现代数学的许多不同领域具有特别丰富的联系，并越来越引起了人们的注意．
　　看来研究复分析时不仅应该熟悉单变的，还要熟悉多变的函数理论．但是这两个部分除了它们共有的(比较初等的)部分之外还具有许多互相之间在原则上相异的性质．因此至少在当今学科的发展水平上，我们还需持续不断地研究它们，但不应只是平行地进行．
　　这本书是从作者在莫斯科大学讲课的讲义中产生出来的，其中第一卷涉及的是必修课程，第二卷则是专业基础课．本书的意图是将第二卷的许多主要思想从一开始就让它们在第一卷中出现，并在那里通过更加简单的单变函数的内容加以解释．
　　写这本书的想法是A．O．盖尔丰德向我提出来的，可惜他没能看到它的成书．A．A．龚察尔仔细察看了原稿并做了许多明晰的注解．B．C．弗拉基米洛夫，Б．勒文，和A．И．马尔库舍维奇给了我一系列有益的建议：在搜集习题中，得到了B．A．卓里奇的帮助，我非常感谢我的这些同事们．我特别感谢本书的编辑E．M．奇尔克，他仔细地审阅了原稿，消弭了若干不足之处．
　　Б．B．沙巴特
　　1968年9月