微分流形初步（第二版）

　　 微分流形是20世纪数学的有代表性的基本观念，是描述许多自然现象的一种空间形式。本书是微分流形理论的入门教材，是联系经典数学和当代数学文献的桥梁，主要内容是介绍微分流形的基本概念和例子、微分流形上的光滑切向量场、光滑张量场、外微分式的运算和性质，以及黎曼流形、李群、微分纤维丛的初步知识。全书的叙述深入浅出，平易流畅，重点突出，强调几何背景，着重介绍在微分流形上如何通过局部坐标系来处理大范围定义的数学对象。通过本书的学习，会在微分流形的理论和应用方面打下坚实的基础，并且为学习当代数学文献创造条件。
　　 本书可供综合大学、高等师范院校数学系研究生和高年级本科生作为“微分流形”课，或“黎曼几何引论”课，或“近代微分几何”课的教材，也可供力学、理论物理等相关学科的学生、教师和研究工作者参考。
　　

第一章 预备知识
§1 n维欧氏空间
§2 光滑映射
§3 曲纹坐标
§4 张量
§5 外代数
习题一
第二章 微分流形
§1 微分流形的定义
§2 光滑映射
§3 切向量和切空间
§4 子流形
§5 进一步的例子
1°grassmann流形
2°环面tr和klein瓶
3°一般线性群及其子群
4°黎曼曲面
5°力学中的例子
§6 可定向微分流形和带边流形
1°流形的定向

　　 在数学的发展过程中，综合与分析的方法始终是一对矛盾的两个方面．当前，在数学的各个分支学科已经分得很细的状况下，数学发展的势头看来是朝着在更高层次的综合方向发展．最有希望的是交叉学科、边缘学科，在这里，几何学起着基本的作用．数学界普遍认为在数学系本科的教学计划中应充实和加强几何学内容．几何学不仅广泛地用于复分析、非线性分析、偏微分方程、拓扑学、微分拓扑学、概率论、随机过程、数学物理和力学等分支学科，反过来这些分支学科也大大地促进了几何学本身的发展．黎曼几何自1854年问世以来，已经历了差不多150年，它在广义相对论中有成功的应用．特别是20世纪30年代以后，大范围微分几何登上了舞台，其里程碑就是陈省身关于黎曼流形上Gauss—Bonnet定理的内在证明．自此以后，微分流形、纤维丛理论成为数学工作者应该具备的知识．陈省身教授1953年在芝加哥大学开设的课程和讲义《微分流形》(见参考文献[22])在相当长时间内成为学习微分几何的蓝本，好几代几何学家就是在陈省身教授的课程和讲义的影n向下成长起来的．他在1978年在北京大学开设的“微分几何”课以及随后出版的《微分几何讲义》(见参考文献[2])在我国培养新一代数学工作者的过程中起着同样重要的作用．
　　 北京大学数学科学学院有很多专门方向都以微分流形的知识为基础，因此很多专门方向的课程在开头部分都要单独讲一段“微分流形”．1990年北京大学数学系在修订教学计划时把“微分流形”列为数学系各个专业本科生的选修课，目的是把这部分内容作为各个专门方向的公共基础，一方面避免了不必要的重复，使得各个专门方向的课程可以提高它们的起点，另一方面把这部分内容从研究生课程下放到本科，普及了微分流形的理论，加强了数学系本科的几何学教学．我们对于这门课的设想是介绍微分流形的基本概念和例子，使学生熟悉微分流形上光滑切向量场、外微分式的性质和运算，并初步了解微分纤维丛等概念．用一句不很贴切的话来说，这是关于微分流形上的微积分的一门课，是数学分析、高等代数、解析几何等基础课程的必要的延伸和补充，是联系经典数学和当代数学文献的桥梁．学习的重点是如何处理在微分流形上大范围定义的对象．
　　 经过多年的实践，我们觉得把陈省身、陈维桓著的《微分几何讲义》(即[2])一书中的一、二、三、六等章作为本课程的教学内容是适当的．目前这本教材就是以此为基础结合多年的教学实践写成的．考虑到这门课是数学系本科高年级学生的选修课，也是研究生一年级的必修课，我们尽可能把概念表述得比较具体，比较直观，更多地与欧氏空间中已经熟悉的概念联系起来．例如，在本书我们把光滑流形上的光滑切向量场定义为在光滑流形上每一点都指定了一个切向量，并且当它在局部上用自然标架线性表示时，其分量是局部坐标的光滑函数．这样的概念与我们平常对于光滑切向量场的了解是一致的．然后，在此基础上把光滑切向量场看成作用在光滑函数上而获得光滑函数的映射．后者是现在所流行的关于光滑切向量场的不用坐标的定义．当然，后一种说法有很多应用；但是，前一种讲法更加直观，更贴近我们已有的知识．我们的目标之一是建立这两者之间的联系．在当前的文献中，无坐标的处理似乎成为一种时尚．但是我们认为，至少是在基础课上，采用局部坐标的讲法有助于学生理解抽象概念的实质，也有利于提高学生的计算能力．我们在本书采用两者相结合的办法，重点是强调局部坐标的功用．
　　 本书有两种用途：一是作为“微分流形”课的教材，而在该课程基础上再开设“黎曼几何引论”课；二是作为“黎曼几何”课的教材，这比较适用于对黎曼流形只需要有一般性了解的各个专门研究方向的学生．“微分流形”课作为周学时为3(或4)的一学期课程，要讲完本书的全部内容显得有些困难；况且我们在有些章节的最后时常会提到一些有关的重要概念和结论，没有作详细的解说，目的是帮助读者了解这个课程的应用及后续发展，供读者自学．因此，我们建议“微分流形”课的内容由以下章节的主要部分组成：
　　 第一章，
　　 第二章 §1-§4，§6，
　　 第三章 §1-§4，
　　 第四章 §1-§3，§5，
　　 第六章 §1，§2，§5．
　　其余部分可以作为自学和参考的材料．“黎曼几何”课的内容可以由下列章节组成：
　　 第一章，
　　 第二章 §1-§4，§6，
　　 第三章 §1-§5，
　　 第四章 §1-§3，§5，
　　 第五章．
　　 陈省身教授在“微分几何的过去与未来”一文(见[2])中指出：
　　 “要研究整个流形，流形论的基础便成为必要．流形内的坐标是局部的，本身没有意义；流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质(如切矢量，微分式等)．这是与一般数学不同的地方．这些观念经过几十年的演变，渐成定型．将来数学研究的对象，必然是流形；传统的实数或复数空间只是局部的情形(虽然在许多情形下它会是最重要的情形)．”
　　 本书在实质上是[2]的一、二、三、六章的扩充．我们力图使本书能够比较好地贯彻陈省身教授的上述观点．我们期望本书符合数学课程内容改革的方向，对数学系学生有用，同时也对想初步了解微分流形的非数学系学生有用；不仅可以供数学系本科高年级学生使用，更应该是数学研究生的必读教材．
　　 本书的写作是在首届国家教委数学与力学教学指导委员会几何、拓扑教材编审组的推动下完成的．全书的纲要及第一章——第四章的初稿曾分别经过几何、拓扑教材组的讨论．作者在此对几何、拓扑组组长胡和生院士及全体成员表示衷心的感谢．在本课程的设计和形成的过程中得到姜伯驹院士和北京大学数学科学学院钱敏教授，郭懋正教授，张筑生教授的关心、支持和建议；另外，文兰教授，刘张矩教授也分别讲过该课程，提供了不少宝贵的意见和经验，作者对他们表示深切的感谢．莫小欢博士也仔细地阅读过本书第一章——第四章的初稿，并且提出了一些改进意见，作者在此表示感谢．在本书交稿之后，复旦大学数学系潘养廉教授对全稿作了仔细审阅；责任编辑胡乃炯对全书的编辑付出了辛勤的劳动，作者对他们表示感谢．最后，在本书写作和修订过程中作者一直得到国家自然科学基金会的支持(项目号19571005和19871001)，在印成内部讲义时得到北京大学教材建设委员会的支持，使得本书的写作和内部讲义的印刷能顺利地进行，在此对他们一并表示感谢．
　　 本书第一版在1998年问世后，受到数学界和教育界的广泛重视．现在，本书由教育部推荐为全国研究生数学教材，作为第二版重新出版．尽管本书的内容在北京大学数学系讲过多次，而且已经过认真的订正和修改，但是限于作者的水平，本书中需要改进之处、不妥当之处、甚至于错误都可能是存在的．作者诚恳地希望读者能不吝指正．

