数学物理方程

　　 本书是作者分别在河海大学、江苏大学、南京气象学院数学系和为工科研究生讲授"数学物理方程"的讲稿基础上，经过多次认真讨论和修改而成．
　　 本书主要内容包括偏微分方程的基本概念、三类典型方程的导出与定解问题、特征线积分法、傅里叶级数理论、分离变量法、格林函数法、积分变换法、极值原理与应用、能量积分法与应用、贝塞尔函数和勒让德函数及应用等．本书选材适当，叙述详尽，重点介绍了定解问题的各种基本解法，突出了应用性．每一章配备了较多类型的例题与习题，供读者阅读和练习。书末附有大部分习题答案与提示．
　　 本书可作为应用数学专业、信息与计算科学专业本科生和工科有关专业研究生的教学用书，也可作为从事本门课程教学的教师和有关工程科技人员参考．
　　

1 绪论
1．1 概念
1．2 三类典型方程的导出
1．3 偏微分方程定解问题的提法和适定性问题
1．3．1 定解问题的提法
1．3．2 适定性问题
1．4 叠加原理
1．5 二阶线性偏微分方程的分类和化简
1．5．1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简
1．5．2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
习题1
2 波动方程的初值问题与行波法
2．1 一维波动方程的初值(柯西)问题
2．1．1 达朗贝尔(d'alembert)公式
2．1．2 波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域
2．1．3 无界弦的受迫振动和齐次化原理
2．1．4 半无界弦的振动问题
2．2 三维波动方程的初值问题和球面波
2．2．1 三维波动方程的球对称解
2．2．2 三维波动方程的泊松(poisson)公式

　　 数学物理方程通常是指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方囊卢它不光是应用数学专业、信息与计算科学专业本科生的一门重要的专业基础课，而且是一些工科专业的本科生和研究生不可缺少的专业基础课．随着现代科学技术的发展，使得数学物理方程在理论和应用等方面的内容愈加丰富，并因此而不断加强了同其他学科的深入联系和互相渗透，从而又促进了偏微分方程的进一步研究与发展．
　　 随着国家面向21世纪课程改革计划的实施，为适应新世纪高等教育教学改革的发展要求，我们根据工科专业的教学特点与要求，参阅了国内外有关教材和文献，编写了这本更加突出应用性的教学参考书．它可以作为工科有关专业的本科生和研究生用的数学物理方程课程的教材或参考书，也可作为数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科生以及应用数学工作者、工程技术人员、科技工作者作为教学用书或参考书．学习全书需60-80学时，但有些章节是相互独立的，可根据需要取舍．数学物理方程的研究范围十分广泛，内容十分丰富．由于它的物理背景直接来源于自然现象和工程技术，所以不断地产生需要解决的新问题和新方法．在今天，数学物理方程中的一些基本理论和基本方法与技巧已经不仅仅是每一个应用数学工作者所必备的基础知识，而且是工程技术人员处理工程实际问题的常用方法；因此这门课程应是给学生提供一个数学模型的建立以至求解的数学理论与应用的课程，使学生掌握有关偏微分方程的基本理论和求解偏微分方程的各种方法与技巧．所以本书在阐述一般理论的同时，重点是根据各类定解问题及有关解法来展开讨论．我们试图把数学理论、解题方法与技巧和实际物理背景三者有机地结合在一起，对各章内容进行了细致的安排，使学生能够有条理地正确地理解所学内容．全书共分8章．第1章绪论，作为本书的开头，本章介绍了三类典型方程的导出和它们的定解问题的提法与物理背景；同时也讨论了两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类、标准型与化简．第2章介绍了用于求解波动方程初值问题的行波法(又称特征线积分法)、球面平均法和降维法．第3章介绍分离变量法，它是求解偏微分方程的最简单而应用最广泛的方法之一．在这一章里，我们首先简要复习了傅里叶(Fourier)级数理论，然后叙述了分离变量法的基本概念以及应用这个方法时所必要的可分离条件，重点放在分离变量法在求解初边值问题和边值问题中的各种应用；在本章的最后，我们简要介绍了斯图姆一刘维尔(Sturm-Liouville)理论．第4章介绍了格林(Green)函数方法，以及一些特殊区域的格林函数的构造和在边值问题上的应用．傅里叶变换和拉普拉斯(Laplace)变换是求解无界区域上定解问题的两种常用方法，我们在第5章里给出了详细，的讨论．关于定解问题的唯一性和稳定性的讨论，我们放在第6章和第7章里进行．由于满足热传导方程和拉普拉斯方程的解成立极值原理(又称最大最小值原理)，所以可用极值原理来研究这两类方程定解问题解的唯一性和稳定性．能量积分法是偏微分方程定性研究中的一种基本方法，它可用来研究解的各种估计和解的唯三性、稳定性以及解的渐近性态，这种方法对三类方程的定解问题都适用，这可以在第7章里看到．在最后一章里，我们介绍了两类经常出现在数学物理问题中的特殊函数--贝塞尔(Bessel)函数与勒让德(Legendre)函数，并讨论了其应用．
　　 对于上述内容，教师可依据教学的具体情况适当加以选取． 本书总体框架和编写大纲由编者反复讨论后确定．第1、4章由河海大学周继东和董祖引同志执笔；第2章由江苏大学杨钟海同志和河海大学陈才生同志执笔；第3、8章由江苏大学王文初和杨钟海同志执笔；第5、6、7章由河海大学陈才生同志和南京气象学院李刚同志执笔．交稿前，由陈才生同志对本书的整体编排作了统一处理．
　　 在本书的编写过程中，得到了江苏省工业与应用数学学会和东南大学出版社的大力支持，东南大学数学系管平教授给予了极大关怀，在此编者们一并深致谢忱．
　　 由于编者水平所限，错误和缺陷在所难免，恳请广大读者批评指正．
　　 编 者
　　 2002年10月