数学与猜想：数学中的归纳和类比（第一卷）

　　 本书是著名数学家G.波利亚撰写的一部经典名著，书中讨论的是自然科学、特别是数学领域中与严密的论证推理完全不同的一种推理方法——合情推理(即猜想)。本书通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，本书的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙。
　　 全书共分两卷，第一卷为数学中的归纳和类比，第二卷为合情推理模式，此册为第一卷，主要讲述数学中各种合情推理的实例。本书可供大学数学系师生、中学数学教师，数学研究人员及数学爱好者阅读。
　　

第一卷
译者的话
序言
对读者的提示
第一章 归纳方法
引言
1.经验和信念
2.启发性联想
3.支持性联想
4.归纳的态度
第一章的例题和注释，l～14.［12.是与非.13.经验与行为.14.逻辑学家、数学家、物理学家和工程师.］
第二章 一般化、特殊化、类比
1.一般化、特殊化、类比和归纳
2.一般化
3.特殊化
4.类比
5.一般化、特殊化和类比
6.由类比作出的发现
7.类比和归纳
第二章的例题和注释，1～46；［第一部分，1～20；第二部分，21～46］.［1.正确的推广.5.一个极端的特殊情形.7.起主导作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可类比的情形.18.伟大的类比.19.明确的类比.20.几位数学家的名句摘录.21.猜想e.44.对猜想的一个疑问和证明的第一步尝试.45.证明的第二步尝试.46.类比的危险.］

　　 没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。
　　 ——牛顿(Newton)
　　 要想成为一个好的数学家，...，你必须首先是一个好的猜想家。
　　 ——波利亚(Polya)
　　 C．波利亚是当代深孚众望的数学家、教育家．他1887年12月13日生于匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学，获博土学位． 1914年曾在苏黎世著名的瑞土联邦理工学院任教．1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授，1985年卒于美国，享年98岁．他一生发表过二百多篇论文和许多专著．他在数学的广阔领域里有极精深的造诣，不愧为一位杰出’的数学家；而且他还热心于教育，十分重视从小培养学生思考问题、分析问题的能力，他善于把抽象的数学研究与教学实践结合起来，也不愧为一位优秀的教育家．我国老一辈著名数学家中有人曾聆听过他的讲课，对他的数学教学艺术十分赞赏．
　　 他写过一套提高与普及相结合的书，其中影响较大的有《怎样解题》、《数学的发现》(一、二卷)、《数学与猜想》等．这些堪称姊妹篇的著作相继出版后，曾在美国风靡一时，受到广泛的欢迎和推崇．此后被译成多种文字，被誉为第二次世界大战后出现的经典著作之一．
　　 这本《数学与猜想》，早在六十年代初期我国就有人想把它译成中文，由于种种原因未能实现．今天把它翻译出版，不但遂了人们的心愿，也表达了我们对G．波利亚教授的纪念。在这次翻译中得到了我国一些著名数学家的关注和支持．这是一本谈古论今、内容丰富多彩、启发读者去提炼问题、研究问题、讨论问题、直至检验问题的书． 读起来使人感到妙趣横生、引人人胜，能使人看到数学中真正的内在美．作者写这套书的一个直接动机，就是为了改善当时美国中学的数学教学水平，他想对学习数学的学生和从事数学工作的教师在一个重要的、但通常被忽视的方面提供一些帮助．而这些我们认为也适合我国今天的某些实际情况．因此本书对我国的中学生、中学数学教师、大学生乃至大学数学教师、专业数学研究工作者和对数学有兴趣的人们都会有所裨益．正如作者所指出的：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志．然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作赖以进行的那种推理．”“要成为一个好的数学家，…，你必须首先是一个好的猜想家．”牛顿也曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．”
　　 学习数学和研究数学令人最感到困惑也是最引人人胜的环节之一，就是如何发现定理及怎样证明定理．特别是对初学者来说尤其如此．数学上的发现及证明不仅要从数学本身，而且要从数学以外的有关知识和实践得到启发，这是很重要的．这种启发往往是发现及证明的前导，波利亚还把“从最简单的做起”当作座右铭，这又为启发性的前导提供了立足点．这大概就是所谓“合情推理”的模式．而猜想又是合情推理的最普遍、最重要的一种，归纳也好，类比也好都包含有猜想的成份．然而猜想可以打开人们思想的闸门，从物理的、生物的、天文的、地理的乃至大自然的以及数学本身的等等……，总之根据人们的日常生活、经验、实践及各方面的知识对要进行科学论证的问题加以“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的改造和制作”，以期获得欲达之目的． 说得直接了当一点，合情推理就是猜想，因此我们没有把本书书名《Mathematics and plausible reasoning》译作《数学与合情推理》而迳直译作《数学与猜想》，以便更通俗醒目一些．