　　 我国数学界已经逐渐形成一种共识，应当加强几何学的教学．数学科学虽有众多的分支，却是有机的统一．几何的、代数的、分析的方法相辅相成，使现代数学成为人类认识世界、改造世界的锐利武器．几何学的对象比较直观，比较接近人们的生活经验，所以更能激发开创性思维．数学历史上许多划时代的新思想，如无理数的发现，公理化方法的起源，坐标方法的提出，非欧几何的诞生，空间观念的演变，对整体性质和行为的关注，非线性数学的兴起等等，都首先发生在几何学的沃土上．然而从50年代到70年代我国大学的几次教学改
　　革中，几何课程曾被一再削弱．当时吴光磊先生就一语双关地批评这种现象为“得意忘形”，历史的发展证明他是有远见的．今天，数学科学发展的大趋势是走向综合，几何学的观点、方法、语言正在大规模地向其他数学分支渗透．而在高新技术发展的过程中，几何学的原理又得到了空前的应用．无论是在计算机图形学、CT扫描或核磁共振成像、视觉信息处理，还是在机器人、虚拟现实、数字仿真技术，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论．当前，在面向21世纪的教学改革中，既要拓宽基础，又要削减课时，课程设置面临很大的压力．我们应该记取过去走过这段弯路的教训，千万不要忘记几何素养是数学素养的非常重要的方面．
　　 微分流形是描述无数自然现象的一种空间形式，是20世纪数学的有代表性的基本观念．就像欧氏空间与古典分析的关系一样，微分流形为当代非线性分析的蓬勃发展提供了舞台和语言，它本身就集几何、代数、分析于一体．从80年代以来，不少学校在不同学科不同层次的专门课程中都要讲一点微分流形，从而产生了单独设课的要求．陈维桓教授的《微分流形初步》就是为这样的需要而写的教材，经过多年教学实践的锤炼已经比较成熟．入门的书比专门的书难写．这本书不是单为研究几何学的人，而是为一般的学数学的本科生和研究生写的，所以它的出版对加强几何的教学会起很好的作用．希望同学们一定要在老师的帮助下，在学习抽象概念的同时掌握具体的例子，从简练的公式背后看出丰富的图形，逻辑的理解与形象的认识并重．能够举一反三，才算真正学好．
　　 姜伯驹
　　 1998年2月