数学的原理与实践

　　 《数学的原理与实践》是由美国在大学及中学数学教育方面颇有影响的数学及其应用联合会(COMAP)组织并指导编写的一本改革教材。出版前在美国许多大学进行试教，作了多次修改。它是一门全新设计的大学数学入门课程的教材，内容涉及数学的诸多分支。书中介绍了数学在日常生活和现在科学技术中的广泛应用，以引起学生学习数学的兴趣和动力。在内容的展开上，本书不追求理论的全面与完整，而重视背景和原理的介绍。本书还突出数学模型的作用，体现数学实验的重要性。
　　 本书可供我国大学师生用作数学参考书，也可供中学教师，科技人员以至有中学文化水平以上的读者阅读。
　　

第1章 变化
1．1 引言
1．2 序列和差分
1．3 差分表的性质和应用
1．4 用差分方程对变化建模
1．5 求解线性齐次差分方程
1．6 非齐次线性差分方程
1．7 一阶非线性差分方程
1．8 差分方程组
1．9 和与级数
1．10 转向微积分
第1章习题
第2章 位置
引言
2．1 向量
2．2 坐标系
2．3 平面和空间中的向量代数
2．4 直线、平面和圆
2．5 遥感和定位
2．6 最优化和n维空间

　　 美国数学及其应用联合会(COMAP)从1991年起组织有关专家花了近五年的时间编写了本书．本书在交付出版之前曾在美国一些大学进行试用，并作了多次修改．COMAP在美国数学教育界的影响正在增大，这不仅是由于它是美国大学生数学建
　　模竞赛(MCM)以及行将开展的中学生数学建模竞赛(HiMCM)的组织者，更由于它组织许多专家、大学教师编写了众多的大、中学数学教学单元(UMAP Modules和HiMAP)和教材，以及培训师资的教材(包括电视教材)，并被许多大学和中学采
　　用，此外，COMAP的埋头苦干的精神也为人们所赞赏．
　　 他们为什么要编写本书，已经在序言中作了说明，重要的一个原因是为了扭转美国大学生不愿选学数学系开设的课程这一现状．他们认为大学生进入大学后首先应该学习的是像本书这样的数学课程，即从“总体”上，从与日常生活密切相关的活动中了解数学及其应用，从而产生学习的动力，再去学习微积分等课程．当然，在相当程度上这是一种良好的主观愿望．
　　 我们为什么要翻译本书呢?主要也是基于我们对数学的极端重要性的认识以及对大学数学教学中某种“滑坡”现象的担忧．众所周知，数学是科学的语言，数学是一切科学和技术的基础，数学是我们思考和解决问题的工具．在我国从小学到大学，数学都是最受重视的课程，这是非常值得庆幸的，但是，我国数学课程的教学效果同样是不能令人满意的，数学课程面临愈来愈大的缩减课时的压力，时间少、内容多导致教学中的诸多矛盾，学生学习的兴趣也随之下降，我们认为学习、掌握并能灵活应用数学的道路是多种多样的，甚至可以说是“条条大路通罗马”．先透彻掌握数学的理论再去从事实际的应用，并非不可行，我们甚至可以举出许多例子来佐证．然而，这毕竟不是普遍现象!数学的发展本身始终是和社会、科学及技术的发展紧密相联的．只是随着中学和大学的学院化，数学教学
　　与现实才逐渐相分离．当今这种只讲数学的抽象定义、定理、证明的教学已被愈来愈多的人提出疑义，因为它造成相当多的学生觉得这样学习数学枯燥无味，从而愈来愈失去兴趣，应付了事．这对于培养有竞争能力的学生来讲当然是十分不利的．领导、教师和学生都觉得改革势在必行，但又都觉得改革太难、风险太大．扭转这种局面并没有灵丹妙药，唯一的办法是脚踏实地地进行教改实践．我们觉得我国的数学师资队伍理论素质总体上是很高的，对学生的情况也很了解，这是改革的有利条件．问题是要让我们的教师开扩思路，了解国内外改革的动向，从而结合自己所处的情况作出判断和反应，在自己的教学实践中局部地进行切实的改革．我们认为本书传递了不少改革的信息，值得向我国广大数学教师介绍．