　　 阅读本书并不需要高深的数学基础，只要有初等代数和几何以及不多的微积分知识就能够读懂绝大部分，个别需要微积分以上知识的部分，作者都提出了学习方法和参考文献．本书其他方面的特点和阅读时应该注意的问题，作者大都在“序言”及“对读者的提示”中谈及，兹不赘述。
　　 在此应该说明的一点是，本书中有关译名均采用《英汉数学词汇》(科学出版社，1978)一书中的规范化译法，有关人名，则在书中第一次出现时注出了原文．故我们没有在书后再编录入名和名词索引．
　　 也应该指出，本书所引用的名人语录和有些观点是值得商榷
　　的，但我们相信读者会正确地去分析对待它．
　　 最后，我们诚挚地感谢中国科学院院士王梓坤教授对译稿的审阅．
　　 译 者
　　 于北京航空空航天大学
　　

　　 本书有彼此紧密联系的各种目的．首先，想给学习数学的学生和从事数学工作的教师在一个重要的但却通常被忽视的方面提供一些帮助．然而，在某种意义上说本书也是一种哲学论述．本书又是一部续篇，而且它本身也还要有续篇．我将逐一地谈到上述各点．
　　 1．严格地说，除数学和论证逻辑(其实它也是数学的一个分支)外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的．当然，有种种猜想．有表述成物理科学中某些一般定律的非常可贵而又可靠的猜想．也有另外—‘些既不可靠又不可贵的猜想，其中有一些当你在报纸上读到它时不禁会使你愤怒．而介于上述两种猜想之间还有各种各样的猜想、预感和推测．
　　 我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据．一个数学上的证明是论证推理，而物理学家的归纳论证，律师的案情论证，历史学家的史料论证和经济学家的统计论证都属于合情推理之列．
　　 这两种推理之间的差异相当大而且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的．合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的．论证推理在科学中的渗透深度恰好和数学在科学中的渗透深度一样，但是论证推理本身(如数学本身那样)并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识．我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理．论证推理有被逻辑(形式逻辑或论证逻辑)所制定和阐明的严格标准，而逻辑则是论证推理的一种理论．合情推理的标准是不固定的，并且这种推理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认．
　　 2．关于这两种推理还有一点也是值得我们注意的．众所周知，数学提供了一个学习论证推理的极好机会，但是我还要着重指出，在学校惯常的课程中，还没有一门能提供类似的机会来学习合情推理．现在，我要向各年级所有对数学有兴趣的学生提出：的确，我们应该学习证明法，但我们也要学习猜测法．
　　 这听起来似乎有点矛盾，因此我必须强调说明几点以免发生误会．
　　 数学被人看作是一门论证科学．然而这仅仅是它的一个方面．以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的．在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路．你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试．数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的．只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置．
　　 正如我们说过的，有两种推理：论证推理和合情推理．在我看来它们互相之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的．在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试．而在合情推理之中，首要的事情是区别一种推测与另一种推测，区别理由较多的推测与理由较少的推测．如果你把注意力引导到这两种区别上来，那么就会对这两者有更清楚的认识．
　　 一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门科学的特殊标志．然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理．一般的或者对数学有业余爱好的学生也应该体验一下论证推理：虽然他不会有机会去直接应用它，但是他应该获得一种标准，依此他能把现代生活中所碰到的各种所谓证据进行比较．然而在他的所有工作之中他必将需要合情推理．总之，一个对数学有抱负的学生，不管他将来的兴趣如何，他应该力求学习两种推理：论证推理和合情推理．
