数学概观

　　 本章对高等数学的大部分内容作了简明的、介绍性的论述，全书共分十二章，其中八章分别讨论数论、代数、几何及线性代数、极限、连续性及拓扑学、微分、积分、级数和概率，每章都从基本概念、基本定理开始，一直论述到当前的进展，并附有该学科的历史概况及有关的著名数学家的生平简介，重要参考书。另外还有三章分别讨论数学模型与现实，数学的应用及17世纪的数学史，最后一章讨论数学的社会学、数学的心理学及数学教学。
　　 本书内容丰富，论述严谨，可使读者了解数学的全貌、现代数学的特点及数学的应用并可提高读者对数学的兴趣。
　　 本书由胡作玄同志翻译，张燮同志初校，沈永欢同志复校。
　　 本书可供大学数学系学生、大学及中学数学教师、科技人员及数学爱好者阅读。
　　

第一章 模型与现实
1.1模型
1.2模型与现实
1.3数学模型
第二章 数论
2.1素数
2.2费马定理和威尔逊定理
2.3高斯整数
2.4一些问题和结果
2.5几段原文
第三章 代数
3.1方程理论
3.2环，域，模和理想
3.3群
3.4几段原文
第四章 几何和线性代数
4.1欧几里得几何
4.2解析几何
4.3线性方程组和矩阵
4.4线性空间

　　 试图使数学为广大公众所理解，这是一件极为艰巨的工作．作者必须考虑到读者对于不熟悉的概念和错综复杂的逻辑关系并没有什么耐心去钻研，而这就意味着要把大部分数学排除在外．
　　 我在计划写作这本书时给自己定的目标要比较容易达到．我写这本书是给已经知道一些数学的读者看的，特别是给读完高中以后在学习大学一年级数学的学生看的．本书的目的就是要给大学低年级学生所碰到的数学内容提供历史的、科学的以及文化的基本框架．从“数论”到“应用”这九章就是为达到这个目的而写的．每一章的开始都有历史的引言，接着对于一些基本事实进行紧凑而完备的论述，一直谈到所讨论的内容的当前状况，如果可能的话，也要涉及一些近代的研究工作．大多数章节都引用历史上的数学论文中的一两段话来结尾．
　　 有时读者需要参阅前面的章节，但是各章在很大程度上是彼此独立的．读者即使在一章中某个地方卡住了，也仍然能够阅读其余大部分材料．然而可以这么说，这本书并不打算让读者毫不费力地从头到尾一气把它读完．它包含了很丰富的材料，其中有些材料并不能算是初等的．例如，在代数那一章中的希尔伯特零点定理以及积分那一章中的傅里叶反演公式都是如此．这些重要的题材之所以都收到本书中，是因为在这两种情形下，根据前后文讲过的材料可以很自然地给出简单而清楚的证明来．
　　 本书的另外三章讨论更为一般的课题．头一章讨论模型与现实，最后一章讨论数学的社会学，数学的心理学以及数学教学．中间还有一章谈到17世纪的数学，它给无穷小演算(微积分)提供了一个较为完整的历史背景材料．在附录中，我简单地介绍了一下术语及记法，最后，对于如何阅读及选择数学教科书，我也提出了一些建议．
　　 卡尔·古斯塔夫·安德生和汤马斯·克莱生读过本书的初稿，干纳·布洛姆读过概率论这章．威廉·F·小唐纳格、陶尔·赫勒斯坦和查理·哈尔伯格读过本书的定稿．对于这六位朋友及批评者的非常有价值的建议，我表示衷心的谢意．
　　 L．戈丁
　　 1977年4月于隆德