　　 促使我们翻译本书的另一个原因是，我们认为教育改革不仅仅是教育战线领导、教师、学生的事，它需要全社会的支持，数学教育改革尤其如此．“让社会了解数学”是一项十分重要而又迫切的任务，只有全社会(从政府领导、企业家到普通的工人农民)真正认识到数学的极端重要性时，数学教育改革才能真正顺利地开展．本书对于面向社会宣传“数学就在我们身边”来说，也提供了许多亲切、易懂的材料．我们相信不仅是大学的师生，而且中学教师、科技人员，以至有中学以上文化水平的读者都会对本书或其中的某些章节感兴趣．
　　 我们在决定翻译本书的同时组织了讨论班，大体上报告了本书的主要内容和思路，在具体的翻译过程中更确切地了解了本书的特点．我们认为本书有以下特点：
　　 1．尽量用与当今社会生活和现代科技密切有关的实例，在中学数学的基础上来讲解有关的数学，从而使人感到数学确实有用，更认识到要真正解决各种实际问题必须要掌握更多的数学．
　　 2．尽量突出数学建模的思路．
　　 3．一定程度地体现了数学实验和运用计算机的重要性，即通过学生自己做实验，有所发现，从而导致对某些结论的猜测。并自己从数学上严格证明或否证这些猜测，从而真正领会数学的原理和方法．
　　 4．本书并不追求理论全面完备，更不追求处处滴水不漏的严格数学证明．
　　 当然，本书也有不少缺点，由于各章作者不同，因而体例往往不同，有的写得非常口语化；论述不严密、笔误、印刷错误不少，习题及答案中也发现错误．我们在翻译过程中力求改正之．
　　 由于本书涉及很多应用领域，又与很多美国的社会、文化背景有关，这就给翻译和理解带来了很大的难度．为此，我们一方面努力钻研，互相切磋，请教各方面的专家，以确保翻译的准确性，与此同时，为了便于读者更好地理解正文，我们在适当的地方尽量加上译注．即便如此，限于我们自身的水平，以及翻译时间的仓促，本书难免会有不妥和不尽如人意之处，诚恳地希望读者批评指正．
　　 需要说明的是，本书在量与单位的使用上保留了原书的用法，而且为了便于阅读，有些单位符号采用中文符号．
　　 在翻译过程中，高等教育出版社的张小萍同志以及该社的特约编辑沈海玉同志仔细审阅了译稿，提出了许多宝贵的意见，从而大大提高了译稿的质量，我们谨向他们表示衷心的感谢．翻译工作也得到了北京理工大学应用数学系领导的大力支持，在此一并表示感谢．
　　 本书的序言、第1、8章由叶其孝翻译(赵燕平翻译了8．1节的初稿)，第2、6章由方丽萍翻译，第3章由沈以淡翻译，第4章和第5章的1～4节及推荐读物由申大维翻译，第5章的5～6节、第7章和附录由何伟翻译，第9章由杨国孝翻译．整个翻译的组织工作由申大维负责．
　　 译 者
　　 于北京理工大学
　　 1998年4月

　　 《数学的原理和实践》是我们为了改变大学数
　　学课程而编写的一本革命性的教材．这样的变革
　　起因于两个方面：为了扭转现状及实现对未来的想
　　法．为什么我们这些在COMAP(Consortium for
　　Mathematics and Its Application(数学及其应用联
　　合会)*，工作的人认为现在正是通过本教科书
　　——它毕竟引进了一种全新的大学数学的入门课
　　程——的准备来激起改革的时候呢?
　　 在我们这一技术复杂的世界里，数学具有关键
　　性的重要作用是无可争辩的，而且新应用的可能性
　　几乎是无止境的．但是在大学水平上，很少把这种
　　令人兴奋的情况传达给学生．当前，注意力集中在
　　传统的大学入门课程微积分的改革上．没有人会
　　怀疑连续数学的重要性和优美．然而，无论改革与
　　否，微积分都是一个内容极为丰富的学科的一个分
　　支(而且是一个高度技术性的分支)．我们知道数
　　学学科的广度和内容的丰富性，那么，我们怎么能
　　期望刚刚开始学习的大学生获得这样的领悟呢?
　　 在寻求对这一问题的回答时，我们发现了一个
　　贯穿于大学科学课程的早已存在的模式．每个科