《线性代数》
序
第3版前言
第2版前言
第1版前言
第1章行列式1
1.1行列式的定义1
1.1.1二阶、三阶行列式1
1.1.2数码的排列3
1.1.3n阶行列式的定义5
历史寻根：行列式8
习题1.18
1.2行列式的性质8
习题1.214
1.3行列式的展开定理14
1.3.1余子式和代数余子式14
1.3.2行列式按行（列）展开定理15
*1.3.3拉普拉斯（Laplace）展开定理18
背景聚焦：解析几何中的行列式20
习题1.321
*1.4行列式的计算22
1.4.1利用行列式的定义22
1.4.2化为上（下）三角形行列式23
1.4.3利用行列式展开定理23
方法索引：数学归纳法24
1.4.4数学归纳法24
历史寻根：范德蒙25
1.4.5递推法26
1.4.6升阶法（加边法）26
1.4.7利用已知行列式27
1.4.8综合例题28
习题1.430
1.5克莱姆（Cramer）
法则30
历史寻根：克莱姆34
习题1.534
总习题一35
第2章矩阵39
2.1矩阵的定义与运算39
2.1.1矩阵的概念39
历史寻根：矩阵41
2.1.2矩阵的加法41
2.1.3数乘矩阵42
2.1.4矩阵与矩阵的乘法43
2.1.5方阵的幂运算46
2.1.6矩阵的转置47
2.1.7共轭矩阵48
背景聚焦：天气的马尔可夫（Markov）链48
习题2.149
2.2几种特殊的矩阵50
2.2.1对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵50
2.2.2上（下）三角形矩阵51
2.2.3对称矩阵和反对称矩阵51
2.2.4基本单位矩阵53
习题2.253
2.3可逆矩阵54
2.3.1方阵的行列式54
2.3.2方阵的逆56
2.3.3矩阵方程59
背景聚焦：矩阵密码法60
习题2.361
线性代数第3版目录2.4矩阵的分块62
2.4.1矩阵的分块及运算62
2.4.2可逆分块矩阵67
习题2.469
2.5矩阵的初等变换与初等矩阵69
2.5.1矩阵的初等变换70
2.5.2初等矩阵71
2.5.3初等矩阵与初等变换73
2.5.4用初等变换的方法求逆矩阵74
习题2.576
2.6矩阵的秩77
2.6.1子式77
2.6.2矩阵的秩78
2.6.3初等变换求矩阵的秩78
2.6.4几个常见的结论81
历史寻根：凯莱82
习题2.683
总习题二83
第3章向量与线性方程组87
3.1线性方程组解的存在性87
3.1.1高斯（Gauss）消元法87
3.1.2线性方程组解的存在性89
历史寻根：线性方程组94
习题3.195
3.2向量组的线性相关性96
3.2.1n维向量的概念96
3.2.2线性表示与线性组合98
3.2.3线性相关与线性无关99
3.2.4线性相关性的几个定理100
历史寻根：向量102
习题3.2103
3.3向量组的秩103
3.3.1向量组的等价104
3.3.2极大线性无关组与向量组的秩105
3.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系107
习题3.3110
3.4向量空间111
3.4.1向量空间的概念111
3.4.2基、维数与坐标112
3.4.3子空间及其维数114
习题3.4116
3.5线性方程组解的结构116
3.5.1齐次线性方程组解的结构116
3.5.2非齐次线性方程组解的结构120
习题3.5124
总习题三125
第4章矩阵相似对角化129
4.1欧氏空间Rn129
4.1.1内积的概念129
4.1.2标准正交基131
4.1.3正交矩阵及其性质135
习题4.1136
4.2方阵的特征值和特征向量137
4.2.1特征值和特征向量的基本概念137
方法索引：求实系数多项式的实根138
4.2.2特征值的性质139
背景聚焦：特征值与Buckey球的稳定性142
4.2.3特征向量的性质142
历史寻根：特征值和特征向量144
习题4.2145
4.3矩阵相似对角化条件145
4.3.1相似矩阵145
4.3.2矩阵可对角化条件147
4.3.3矩阵相似对角化的应用149
背景聚焦：工业增长模型151
习题4.3152
4.4实对称矩阵的相似对角化153
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量153
4.4.2实对称矩阵相似对角化153
背景聚焦：面貌空间157
习题4.4157
*4.5Jordan标准形介绍158
4.5.1Jordan矩阵158
4.5.2Jordan标准形定理159
4.5.3Jordan标准形的求法160
历史寻根：矩阵论165
总习题四166
第5章二次型169
5.1二次型及其矩阵表示169
5.1.1基本概念169
5.1.2线性替换171
5.1.3矩阵的合同172
历史寻根：二次型172
习题5.1173
5.2化二次型为标准形173
5.2.1正交替换法174
5.2.2配方法176
5.2.3初等变换法178
习题5.2180
5.3化二次型为规范形181
5.3.1实二次型的规范形181
5.3.2复二次型的规范形183
习题5.3184
5.4正定二次型和正定矩阵184
5.4.1基本概念185
5.4.2正定二次型的判定185
5.4.3正定矩阵的性质191
5.4.4其他有定二次型192
习题5.4193
总习题五194
*第6章线性空间与线性变换197
6.1线性空间的概念197
6.1.1线性空间的定义与例子197
6.1.2线性空间的简单性质199
6.1.3子空间200
6.1.4实内积空间201
习题6.1203
6.2线性空间的基、维数和坐标204
6.2.1基与维数205
6.2.2坐标206
6.2.3基变换与坐标变换207
习题6.2210
6.3线性变换210
6.3.1线性变换的概念210
6.3.2线性变换的简单性质212
6.3.3线性变换的矩阵表示213
习题6.3215
6.4线性变换在不同基下的矩阵215
习题6.4218
总习题六219
附录222
附录A矩阵特征问题的数值解222
附录B广义逆矩阵简介227
附录C数域与多项式简介230
附录DMaple的基本知识234
部分习题答案与提示240
参考文献261