　　 3．我不相信有十拿九稳的方法，用它可以学会猜测。不管怎么说，即使有这样一种方法，我至少也是没有听说过，而且我肯定不自命为能在下文中提出这种方法．有效地应用合情推理是一种实际技能，并且像任何其他实际技能一样，要通过模仿和练习来学会它．我将为渴望学习合情推理的读者尽最大努力，然而我所能提供的也仅仅是供模仿的例子和练习的机会．
　　 在本书中，我将时常讨论数学里大大小小的发现．我不可能讲怎样得出这些发现的真实过程，因为没有人真正知道它．然而我将力求写出一个发现可能是如何产生的过程来．我还想强调指出获得发现的动机，导致发现的合情推理，总之，想强调指出值得模仿的任何事情．当然，我力求把内容讲得生动些使读者留下印象；这是我作为教师和作者的义务．然而我将在关系重大之处对读者完全诚实：我只是想把看来是真实的并且是对我有帮助的东西讲得能使读者留下印象．
　　 每章后面都有例题和注释．注释所阐述的内容相对正文来说是过于专门或者是太微细了，有的则是偏离了主题的一些东西．某些练习给读者以机会来重新细致地考虑在正文中只是概略地叙述过的内容．然而大多数练习使读者能得出他自己的合情结论．在着手解章末所提出的较为困难的问题之前，读者应该仔细地阅读这章的有关部分，并且也应该看一下邻近的问题，前者或后者之中可能包含着解决问题的线索．为了提供(或埋伏)这样的线索，使读者在学习上受益最大，我不仅在提出问题的内容和形式上，而且也在问题的先后次序安排上花了许多心思．事实上，我在仔细考虑这些问题的安排上所花的时间和心思，要比局外人所能想像的或认为必要的要多得多．
　　 为了扩大读者的范围，我力求用尽可能初等的例子来说明每个重要的论点．然而在有些情况下我不得不举出不太初等的例予以便使我的论点足以令人难忘． 诚然，我觉得我也应该举出有历史价值的例子，有真正的数学美的例子，并举出在其他科学方法或日常生活中有类似做法的例子．
　　 我应该再加一句，就许多所讲的发明过程而言，其最终形式是通过某种非正式的心理学实验而得出的．我向不同班级的学生讲述同一内容，在讲课过程中常常向他们提出诸如这样的问题：“那么，你在这种情况下该怎么办?”下文中的有些段落是基于我的学生们的回答写成的，或者根据课堂上学生的反应以某种别的方式修改了我的原来的讲法．
　　 简而言之，我想利用我在研究工作和教学工作上的全部经验，给读者以适当的机会，来作有意义的模仿和进行独立的工作．
　　 4．收集在本书中的合情推理的例题还有其他用处：它们可以帮助说明一个有很多争议的哲学问题：归纳法的问题．关键的问题是：归纳有没有一定的法则?有些哲学家说有，而多数科学家则认为没有．为使讨论能得出有益的结果，应该改变问题的提法。它应该作不同的处理，而且不那么依靠传统的语言或新奇的形式，但更紧密地与科学家的实践相联系．现在，我们要指出，归纳推理是合情推理的一种特殊情况，还要指出(现代作者几乎忘记了的，但是一些较老的作者，诸如欧拉和拉普拉斯都清楚地认识的)归纳论据在数学研究中的作用是与它在物理研究中的作用相类似的．然后，你会注意到，通过观察和比较数学中合情推理的例子，就有可能获得关于归纳推理的一些知识． 因此，这就为归纳性地研究归纳法敞开了大门．
　　 当生物学家想要研究某个一般性问题，譬如说，遗传学的问题时，最重要的是他应当选择某些特定品种的植物或动物，以便于对他的问题很好地进行实验研究．当化学家打算研究某个一般问题，譬如说，关于化学反应的速度问题时，最重要的是他应该选择某些特定的物质，使其便于用来做那种与他的问题有关的实验．在任何问题的归纳研究中，选用合适的实验材料是极为重要的．从各方面看来，我以为数学是研究归纳推理的最合适的实验材料．这个研究包含着可以说是某种心理实验的东西：你必须体验各种不同的证据会怎样影响你对一个猜想的信念．多亏数学课题固有的简单性和明了性，使之比起任何其它领域的课题更宜于做这类心理实验．在下面的篇幅中读者能够找到使自己确信这一点的充分机会．
　　 我认为考虑合情推理这个更一般的思想比考虑归纳推理的特殊情况更具有哲学意味． 在我看来，本书所收集的例题能引导读者对合情推理有一个明确的、颇为令人满意的认识．然而我并不想强迫读者接受我的观点．其实，甚至在第一卷中我并没有叙述我的观点． 我要让例子自己讲话．然而，第二卷的前四章则专用于合情推理的更明确的一般性讨论．在那里我将正式地叙述由前面例子所提示的合情推理的模式，并试图把这些模式系统化并评述它们彼此之间以及与概率思想的某些联系．
　　 我不知道这四章的内容是否值得称作是哲学，如果这是哲学的话，那它当然是一种相当低级的哲学，因为它所关心的是解释具体例题和人的具体行为，而不是要说明一般性原理．当然，我更不知道我的观点最终会得到什么评价．然而我感到颇为自信的是我的例题对于学习归纳法或合情推理的任何有理智的但没有太大偏见的学生，对于凡是希望根据可密切观察的事实而形成自己观点的人，都会有用的．
　　 5．我总是把这部论述《数学与猜想》的著作当作一个整体，它自然地分成两部分：《数学中的归纳和类比》(第一卷)和《合情推理模式》(第二卷)．为了方便学生，本书分两卷发行．第一卷与第二卷完全无关，但是我想对许多学生来说在阅读第二卷之前还是应当细致地读完第一卷． 本书的第一卷有更多的数学“内容”，它为第二卷中归纳法的归纳性研究提供了“依据”．一些在数学方面相当成熟和很有经验的读者可能想直接去读第二卷，因此分两卷将是方便的． 为便于查阅，贯穿两卷的章号是连续编排的．我没有提供索引，因为，如有一份索引，就将会使术语变得严格生硬，本书这种无索引写法，会使术语的运用更灵活便当．我相信，对于本书来说，目录将提供一个令人满意的导引．